APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE LT A LA JIÉCAKIOUE

phis que les dérivées logarithmiques de la fonction Sr, ; o! alors

rai (»-.>,-

et pour avoir la valeur de 0, qui correspond à une valeur donnée de c, il suffit d'effecuicr les intégrales rectilignes

is^ii^ii

On observera d'abord que dans l'évaluaLion des logarîlhmes, qui résultent de l'intégration, on n'a à se préoccuper que des parlies purement imaginaires; les parties réelles disparaissent évidemment dans les différences. Les quatre intégrales à évaluer

!:"■ V' fr^^- L

où les signes 1 portent maintenant blême de l'évaluation de pareilles intégrales a été complètement résolu au Chapitre VI; nous nous reporterons à la méthode exposée aux n°' 506 et suivants.

667. Supposons d'abord que c soit compris entre o et ^, c'està-dire que t soit compris entre o et W) ; on voit alors de suite que pour les quatre intégrales le chemin d'intégration est contenu dans l'aire du rectangle (R) figuré à la page i55 du tome III et formé par la réunion des quatre rectangles (R|), (Ra)i (Ra)f (I^i)i ^" sorte que (CXVIIIi)les quatre intégrales précédentes sont respectivement égales à

log&i(<.-»>i)-logSî,(-i>,), log^Uf + iVO-log&iC-V,), logSl, {•^-\- ir^)- logS, {- 1— in), log&i (t- -i + irO -loë&i{-l+ in),

yGoosle

igo FOHGTIONS ELLIPTIQUES,

OÙ les logarilhmcs onl leurs délerminalions principales., en observant toutefois que les points 3, ( — ^-— ir2),^t( — ^"t"*''^) doivent être regardés comme éiant le premier sur le bord inférieur de la coupure de gauche, le second sur le bord supérieur de la même coupure, en sorte que les coefficients de i dans les logarithmes sont respectivement — iz, +ti;; ils sont — — et + ^^ pour log2i) ( — f'r,), logâi (i''i); on aura donc, dans ce cas,

-1- logS, (» - ; - i.-.) - loeâ, (. - ^ + .>,)] + îï,

en attribuant aux logarithmes leurs déterminations principales; d'ailleurs, lepoint 2r, ((j + i>,) est situé dans l'aire (K', ), le point &i {i" — [V| ) est le point de l'aire (Rj) symétriquement placé par rapport à l'axe des quantilés réelles; il résulte de là que

-\[\og%(.-irO-\og%(^ + ir,}]

est l'angle, compris entre o et ^ -. dont il faut faire tourner le rayon vecteur qui va de o au point &) {c -1- ir, ) pour l'amener sur Ja partie positive de l'axe des quantités réelles; de même, puisque les points 3,(i' — i — ir.j), Sr,(f — ^ -\~ ii\) sont symétriquement placés dans les aires (R^), {Ra)ï on voit que

est l'angle (obtus), compris entre — - et — ii, dont il faut faire tourner le vecieurqui va du point o au point 3i(i> — ^ -h ir^) pour l'amener sur la partie positive de l'axe des quantités réelles ; d'après cela, on reconnaît très aisément que l'on peut écrire

en désignant par a et p deux angles positifs, moindres que -rz, dont le premier s'obtient en faisant tourner dans le sens positif le vecteur qui va du point o au point S, (ir, -H c) pour l'amener sur le vecteur qui va du point o au point 3) (iV, — c), dont le se-

APPLICATIONS A LA «ÉOMfiTRLE El A LA MÉCANIQUE, igi

cond s'oljlient en faisanL tourner dans le même sens le vecteur qui va du point o au point ^ , (v —'-,-{- ir-^) ou ^^{i' -i- ir^) pour l'amener sur le vecteur qui va du point o au point 3, (f — i — i''ï) ou 3|i{c — îVa); on peut encore écrire, si l'on veut,

en convenant de prendre le second terme du second membre compris entre o et ti; il a d'ailleurs la valeur o pour v =z- o, et la valeur TC pour f = ^; pour c = o, a et p sont nuls; pour f ^ !, * et ^ sont égaux à -it. L'angle e dont le plan MO s a tourné autour de Os, quand t varie de o à (ùj (i' de o à ^), est bien égal, comme

on l'a dit plus haiil, à - H

De ce que A est compris entre — ît et o on conclut que est compris enlre - eti:. C'est Puiseux qui a, le premier, démontré que est toujours plus grand que -■ Sa démonstration {Journal de Liouville, i" série, l. Vil; 1842), qui est devenue classique, n'a toutefois rien à voir avec la théorie des fonctions elliptiques.

668. Nous avons exposé ces résultats en suivant pas à pas la voie indiquée au Chapitre VI; on y parvient d'une façon plus courte, en interprétant la formule même qui donne l'expression de 9 et en remarquant que 6 devant s'annuler pour t =^0, log/(t') doit être nul pour f =; o et que les valeurs que prend successivement cette fonction se suivent d'une façon continue. En se reportant toujours à iaijig. i55 du Tome 111, et en suivant la façon dont se déplacentdans les aires (R',), (U^), (R'^), (R'J Ses points Sf, (/r,+ t-), 3a{tVi — c), ... on n'a aucune peine à retrouver les résultats précédents.

L'étude peut se poursuivre lorsque c est compris entre -^ et i, en partant de la propriéléy(i — *')/('') = 1 de la fonction /(f) qui résulte immédiatement des formules (XXXIV); sï l'on pose c = |-|-w, on devra, à cause de celte propriété, adopter, pour les valeurs de tv comprises entre o cl -ir, une détermination de — log/(i + (v) de la forme

i.. log/ (1 -+. ,.) = /..^ - ±. log/ (^^ - ».) ,

yGoosle

OÙ k est un nombre entier déterminé; cet entier est, d'ailleurs, égal à 2, puisque pour f =: -i, tv = o, la formule précédente se réduit à log/(^) =^[7fnct que l'on sait que log/{^) =; lir.. La symétrie du mouvement se reconnaît très aisément sur celle mÉmc formule; nous ne nous y arrêterons pas, puisqu'elle a été établie sur l'expression de x + iy. En résumé, de t' :^ r, à c ^=: i , on a

si l'on convient de prendre pour le second terme du second membre celle de ses déterminations qui est comprise entre t: et ait. Pour i' ^ I , on a

ce dernier résultat aurait pu se déduire aisément de la formule (CXXVIIlî).

Pour poursuivre cette étude lorsque v est plus grand que i, il suffirait de partir de la propriété de la fonction v exprimée par les relations

on peut ainsi montrer directement que quand 1' est successivement compris entre i et |, | et 2, ?. et |, ■ - - , 7- et — ; — ,•■■■, c'està-dire t entre 2 (o, ct3(o,, 'im, et 4<^!! 4<^i etowi, ..., nui, et ( ,1 -\- i)<o, . . ., on doit dans la formule

0==A.-^ Alog/{.)

prendre successivement, pour le second terme du second membre, celle de ses déterminations qui est comprise entre 2T:ct3Ti, Stï et 4-;^, 4^ et 5r., . . ., «Ti: et (« -(- i)t:, ....

§ VI. — Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe dans le cas où il n'y a pas de force extérieure.

669. Nous allons étudier le mouvement d'un corps solide dont un point O est fixe et qui n'est soumis à aucune force autre que la réaction du point fixe. Nous renvoyons, pour ce qui concerne la partie mécanique du problème et l'établissement des équations

APPLICATIONS A LA GÉOMÉTlilE LT A LA MÉCANIQUE. igS

diEFérenti elles du mouvement, aux divers Traités de Mécanique rationneRe, parlieulièremcnt à la Note de M, Darboux siir les mouvements à la Poinsot, qui se trouve dans le Traité de Dcspeyroits; nous emprunterons à cette Note nos notations, d'une part, el, d'autre pari, l'équation différentielle de l'herpolodie.

Le corps solide est rapporté à un système de coordonnées rectangulaires Odîjz qu'il entraîne avec lui "et que l'on supposera coïncider avec les axes principaux d'Inertie relatifs au point O. Le problème final consiste à déterminer à chaque instant la position dutrièdreOay^a par rapport à un système d'axes fixes OSYZ; il est résolu ai l'on connaît, en fonction du temps i, les trois angles d'Euler qui déterminent la position du Irièdre mobile par rapport au trièdre fixe. C'est à ce résultat que nous nous attacherons ('). Soit (E) l'ellipsoïde d'inertie du solide pour le point O; soit Oli le vecteur qui figure la vitesse angulaire de rotation (o, vecteur dont les projections sur les axes Oa:, O^, Oz sont p, g, r. Le moment des quantités de mouvement est wxi vecteur fixe dans l'espace dont nous désignerons la longueur par /, et dont les projections sur les axes Ox, Oy, Os sont Kp, B j, C;", en désignant par A, B, G les moments d'inertie du solide par rapport à ces axes. L'ellipsoïde (E) est constamment tangent à un plan fixe (II), au point J où ce plan est percé par la demi-droite qui porte le vecteur Olî; le lieu du point J dans le plan fixe (n) est l'herpolodie, le lieu du même point sur l'ellipsoïde (E) est la polodie ; la polodie roule sans glisser sur l'herpolodie; le problème peut être regardé comme résolu quand ce dernier mouvement est connu. Nous laisserons de côté les cas où ia polodie se décompose en deux ellipses se coupant suivant l'axe moyen de (E), ou en deux cercles parallèles, ou encore se réduit à deux points; l'herpolodie est

(') M, lUein a employé d'autres paramètres qui donnent des réaulists plus sjmélriques. On peut consulter, sur ce sujet, le livre qu'il a publié avec M. Sommevlîeld sous le tilie Veberdie Théorie des Kreiselx, ou une Noie de M. Lacouidans les Nouvelles Annales de Mathématiques, â> série, t. XVIII ; 1S99. Les expressions des neuf cosinus sont dues à Jacobi (Journal de Crelle, t. 39; i85o). Les formoles auxquelles nous nous bornons ont été données sous une forme à peine différente par Hermite (Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Paris, i885). On peut aussi consulter : Halphen, Traité des fonctions elliptiques, t. II; 1888; Lindemann, SitzungsbeHckte de l'Académie des Sciences de Munich, t. XXVIII; 1898, et Lacour, Annales de l'École Normale supérieure, rgoo.

alors une spirale (dont l'équation s'oblîenL au moyen des fonctions élémentaires), nn cercle ou un point.

Nous supposerons l'herpolodie, dans le plan (II), rapportée à un système de coordonnées polaires; le pôle sera le pied P de la perpendiculaire abaissée de O sur (II) el l'axe polaire sera la direction qui va du point P vers la position initiale Jo du point J ; nous représenterons pat 5 la dislance OP da point O au plan (H) : elle est évidemment comprise entre la pins petite et la plus grande des ; désignerons par RS et les coordonnées polaires du point J dans le plan (II).

Les intégrales des forces vives et des aires fournissent les relations

la constante des forces vives h est liée à / par la relation /* = l- 5qui se déduit immédiatement de ce que, si x, y, z désignent les coordonnées du point J par rapport au trièdre Oays, on a

Nous introduirons enfin une constante positive \i. définie parles relations

On a alors

w'==A5Hi-i-K')=-,r-(n-R').