Nous poserons

- = Aoî, V =Bo^ - ^ Cl--;

en vertu d'une observation antérieure, i est compris entre la plus grande et la plus petite des quantités a, b,c] nous poserons aussi

Enfin, nous nous contenterons d'écrire les équations suivante^ dans les cinq premières desquelles on reconnaîtra les équations d'Euler,les intégrales des forces vives et des aires, et dont les trois

ArPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA IIÉRAMQCE. l<)5

dernières s'obtiennent en résolvant, par rapporta/;-, q-, r- , celles des équations précédentes (jui sont linéaires en/»^, q"^, r'^,

P -(o-o)(<.-i)"' '-(„-!,)((, -c)' '■ -(6-oKo-o)'

De ces équations, de la relation

dp dq dr „ dW.

et des équations d'Euler, on tire sans peine la relation

R" 3^f - i^'cr. ~K')cr»- R')(T,- H').

Si l'on j fait

fi>R'=;|.'(T.. + Tj.!-T,)-j„

elle prend la forme normale

où

ep = i ix' (T, + T„ - îTù), ey - «a = ^\c - a) (i - i), e.f = |(.MT.^-Ti,-aT,), e.ï-^p=^î(«-fi)(.-c).

Noua conviendrons de ranger les axes Ox, 0 y, Os de manière que h soit compris entre a et c et que ([ — h) (i — c) soit positif; deux cas sont alors possibles :

on constate que, dans ces deux cas, on a eY> p^ > i?p; nous prendrons toujours, en conséquence, v ^ i , a ^ ■>., p =zr 3 ; en sorte

igb fo™tioks elliptiques.

r|tie l'on aura

'It,~e,= |.|v'(<.-o)(i.-i)[, ,.^l. /»-t i-c|

/;î^„-„|,/(„-i,,(,-ôj, ■ I ' ~°°~' ''

671 . L'intcg^rale de l'équation différentielle en y, est de la forme

/, étant une constante. (1 est aisé de reconnaître que l';i%e instantané de rotation vient, pour des valeurs convenables de (, se placer dans le plan des xz; nous choisirons un de ces instants pour origine du temps; nous supposerons, de plus, que les directions positives des axes soient telles que, pour ï = o, les valeurs p^, r„ de />, /■ soient positives ; pour i = o, y = o, et, d'après la seconde équation d'Euler, T^ est du signe de a — c; nous désignerons par s l'unité positive ou négative suivant que a est plus grand ou plus petit que c; enfin, nous introduirons une constante purement imaginaire c satisfaisant aux inégalités o <;- < ^' et définie par les égalités concordantes

ip'^ = i-.l,.H/'-b)(a-c)ia~i).

Pour ( := o, ^ ^ o, R^ doit être égal à Tj, donc y, qui se réduit à pX doit être égal à eaj '• doit donc être congru à Wj, modulis 2W|, awa; rien n'empêche de supposer À=s(i)3. De la relation

j^'i ^ j)(( 4- Qjj) on conclut l'expression de R* en fonction de r, savoir

R'- {c-i)il- a)- -^^{e,- e,){e,- e,)\l,t

, J|(»-HOG-,(^-f)

OÙ Ro est la valeur de R pour ( = o; ajant ainsi l'expression de Xi ou de R'^, on en déduit celle de p-, g^, r^, puis, en extrayant les