APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE, I

racioes carrées et en déterminant les signes de façon que, pour t=z=o, p, r soient positifs et que q ait le signe de e,

672. Pour déterminer en fonction de (, nous partirons de la relation, établie par M. Darljous,

1 de . , (,-a)(,-0)(,-c) ^

ii suffit de remplacer R"^ par sa valeur en fonction de pi, et d'appliquer la méthode de déeomposition en éléments simples, ou plutôt ia seconde formule (Cin,), pour trouver

puis, en intégrant, on obtient, après quelques réductions faciles,

En multipliant l'expression de e^''® par la dernière des expressions de R*, extrayant les racines carrées et choisissant le signe de façon que, pour t^o, l'expression de Re'^^ se réduise à R,, on a enfin

le signe se conserve puisque le second membre reste continu et ne s'annule pas.

Cette dernière formide montre que, dans le plan (II), les coordonnées rectangulaires d'un point de l'herpolodie sont des fonctions unjvoques de t. el ce résultat peut, à la rigueur, dispenser de rechercher quelle détermination on doit donner au logarithme

igS FONCTIONS ELLIPTIQUES.

dans l'expression de 9. Au reste, celle recherche ne présente aucune difficullé si l'on applique ta même mélliode que dans le pendule sphérique. Pour v = 2ii,tv, t^ -iia^T, on a

rfe__ I r^'L(i-"'-n s;(T^.(.-ni

Lorsr[iie T vario de o à i , on en dédiiil

e = AT + .7: + .Alos/(l), où l'on a posé, pour abréger,

el où — . log/(T) mesure l'angle négatif dont il faut faire tourner le vecteur allant de o à S, (t + w — i) pour l'amener sur l'axe des quantités positives. Cet angle est oblus, droit ou aigu snivant que T esl inférieur, égal ou supérieur à j ; il est nul pour T = i . Si donc on désigne par €>, l'angle poîaire du premier point de tangcnce J| de l'herpolodie avec le cercle de centre P et de rayon V//^ - 6^ on a

Pour T ^ I, on obtiendra de même, pour l'angle polaire 02 du premier point de tangence J^ de l'herpolodie avec le cercle de centre P et de rayon \Jl- — a- (après le point Je), 63 = A + ît: = i.ei.

Lorsque T varie de m à k-Hi, « désignant un entier positif quelconque, on devra prendre dans l'expression précédente qui donne 8 en fonction de T,

^ log/(T) = -^nT.^^. log /(T - ,0,

où le logarithme qui figure dans le second terme du second membre est déterminé par ce qui précède, puisque ï— n est compris

APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE El A LA MÉCANIQUE. 199

entre o et i . La sjmélrie de l'herpolodie par rapport à PJ, ou à PJ^ s'établit comme dans l'étude de la courbe décrite par la projection de OM sur le plan des xy dans l'étude du pendule sphériqiic.

673. Il reste à déterminer, en fonction de t, les angles d'Eiilertl', b, a qui fixenlla position du Irièdre Oxyz, entraîné avec le corps, par rapport au trièdre fixe OXYZ. Nous clioisirons l'axe OZ suivant la direction fixe du vecteur qui représente le moment des quantités de mouvement par rapport à O, et nous supposerons essentiellement que le trièdre OXYZ a la même disposition que le trièdre Oxyz; les neuf cosinus directeurs des axes Ox, O/, O^, par rapport aux axes OX, OY, OZ, sont suffisamment désignes par le Tableau :

quant aux angles ([i, 9, ;p,ce sont les angles dont il faut, pour l'amener sur le trièdre OXYZ, faire tourner le trièdre Oxyz : i° autour de OZ, 2" autourd'une direction arbitrairement choisie OX, sur l'intersection des plans des xy et des XY, 5" autour de Os ; par ces rotations successives, le trièdre OXYZ occupe successivement les positions OX, Y, Z, OX, Y^Z, Ox/z, et l'on passe d'un système d'axes au suivant par les formules

X =X,cos4 — y,i Y, = Y,cose —3 si

i^-hY,c,

l'élimination de X| , Yj, Y3 entre ces formules fournil les expressions de X, Y", Z au moyen de x, y, z, et les expressions des neuf cosinus directeurs au moyen de Q, '^, a.

T. et M. - IV. i4

Les formules de Cinémaûque

rfij; rfO <^ , (ffl ., dif 'h

P~'^^ dt '^'^"^"^ dt' "^ ~'^'' dl ^'"'^rfï' ''~"''~dt^dt

peuvent s'écrire immédiatement en envisageant la rotation représentée par le segment OQ (rotation dont les composantes suivant les axes Ox, Oy, Oz sontyj, q, r) comme résultant de la composition des trois rotations -77 suivant OZ, -^ suivant O3, -r suidl ^ dt ' dt

vant OX, el en appliquant le théorème des projections.

La détermination de i}-, 9, ç en fonction de ( revient à l'intégration de ces trois équations différentielles linéaires où/;, <^, r sont maintenant des fonctions connues de t.

674. Les projections sur Ox, Oy, Os de l'axe fixe des quantités de mouvemenl par rapport à étant A./?, Mq, Cr, 00 a

-fi = sin9sincp= ^ = i 'Je^ — e^^^i^U^t,

T= = sinO cos? = ^ ^ - . /iT^ <„ \,, t,

on lire de là

cette expression ne s'annule pour aucune valeur de t; sa racine earrée, devant être continue, ne peut changer de signe; on devra donc donner à cette racine carrée le signe de la valeur initiale de sinO, que nous supposerons positive : on peut, en elïet, supposer loujours que l'angle 9a est compris entre o et it; ii en sera alors toujours de même de l'angle 6, et l'on aura

|v/j-(f-n>)tf(;-

dès lors sin9, cosB, sinœ, cos^ étant déterminés sans ambiguïté, il n'y a plus qu'à déterminer l'angle ([', c'est-à-dire qu'à intégrer l'une des équations de la Cinématique, où tout est connu sauf -^; 11 est

API'LICATIOSS A LA GÉOMÉTRIE ET .1 LA aÉCANlIJCE. 30I

commode de se servir de la combinaison obleniie en mullipliant la première par sinffi, la seconde par cosa et en ajoutaoL, ce qui donne

d^. ^ flsinu + gcosy ^ /isino -,- g cose ^

dt Yisino+-'fîCos<f. P , •.„,.. 1 ^^.J

puis, en remplaçant sin'^ et cosfp dans le dernier memlirc par les quanlilés proportionnelles -? j-^

El ^ ?!

les valeurs précédemment trouvées pour p, cj donnent ensuite

d'où l'on conclut

puis, en intégrant, et en supposant que '} soit nul pour ; = o,

la déierminalion du logarithme donne lieu k des observations analogues à celles que l'on a développées dans la théorie dn pendule sphériqiie et rappelées à propos de l'angle #; nous nous contenterons d'énoncer les résultats ; Si l'on pose

/,(0 = ''fe^

. (' étant compris entre o

et 2(0), on devra prendre

' log/,(£') élant un nombre réel compris entre o et ai;; si t' est compris entre o et ^, ^ ^^g/i (i') est le doiible de l'angle positif aigu dont il faut faire tourner le vecteur qui va du point o au point 2r, ( \ pour l'amener sur la partie positive de l'axe des quantités purement imaginaires; pour deux valeurs de t! également éloignées de w,, les deux valeurs de -log/(i') ont une somme égale à st:; si n est un nombre entier, on a

673. La solution peut être regardée comme achevée, puisque les neuf cosinus s'expriment au moyen de i(, Q, œ. Hermite a toutefois donné pour ces neuf cosinus directeurs des expressions simples qu'il nous reste à faire connaître.

Calculons d'abord les valeurs initiales de ces cosinus, en faisant t ;= o dans les expressions qui donnent sinO, cosQ, sina, coso, on trouve

ou a ensuite, en affectant d'indices supérieurs u les valeurs initiales des cosinus, et se rappelant que io ^ o,

■l\ = sinOc, y" = 0, f i = cosflo.

Rappelons encore les formules de Cinématique

et celles qu'on en déduit par les permutations circulaires effectuées sur les lettres a, p, y, permutations qui laissent invariables les quantités p, q, r aussi bien que les indices i, a, 3; dans ces formules, comme dans celles qui suJvenl, les accents indiquent les dérivées prises par rapport à l.

APPLICATIONS A I.A GÉOSIÉTRIR T.T A I.A itltCANlQIIE. 203

En Utilisant ces relations, le fait bien connu que dans le déler-

chaque élément est égal an mineur correspondant, et les résultais déjà acquis, on trouve sans peine

En intégrant entre les limites o et (, et en se rappelant que pour ( ^ o, ctj + (s^î doit se réduire à

ce qui détermine ta constante d'intégration, on parvient aisément à la formule

En changeant i en — l dans cette formule, ce qui change i' de signe, on obtient

1, — je^3 == £ i/e^ e, -^rjjjy e '^1^-'+ ■■■' ,

en sorte que k^ et ^j sont entièrement déterminés. On a ensuite

et, par conséquenlj en tenaal comple de la formule (XVj),

De même

compte de la formule (XV,), . , .■-. , ^,,(1.-1) .„,„,.,„,,

i.ïil^) .-».,«:...

APPLICATIONS A l'algèbre ET A L'ARITHMÉTIQUE. 20.»