CHAPITRE II

PREMIÈRES APPLIGATIO?jS A L'ALGÈBRE ET A L'ARITHMÉTIQUE.

I I. — Division des périodes par un nombre entier.

676. Nons allons nous occuper dn problème cjui consiste à trouver, £|uand on se donnera et g},oii/c, les valeurs de pcip,^ ou sii«p j, où l'on B posé suivanL les cas

en désignant par n un enLÎer positif donné et par p, q des entiers quelconques, tels toutefois que 2/>, aj ne soient pas tous les deux divisibles parn. Ce problème se relie au problème de la transformation d'une part, et, d'autre part, à la recherche des valeurs de p— > sn- quand on se donne pu, sd«, c'est-à-dire au problème de la division de l'argument; pouFj^^ :=-^, jÇ-g^ o, ilest, d'ailleurs, identique au problème de la division de la lemniscatc dont nous nous occuperons plus loin.

Le problème ne se présente pas pour n ^= 2 ; il a été complètement résolu pour «^4(q"^II7, 33i); nous réunissons ici les formules que l'on a obtenues ; les signes supérieur et inférieur se correspondent dans les deux membres d'une même équation ;

..iï:^/"*,

206 VONCTIOMS ELUPTrQllF.S.

677. D'une façon générale, les valeurs de prtp^j sont racines d'une

équalion f{,y) ^: o de degré ou , suivant que n est

impair ou pair, équation que l'on a appris à former aux n"' iSB, . . ■ , -460 el dont on obtient, suivant les cas, le premier membre en remplaçant pu par 2 dans '!''„(«) on dans -,— •?«{«) (CIV); snivanl que 11 est impair ou pair, la première ou la seconde de ces expressions est un polynôme eu pu dont tes coefficients sont des polynômes entiers en g^, gs à coefficients numériques rationnels. Quant à l'équation F (5) dont les racines sont les valeurs non nulles de sn*a^^^, elle se déduit immédiatement de la précédente; en regardant pour un instant K el K.' comme des fonctions de T, puis en prenant w, ^:K., wa^iiK.', et, par suite, y'e, — 63^='!

en sorte que l'équalion F{z)z^o résulte du l'élimination de y entre les deux relations

^, = -^ ( A> - /i^ -H I), ^, = ^ (iA-^ 3^' - 3 A^ + a ),

et les coefficients de l'équalion F(s)=:o sont évidemment des polynômes en k"^ à coefficients numériques rationnels.

Nous nous occuperons exclusivement, dans ce qui suit, du cas où II ^ 2'j -\- i est un nombre premier impair; l'équation f(^y') = o est alors de degré ^(n^ — i)^^2v(v + t). Puisque ses coefficients sont rationnels en g^, gs, elle ne change pas quand on remplace tO|, ù)3 parû, = atO| + p6>3,£i3=YW| + Swj, a, p, y, S étant des entiers qui vérifient la relation aS — py =^ ' ■ ^"^ effet, ces substitutions ne changent ni les quantités ^1, gs, ni la fonction pu. De même l'équation F(s}:^o, de degré 2v(v-(- 1) en s, ne change pas quand on remplace t par ' , a, p, f, S étant des entiers qui

vérifient la condition «3 — ^f =:j, les nombres a, S étant en outre

(') (XCVI) Cf. Noua. Ann. de Mathém., 3'sér., t. XIX., p. a.

APPLiCATLOss A l'algèlbe ht A l'aritiuiétique. 207

assujettis à être impairs, et les nombres p, y étant pairs, puisque ces siibstitiuions ne changent ni k^, ni sn^ u.

678. Appelons élément un couple de nombres entiers (p, g) rangés dans un ordre déterminé et qui ne soient pas tous deux divisibles par n. Nous dirons que deux éléments (p, q), (/>', g') sont indistincts lorsque les deux nombres p — p', g — g' ou les deux nombres jo+jo', (jf + ^f' sont divisibles par n, en sorte que l'on ait p{ap,q)=^p{cip\q'). On observera que l'on peut toujours remplacer un élément donné {p, g) par un élément (p', g') qui n'en soit pas distinct, et dans lequel p', q' soient premiers entre eux; on peut même imposer, en outre, à p' , g' la condition de donner comme restes, pour un module quelconque a, premier à n, des nombres s, ï| arbitrairement choisis, pourvu que l'un d'eux soit premier à a. Rappelons, en effet, que la forme Kx + B, où A et B sont des entiers fixes et x un entier variable, peut représenter une infinité de nombres premiers à un nombre entier quelconque C premier à A; on obtient l'un d'eux en choisissant x de manière que le reste de la division de A3: -h B par C soit 1 ou un nombre quelconque premier à C; ceci posé, on déterminera deux entiers \„, [ift qui vérifient les congruences

p + îï/i^î, q -\- \J. Il 7^ -r\ ( mod .a);

tontes les solutions de ces congruences sont de la forme

X et j étant des entiers arbitraires; on prendra

p' =/) -^ Un ■ h anx, ?' = î ^- IJ.0 " + any ;

l'un des nombres^ H- Xq h, g + p-o" est, par hypothèse, premier à a; supposons que ce soit /? +Xon; si p n'est pas divisible parn, p' sera premier à an quel que soit;» que l'on fixera arbitrairement; on choisira ensuite j' de manière que g' soit premierà/*'; si p = \,n est divisible par n, Xi + )>o + ax sera premier à a quel que soit x ; on choisira x de manière que î^i ■+Xif--\-ax soit premier à n et, par suite, à an; puis, en observant que g est certainement, dans le cas présent, premier à n et qu'il en est de même de g', quel que soit j^, 00 choisira j' de manière que g' soit premier

2o8 FONCTIONS ELLIPTIQUES,

hXi-^lo-h ax, et, par conséquent, k p' == tiQ,, +la + c--^)- On peut, par exemple, supposer/)' ^ i, q' ^o(mod. i6).

Il y a 2v(v+ i) éléments distincts, qu'on obtient, par exeuiplc {a" 438), en donnant à/i la valeur o et à^r les valeurs i, a, ..-, v, à^ l'ime des valeurs i, a, ...,v et à ^ les valeurs — v, — v + i, ■■■) o, . . ., V — I, V. Nous appellerons système complet le Tableau formé par 2v(v -+- 1) éléments distincts,

679. En désignant toujours par a, |3, y, S des entiers qui vérifient la relation aS — py = i, nous dirons que l'élément

est le transformé de l'élément {p, q) par la substitution

Deux éléments (/>, q^, {jj\ q') transformés par une même substitution S donnent des éléments distincts ou non, suivant que les éléments {p, ç), {p', q') sont eux-mêmes distincts ou non. Si l'on transforme tous les éléments du système complet, par la substitution S, on reproduit le système complet.

Parmi les substitutions S nous distinguerons les substitutions , Y) 3 sont des entiers qui satisfont aux condi- Ivantes : mS — py est égal à i, ^ est pair et l'on a, en outre, œ ES ô = I, V = o(mod. i6). L'intérêt d'une telle substitution consiste en ce que la substitution de ^ — ^ à t ne cbange ni iji(t) ^ \/k[i), ni la fonction sn(M | t) et qu'elle change K, /K respectivement en aK-H ipK', yK-+ 'SK'(XLVI1, LXXX). La substitution inverse d'une substitution S et le produit SS;' de deux substitutions (n"' 146, 147) qui satisfont aux conditions précédentes sont eux-mêmes des subsùttitions qui satisfont à ces conditions; les substitutions S forment un groupe.

680, Liant donnés deux élcmenls distincts, on peut trouvei' une substitution S telle que le premier élément, transformé par cette substitution, devienne le second élément, ou plutôt n'en soit pas distinct. Supposons que le premier élément soit (o, i) et soit

APPLICATIONS A LALOÈBUE ET A L AIUTHMÈTIQUE. 209

(/>, q) le second élément; (o, i) transformé par S devient (y. S); il est permis, en remplaçant au besoin {/;, q) par un élément qui n'en soil pas distinct, de supposer jD, q premiers entre eus, puis p^o^q^^ I (mod. i6) ; on prendra y = p, S = q, puis, en désignant par a^, p,, une solution entière de l'équation qa.^ pfj = \, on devra prendre ci.=z a.a + 'kp, p=^o + ^?; on choisira l'entier X de façon que ^ soit pair; la condition q(t — p'^ = 'i qui ^st toujours vérifiée, montre, d'ailleurs, que l'on a a^ i (mod. i6); toutes les conditions imposées pour que la substitution S soil une substitution S sont alors vérifiées. La substitution S^', inverse de S, transformerait l'élément (/>, q) en (o, i), et une nouvelle substitution H' du même type transformerait l'élément (o, i) en un autre élément arbitraire (/)', q'); la subsiiiiiiion composée S'S~', qui appartient toujours au même type, transformerait donc l'élément (p, g-) en {p\ g') {')■

681. Les V éléments (r/7, rg), où /■ = i, a, ..., v, sont distincts; nous dirons qu'ils appartiennent à une même ligne. En donnant à r une valeur fixe et à /*' les valeurs 1,2, . - ., v, les éléments (/■/■' jO, rr'q) reproduisent la ligne à laquelle appartient

nulles de sn((i ), et non les carrés de ces valeurs, il est nécessaire de modifier un peu ce qui précède et, en particulier, la déBnilion de deus élémenls indistincts; deuï éléments lp,q), (p\q') seront indistincts si l'on a

sn(«^,,) = sn(a,,-„.), c'est-à-dire soit

p' — ji — û (mod. s/i), 5'— g^o (mod. n},

p' -i- p ^ Il ( mod. 311), q' + q -^ •! (mod. h) ;

le cas où p, q seraient tous deux divisibles par n est toujours esclu. Les dernières congruences montrent que l'on peut, si l'on veut, supposer p impair. Le Tableau des éléments distincts contient alors n^—i = 'fiv 4-1) éléments. Deux éléments restent distincts ou indistincts quand on les transforme par une substitution Z. En modifiant légèrement la démonstration du texte (n' 678), on reconnaît aisément que l'on peut remplacer un élément {p, g) par un élément {p', q')

p'^v, q'^o (mod. r6).

Dès lors, on voit de suite qu'il y a toujours une substitution S qui transforme un élément donné en un élément donné, pourvu, bien entendu, qu'on ne dislingue pas les éléments indistincts.

aïO FONCTIONS ELLIPTIQUES.

l'clémenl (p, ç), caries valeurs absolues des restes minimums des nombres /■;■'( mod. n) sont les nombres i, 2, . .. , v. Un élément détermine la ligne à laquelle il apparlienl. Le Tableau (T) des éléments du système complet, rangés en lignes, conlient 2(v-Hi) lignes. Les élémenis d'une même ligne, transformés par la substitution S, restent les éléments d'une môme ligne. Deux éléments (/>, q), (j),, q,) appartiennent ou non à la même ligne, suivant que le déterminant ^^1 — p,q est, ou non, divisible par n; il suffit évidemment de démontrer que, pg, —pt^ étant supposé divisible par n, les deux élémenis {p, g), {p^, g,) appartiennent à la même ligne; or, si p est divisible par n, il en est alors de même de p,, puisque q etp, ne sont pas à la fois divisibles par /i; on en conclut de suite que {p, q), [p,, ç, ) appartiennent à la même ligne formée des élémenis (o, 1), (o, 2), ..., (o, v); sip est, au contraire, première «,il esisle deux entiers r, j tels que l'on ait p, ^^pr -l- ns, et l'on aura

P'Ii—pi^=I"/i — (/"•-+- !ts)q^p(q: -qr)^o (mod.n);

d'où l'on conclut que ^1 — qr est divisible par n. comme p, — pi\ et qae les élémenis {p, q), [p,, q,) appartiennent donc à la même ligne.

682. 11 existe une substitution S qui transforme deux lignes différentes, arbitrairement choisies dans le Tableau (T) en deux bgnes différentes, choisies elles-mêmes arbitrairement. En vertu du raisonnement employé à la fin du n" 680, il suffira de démontrer

la proposition ei

1 partant des deux lignes

,„i dévie,

tution S,

si l'on en transforme les éléi

(t,S), (a-,,ïS), ..., (v,,v;

nous voulons que ces deux lignes coïncident respectivement a> celles qui contiennent les élémenis {/>, q), {r, s).

Ayant choisi p, q premiers entre eux tels que l'on ait p = g^ I (mod. 16), nous prenons d'abord y =/>) S ^^f-, nous dev<

APPLICATIONS A l'aI.CÈBRE et a L'ATtlTUJTÉTIQUr. 211

prendre ensuite a 7= >,/■ -j- an, p = Xs + bn, en désignant par a, b, ). des entiers, de maiiière à vérifier d'abord la condition

cjiii entraîne

(qi- - ps)A -h it{cja — pb) = I ;

qr -^-ps est premier à n, puisque les deux éléments {p, g), (r, s) appartiennent à deux lignes distinctes; on peut donc déterminer les entiers X, p. tels que l'on ait

puis, les entiers/?, q étant premiers entre eus, déterminer les entiers a, b de façon que l'on ait

qa —pb = [i.

Si «(,, ba sont une solution de cette éfjuation, 00 prendra

X étant un entier que l'on choisira de façon que p soit pair, ee qui est toujours possible, puisque nq est impair; alors, à cause de la relation ag— P/j = 1, on aura a = 1 (mod. 16).

683. Ces considérations arithmétiques vont nous fournir des renseignements précieux, sur les équations que vérifient les quantités so^{aj,,j), p{ctp^g). Nous raisonnerons sur la première; les raisonnements se simplifient pour la seconde, en ce sens qu'on n'a pas besoin de tenir compte des conditions imposées à a, p, y, S en dehors de la relation aS — Py ^ i.

Fixons un corps ( ' ) îi, formé au moyen d'éléments numériques quelconques et de la fonction (p(T) et considérons une équation f(z)r=o, entière en i;, dont les coefficients apparlienneiit au

(') Un corps, ou domaine de ratkmaltté, est un ensemble Ac mimbrcs, crnistants ou variables, tels que, si deux éléments figurent dans cet eiisemble, la somme, le produit, le quotient de ces deuK éléments y figorent aussi. Tous les nombres rationnels figurent dans un corps quelconque. On pourra, si l'on veut, supposer que le corps C3 comprend seulement tous les nombres rationnels et toutes les fonctions vationnellcs de ip(.T) à eoclficieiits, iiuniériques rationnels.

érifiée quand od y reinplai

OÙ p, q sont deux entiers donnés, non divisibles tous deux par n; il faut entendre par là que la l'onction analytique de t, /[sn^(api^}, cf], où T entre dans (p, dans sn, dans R. el dans K', est identiquement nulle. Si, dans cette fonction, on remplace t par - — g-i où S ^ ( K.) est une substitution qui satisfait aux conditions précisées plus haut (n" 679), f ne change pas, non plus que la fonction sn u qui reste la même fonction de u, et <ïp, j est remplacé par ny,j' en désignant par (/)', g') le transformé par S de l'élément Qo, q); on voit donc que/fsn=(«p'^^'), tp] est toujours nul. Comme (p', q') peut coïncider avec n'importe quel élément du système complet, on voit que l'équation /{a, f) ^= o, du moment qu'elle admet pour racine une des valeurs de sn-(np^^), les admet toutes.

Soit maintenant F{z) =^ o l'équation même que l'on a appris à former au n" 677 et qui a pour racines les valeurs non nulles de sn^(«p,,); ses coefficients appartietineut au corps ù. Il est impossible que F(s) admette un diviseur entier en z dont les coefiicients appartiennent au corps Q. Si l'on avait, en effet, une identité de la forme

F{^)=Mz)Mz)...,

où /i(s), /^(s), ... seraient de tels diviseurs, chacun de ces polynômes deviendrait une fonclioa analytique univoque de t, quand on y remplacerait s par sn-( «,,,,); leur produit F{z) étant nul identiquement, l'un d'eux, /i{z), par exemple, serait aussi identiquement nul; il admettrait donc la racine sn^tr^^^ et, par suite, toutes les 2v(v-t-i) racines de F{z); il serait donc Identique à F{z) à un facteur constant près appartenant au corps Û; l'équation V{z) = o est donc irréductible dans !e corps H {').

(' ) Si l'on considère l'équation F(œ') = o, obtenue en et qui a pour racines les valeurs non nulles tte sna^^^, < en utilisant les remarques contenues dans la note du a' I tible dans le mânie corps.

APPLICATIONS A L ALGÈBIlli El A L AniTHMfiTTQLii. 2l3

684. Ceci pose, envisageons une foncLÎon sjmélrii|ue ralionnelle S(si, Sî, ..., Sy) de V variables s,, z^, . . -, s^ dont les coefficients appartiennent au corps il; remplaçons-y pour r=^ I, 2, . . ., v la variable s,- par la fonction rationnelle (') de sn^u qu'est sn-ru, puis sn^K par z, et désignons par R(z) la fonction de z ainsi obtenue. Celle fonction R{2) prend la même valeur quand on y remplace z par l'une quelconque des v valeurs de

c'est-à-dire par l'une quelconque des v racines de F (z) = o qui correspondent aux éléments d'une même ligne du sysicme complet : l'expression

est égale à

puisque les nombres l'p, 2rp, ..., -jrp sont congrus (mod. n) aux nombres ±p, ± a/', -.-, ±:v/j, que les nombres rq, '>-rq, ..., vrg' sont congrus (mod. «) aux nombres d: g, zh 2^, ..., ±V(/, et que la fonction S est une fonction symétrique de ses éléments. La fonction R(2), quand on y remplace z par les 2v(v + t) racines de F(3), n'est donc susceptible que de 2(v+ i)=: ;t + i valeurs au plus; nous allons montrer qu'elle en a exactement n -\- v, à moins de se réduire à un élément de il.

Supposons, en effet, que l'on ait

Ii(sii'ap,,)=R(snî«„V/), quoique les éléments {p, i/), {p\ q') appartiennent à deux lignes distinctes; en remplaçant t par ' ■ „ - . où 2=/ Çj appartient au type défini pins haut (n" 679), et en désignant par (/>,, ç,), (/>',, q'^ les transformés par S des éléments {p, q), [p' , q'), on aurait encore

mais, comme les éléments (/>(, ^i), {p',,q\) peuvent appartenir

2l4 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

à telle ligoe que l'on voudra (q" 682), il en résulterait que la fonction K{z) ne saurait prendre deux valeurs distinctes pour deux racines de l'équalion F (s) = o, quel que soit le choix que nous fassions de ces denx racines; la valeur unique de R{z) serait donc un élément de ii.

Si nous écartons ce cas, on peut donc dire que par la transformation y = R(3), l'équation F (5) = o se réduit nécessairement à une équation G{y) = o de degré (n + i), dont les coefficients appartiennent an corps ii ; elle est irréductible dans ce corps ; elle a pour racines les {«-+- 1) valeurs .7'oiJKiî ■■■i^n que prend R(s) quand on y remplace s par sn^Up^q et {p, q) par n ■+- i éléments appartenant aus n + i lignes distinctes du système complet; chacune des racines correspond à une ligne de ce système complet. Si y:f est une de ces racines, les deux équations

ont V racines communes, à savoir les v racines 3i,j, Sa^j, ..., Sv,j de F{3) ^= o qui correspondent à la même ligne quejf'j; ces v racines dépendront d'une équation j^ (3 ;js} = o, que l'on oh tiendra en cherchant le plus grand commun diviseur de F [z) et de R (s) — /,, en sorte que les coefficients de g{z', ys)^ envisagée comme une fonction de 3, sont des fonctions rationnelles de^i et des éléments du corps Û; en d'autres termes, ces coefficients appartiennent au corps Oj formé en adjoignant y; au corps £1.

Dans ce corps Oj, l'équation en z, f{z ; ^^-j) = o, est, d'ailleurs, résoluble par radicaux ; il est aisé de voir qu'elle appartient même au type le plus simple des équations résolubles par radicaux, car elle est c/c/j'^HÊ. En effet, si A est une racine primitive du nombre premier n, les valeurs absolues des restes minimums (mod.n) des nombres )., î^^, • . -, X'' sont les nombres 1, 2, . . ., v rangés dans un certain ordre; de plus, V^' est congru à \. Il résulte de là que chaque élément d'une ligne s'obtient en multipliant les deux termes de l'élément précédent par X, et qu'on reproduit le premier élément en multipliant le dernier pari. Si donc on représente, pour un instant, par ^(sn^u) la fonction rationnelle de sn^it qu'est sn^(Xi(), fonction dont les coefficients sont des fonctions entières de <p(t) à coefficients numériques rationnels, on voit que les racines Z\, z-^, . . . , 3„ de l'équation g{z, y,) = o

APPLICATIONS iV L'ALCtîTlRE lîT À L AIUTHMIÎTIQTIE. ■? T

peuvent être rangées dans un ordre tel que l'on ait

c'est le caractère des équations cycliques.

Observons encore que si^'^R'(3) est une autre fonction de z formée comme R{5)l'a été, et si l'on désigne par^^, y\, ... , j'^ les valeurs dey'=:^R'(2) qui correspondent respectivement aux mêmes lignes du système complet que les valeurs y ni yii ■- -j Xn de y =: 1^( = ). il existe Tinc relation de la forme

où W désigne une fonction rationnelle de y^ dont les coefficients appartiennent au corps Ûj; en effet, l'expression R'(s) conserve la môme valeur jj pour toutes les racines 5,.^, ^a^j, . . ., ^v,s de l'équation en s, g(^, y s) ^o; ctj^j:=^\ R(3y-^î) est évidemment

une fonction rationnelle (dans Ci) des coefOeients de l'cqualion ^(s,7j), c'est-à-dire de jiv

68d. Des résultats tout pareils concernent l'équation /{j^'} =; o dont les racines sont les valeurs de jja^,^; au lieu du corps ii on considérera toutefois un corps Ù' formé au moyen d'éléments numériques quelconques et des quantités g^i gn-

L'équation /(y) =^ o est irréductible dans le corps tJ'. Une fonction symétrique (ou même cyclique) des quantités pcip^q relatives à une même ligne et dont les coefficients appartiennent au corps !ii', est racine d'une équation de degré n-\-i, dont les coefficients appartiennent à ce corps, et celle équation est irréductible dans ce corps si les valeurs de la fonction symétrique (ou cyclique) considérée changent quand on passe d'une ligne à l'autre. Toute autre fonction symétrique (ou cyclique) des mêmes quantités pap.q qui garde la même valeur pour les élémenls d'une même ligne, et dont les coefficients appartiennent au corps Q', est alors fonction rationnelle de la première.

Une racine de l'équation irréductible de degré (n + i) correspond à une ligne du système complet d'éléments et les — — valeurs de pap,q pour les éléments de cette ligne sont racines d'une T. et M.— IV. i5

équalion de degré — - — donl les coefficients ap|iartiennciit au corps OJ obtenu en adjoignant celte racine à S!', Dans le corps £i'^ , l'éqnation de degré ■ — ~ est irréductible.

686. Parmi les fonctions symétriques des quantités pap^q relatives à une même ligne, qu'il convient d'employer, la somme P = i;pfljD,î se présente d'autant plus naturellement qu'elle figure déjà dans les formules de transformation (XXI). Il resterait, il est vrai, à prouver, pour pouvoir affirmer que P vérifie une équation irréductible de degré 7i + 1 , que P change de valeur quand on passe d'une ligne à l'autre ; dans les cas particuliers où n =^ 3, 5, que nous examinerons plus loin, l'irréductibilité de l'équation en P, du quatrième ou du sixième degré, apparaît toutefois directement sur l'équation même et le changement des valeurs de P quand on passe d'une ligne à l'autre en résulte.

M. Kiefiert a montré que, pour n > 3, la Jonction

R= Jj[p('-«P,7)--P('^''«^w)).

où V ;= 1 était particulièrement avantageuse. On reconnaît

de suite qu'elle est une fonction symétrique rationnelle des v quantités p(rap^q), puisque p(2rap^q) est une fonction rationnelle de g2) gx, pii'(fp,q)i CQ sorte que R peut être mis sous la forme

F désignant une fonction rationnelle de p(''«/.,ç)(' )■

(') B peut i^tre mis sous une Corme intéressante que le lecteur retrouve peine en reprenant les formules des ii" 37Î, 373 (voir V Errata). On a, ei nuant à désigner ^^- par v, et en ccriviint W^,^ au lieu de 11,

u moyen des formules (VI,) et en partant de la dernière eipresaion de Rj,,j,

APPLICATIONS A T.'AI.GfcBRE ET A i.'ARITHMÉllQUK. 217

g II. — Équations modulaires.

687. Considérons d'abord les deux fonctions doublement périodiques p(m I W|, (Oj) etpiit I —, ^ij, où II est un nombre premier impair donné. La formule (XXT,) permet d'exprimer la seconde de ces deux fondions au moyen d'une fonction rationnelle de la première; les coefficients de cette fonction rationnelle de p(w |w,, wa) ou p(«; ^2, ^3) dépendent des quantités p«p,o. En développant les deux membres de cette égalité suivant les puissances de u et en égalant les coefficients de k* et de »', on obtient immédiatement les expressions des invariants Ga, Gj de la fonction j) ( M -—> W;ij au moyen de gi, gi ^^ des sommes

^-P"^' X^""'^;"' '''' ^"""^ ""^^ expressions, on remplace les dérivées de p par leurs valeurs (XCVll) en fonction des puissances de p, on a

a supposant n — bff ± !,

Ces dîTcrses transformations vésultent sans peine des formules (XXXI,), (XXXII!,), (XXXVI5), (XXXVIII,,), (LI,), (LlIIi) ; on rappelle qa'ici p, q désignent des entiers ([Ui ne sont pag tous dcuï divisibles par ". Poiii' plus de détails, iioi> Klispiîbt. Journal de Crelle, t, 87, p- 199; t. 95, p, 218,

2l8 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

comme les fondions sjméti'iques des quanlilés p - — ' sont des fonctions rationnelles de l'une d'elles, P\ = ^^p- — -' patexemple, on voit que Gj.Gj sonldes fonctions rationnelles de^nj^^j, P) {à coefficients entiers) ; en d'autres termes, Ga, G3 appartiennent au corps Q\ obtenu en adjoignant P, an corps Û'; ou encore, il existe deux équations algébriques, à coefficients entiers entre Ga,

Si, entre ces deux équations el les deux équations (XXXVIIs), qui expriment que i{n-z), J(t) sont respectivement des fonctions rationnelles à coefficients entiers de G2, G3 et de ^3, g), on élimine Gï, G3 et gi, par exemple, on obtient une équation algébrique à coefficients entiers, entre J,("t) et J{t); dans cette équation ne peut figurer ^3 , car si l'on change w, , Wj en Xw, , )iW3 où ). désigne un nombre quelconque, t ne change pas, tandis que g^ se change etiX^'^g^. Il existe donc aussi (XXXVlIe) une équation algébrique, à coefficients entiers entre /c'^[iix) et /*"-(")■

688. On peut encore reconnaître l'existence d'une équation entre \/k^\/k{x) et\/'l:= \lk{nx) en s'appuyani sur les résultats établis au n° 584, de manière à obtenir quelques renseignements de plus.

Supposons formée l'équation irréductible F(;) = o, de degré 2v{v -h i), qui a pour racines les valeurs non nulles de sn^np^,, ; les coefficients de cette équation appartiennent au corps formé par les nombres rationnels et les fondions rationnelles à coefficients entiers de if(^-:) = \/k. Supposons aussi formée l'équation G(>-) = o de degré av-f-adonlon a établi l'existence au n" 684 et qui a pour racines les diverses valeurs d'une fonction symétrique de celles des racines de l'équation F(ï} :^ o qui correspondent aux éléments {p, q) d'une même ligne; si les coefficients de la fonction symétrique appartiennent au corps Ci, il en est de même descoefficientsdupoIynomeG{^). Enfin, supposons formée l'équation g" (s ; ^) = o, du degré v en s , qui , lorsqu'on y remplace y par une des racines de l'équation G(^) = o,a pour racines les valeurs de sn'ap^y correspondant à la même ligne d'éléments {p,q) que la racine de l'équation G(y) = o; les coefficients de i'expres-

APPLICATIONS A l'alg(!biiii ET A l'aritiimètique. ftig

sion g{^',y), envisagée comme un poljnome enjrets, appartiennent aussi au corps û.

Ceci posé, reportons-nous à la formule (LXXXVI3) qui peut s'écrire

si^o est la racine de l'équalionG(y) = o qui correspond à la ligne (i, o), (2, o), ,. ,, (v, o) du système complet cl'élémenfs (p, ^), le second membre, qui est évidemment une fonction symétrique de sn^{a,^n), sn*(fl2^o), .,., sn^(av,o), c'est-à-dire une fonction symétrique des racines de l'équation en z, g{^',y«) = o, s'exprimera au moyen d'une fonction rationnelle R(yo) de>'Q, dont les coefficients appartiennent au corps il; il en sera donc de même du premier membre cp*(7n;) ou ^l.

Si, maintenant, dans l'équation G(y)^o, de degré av + a en ^, on fait la transformation iv ^ ^^(y)) on obtiendra une équation en w, de degré av -+- 2 ^= « + 1, dont les coefficients appartiennent au même corps Ci, et q\ie vérifie ^l; cette équation peut être formée, en suivant la méthode précédente, par des calculs purement algébriques; nous en donnerons des exemples pour « = 3 et /i =: 5. Cette équation est dite équation modulaire. On étend d'ailleurs ce nom à d'autres équations analogues.

Observons que le même raisonnement s'applique mot pour mot à la quantité

de l'équation (LXXXVIj) ; on formera ainsi l'équation au multiplicateur, entre M et o("), équation qui sera encore du degré 2v-l-a — n + i en M.

689. On peut se placer, pourdéfinir l'équation modiilaire('), à un point de vue tout autre, d'où nous allons voir que la fonction

(') Cf. M. Krause, Théorie der Doppeltperiodisdieit Funetioiten. .., t. I, p. 3o3 et suivanteg. Le lecleur qui voudra pousser plus avant l'étude des Fonctions elliptiques â l'Algèbre pourra consulter le troisième Volume des Fonctions elliptiques de Halphen, et surtout les Elliptiscke Functionen de M. H. Webiir.

tf {/it) elle-même esl racine d'une ccjualion algébrique, de degré n + I, douL les coefficients sont des polynômes en <p{~).

Si T(i esl une solution de l'équation <û(~) = Wo, où cpo est donné, toutes les solutions de cette équation sont des transform.ées linéaires ~ — -„— de To rentrant dans le type i" du Tableau (XXf,), et pour lesquelles on a

y3 4- Q^ — I lîï ( mod. l6),

comme il résulte du théorème du n" o2o concernant les solutions de l'équation

et de la formule (XLVI,, cas i") qui se rapporte à la fonction ta. Toutes les valeurs de la fonction (d(;it) sont donc de la forme [S ■ ' - ■■ ■ ) où a, fl, Y, 5 désignent des entiers -vérifiant les conditions précédentes; il est bien aiséde voir que ces valeurs sont an nombre de h -+- i .

1° Si p est divisible par h, on a

en effet, les nombres a, -. iif, o vérifient les conditions imposées; d'abord leur déterminant est égal à i ; puis la condition yS-i-ô^ — i^o(mod.i6), supposant S impair, impliqiie y e^ o (mod. 8); en ajoutant membre à membre les deux congruences

(„,)^a^o, -fS + S^-^K^o (inod.T6), on trouve

„-f,î^.3^,^o (mod.i6).

a" Si p n'est pas divisible par n, on peut déterminer cinq nombres entiers a, h, c, d, Ç tels que l'on ait

»(T + Sx.)

et cela quel que soit t„. II faul pour cola que les nombres a, fi, «Y, «3 soient proportionnels -Àna — b^^ b, ne — d^, d, et comme

APPLiCATioî(s A l'ai-gèbre et a l'abitidiétiqle. 321

le déterminant des quatre premiers nombres est égal à n, ainsi que celui des quatre derniers, le facteur de proportionnalité ne peut être que ± 1 ; supposons qu'il soit -h i , ce qui ne restreint pas la généralité delà solution, et cherchons à satisfaire ans équations

il suffit évidemment de déterminer \ de manière que a + p^ soit divisible par «, ce qni est possible, puisque ^ est premier à n ; rien n'empêche même d'imposer à ^a condition d'être divisible par un entier quelconque, premier à n, par exemple d'être divisible par 16; a, b, c, rf, \ étant ainsi déterminés, et a, d étant impairs, b, C pairs, comme il résulte des expressions mêmes de ces quatre nombres au moyen de a, ^, y, S, ^, on a (XLVI,),

d'ailleurs, cd+d"^ — i ^(y +S5)hS + «='S- — i, si l'on suppose % divisible par 16, est congru (mod. 16) à ny^ -1- n^S= — i, et, par conséquent, puisque yS + 5'^ — 1 est divisible par i6, à {a ~ i) yS-t- («-— 1)0^, et, par suite, à n^— i ; on a donc

690. Les diverses valeurs de tf("") seront donc les valeurs distinctes de

que l'on obtiendra, par exemple, en donnant à \ les valeurs o, 1 , a, . . ., n — 1. On reconnaît, d'ailleurs, très aisément que les valeurs ainsi obtenues sont effectivement distinctes, sauf pour des valeurs spéciales dccft.

Il est clair, par ce qui précède, que la substitution à to d'une valeur de t telle qu'on ait a[x)= f (tu) n'en peut altérer l'ensemble. Les fonctions symétriques élémentaires de ces(/î + i) va-

leurs seront donc des fonctions algébriques de fo^ a (-;,)) c|iii ne sont susceptibles que d'une seule valeur, quand on se donne '^i,, c'est-à-dire des fonctions rationnelles de f^ à coefficients numériques. Il existe donc une équation algébrique R(w, «) = o, entière, à coefficients numériques, entre m'=3ïi(«t) et ((:= f (t), de degré n + I en iv. On voit de suite qu'une telle équation, ne devant pas changer par une substitution linéaire qui n'altère pascp(T), est irréductible dans un corps formé de nombres et de fonctions rationnelles de fp{'ï) à coefficients numériques quelconques; nous la supposons débarrassée de loul facteur ne contenant que « ; elle admet les racines

L'égalité

étant vérifiée identiquement, on volt, en y changeant -: en «-c, que

l'équation R |( — i) ^ w, (vj = o est vérifiée en même temps que l'équation R{w, w)^= o, qui, ainsi, ne change pas quand on

change «■ en ( — i) * u et h en iv; d'autre part, le changement de ■: en -L -H 2 (XLV5) montre que l'équation R((v, u) = o ne doit

pas changer quand on y remplace u par i' u et (v par i* w. On volt ainsi, en particulier, qu'en regardant u et w comme du premier degré, l'équation R(«', u) = o est aussi bien du degré n-+- i en u qu'en w, qu'aucun terme du polynôme R((V, u) ne peut être de dimension impaire, qu'aucun de ces termes ne peut non plus contenir une seule des deux variables w, u à une puissance qui ne soit pas un multiple de 4-

691. Ces remarques permettent de réduire notablement le nombre des coefficients numériques de ce polynôme, qu'il reste à déterminer. Pour cela, on pourra remplacer, dans le polynôme écrit avec des coefficients indéterminés, (v^^<o{nx) etr( = œ(T) par les développements entiers en q' qiie l'on déduit immédiatement des formules (XXXVlHi) ; on égalera ensuite à zéro les coefficients des

APPLICATIONS A l'algèbre et a l'abithmétique, 233

diverses puissances de^*. Sauf le facteur y'â, qui disparaît à cause de la parité des termes de R^w, «), ces coefficients sont entiers; on aura donc, pour déterminer les coefficients de R(w, u), à résoudre des équations du premier degré à coefficients entiers; les solutions seront des nombres rationnels, ou même, si l'on veut, entiers. Les coefficients de l'équation R(h', u) = o, considérée comme une équation en w, appartiennent donc au corps £i.

692. On écrit habituellement cette équation Véqualion modulaire proprement dite, en y remplaçant iv par (— t) ' (•■ ; elle a alors pour racines

A l'équation R{w, u) = o qui relie les deux fonctions w =:o{ni) ti u = <ù{^-^) correspond une équation toute semblable reliant les deux fonctions (v= i(T) et «^ ^(nT). Si, en effet, dans l'équation

qui est vérifiée identiquement en t, on remplace t par — -- > elle

Le même mode de raisonnement permet de prouver l'existence d'une équation algébrique à coefficients entiers, entre J(/i'ï) et J(t) qui, quand on regarde J('ï) comme donnée, a pour racines

dc^

i(nx).

elle est du degré « + 1 par rapport à chacune des quantités J(nT), J{t); elle est irréductible dans le corps formé par les nombres rationnels.

Il convient d'insister, enfin, sur ce que les formules (LVIII) de Scbrôler permettent d'obtenir directement des équations modulaires pour chaque nombre premier impair donné n; nous en donnerons des exemples pour h ^^ 3 et /( = 5.

§ III. — Problême de la transformation-

693. Le problème de la transformation poni' des fonctions doublement périodiques quelconques '!'(«), W(») d'une même variable u consiste à rechercher la dépendance dans laquelle doivent se trouver les couples de périodes primitives de ^{u) el de W(m) pour que ces deux fonctions soient liées par une relation algébrique. Ce problème se ramène immédiatement à celui de la transformation pour la fonction pH, puisque $(i;|w(, wj) et j)(k ] II),, (Ù3), d'une part, 'F(((|H|, ii;,) et j)(r(| n, j Sis), d'autre pari, sont liées par une relation algébrique. Si j)(w | w,, wj) el j)(fi|ai, Bj) sont liées par une relation algébrique

f\p{a\,o„o.,), p(„|û„ii,)]=„,

on voit aisément, en l'envisageant comme une identité en ((, et en y remplaçant u par u augmenté d'un multiple entier quelconque «1 de 2 (i>i , que l'on a anssi

Puisqu'une équation algébrique ne peut avoir qu'un nombre fini de racines, cette relation envisagée comme une équation en

permet, puisqu'elle est vérifiée quel que soit l'entier /i,, d'affirmer que parmi les multiples (entiers) de aw, il y en a certainement qui sont congrus à o, modulis &a,, afls; on verrait de même que parmi les multiples (entiers) de 2(1)3 il yen a certainement qui sont congrus à 0, modulis 2 si,, 2 a,; en sorte que, pour que deux fonctions pu puissent être transformées l'une dans l'autre, il faut nécessairement qu'il existe cinq entiers [a, a, b, c, d (que l'on peut toujours supposer sans diviseur commun), tels que l'on ail

Soit S le plus grand commun diviseur des quatre entiers a, h, c, d; nous savons, par la théorie des substitutions (n" 133), que l'on peut déterminer des couples (w',, (u^), [ii\, û'^) respeclivemenl

APPUCATIOKS A l'ALGÈrtRE KT A L'ARITHMÉTIQUE.

erfuivalenls à ((Di, (O;,), {q,, a-i). et tels que Ton ail

Si l'on désigne par v le plus grand commun diviseui — 5j — ) et par m, n les quotients de ces deuï eniici peut d'ailleurs mettre ces relations sous la forme

m. Il aussi bien que m, 5 et que v, S sont premiers relalifs. De ces relations on déduit que l'on a

d'oii, à cause du théorème de l'iiomogénéité,

mais p(Su) est une fonction rationnelle de p{it) formée avec les mêmes périodes; le numérateur est du degré §*, le dénominateur d'un degré inférieur à S^; en appliquant les formules (XSI4) et (€[114), on voit d'ailleurs que p(«p^j w'^ J est nue fonction ralionnelle de p(h | w',, w'g), c'est-à-dire de j)(« | tu,, wa), dont le numérateur est du degré n, le dénominateur du degré « ~ i ; jï[S« — ) i»'A est donc une fonction ralionnelle de p(«liui,Wa) dont le numérateur est du degré /i3*, le dénominateur d'un degré inférieur à nS^.De mémepi /»« û',, —-J est une fonction rationnelle de p{«|ft|, iis) dont le numérateur est du degré m^v, le dénominateur d'un degré inférieur à m^v. Ainsi deux fonctions p(i(]W|,W3), p(H|si|,fi3) ne peuvent être liées par une relation algébrique que si elles sont aussi liées par une relation de la forme

nip("l"'i.'".)]=iii[p("lii.,ti.)J,

où R et R| sont des fonctions rationnelles dont les numérateurs sont de degrés respectivement égaux à «0-, «i-v et dont les déno-

22b FONCTIOKS ELLIPTIQTIES.

rainaLeurs soal de degrés inférieurs à «S-, in-v; m, n, S, v sont des entiers qui doivent vérifier ]a condition que m, n d'une part, m, S d'autre part, et enfin v, S soient premiers relatifs. 11 n'est pas difficile de montrer que ces entiers sont les mêmes de quelque façon que l'on choisisse les périodes aw', , aw'^ ou an',, an'^ équivalentes à 2(0,, 2t03 ou 30,, aûj.

On réserve le nom de (/'«/is/ormafiOTi primitive k celles qui correspondent ail cas où m = S ^ 5 ^ I ; n est le degré de la transformation primitive. Ce qui précède met en évidence que toute transformation peut s'obtenir au moyen de transformations primitives. On voit aussi comment les équations modulaires correspondant à une transformation quelconque dépendent des équations modulaires correspondant à une transformation primitive, dont nous avons parlé au § II.

§ IV.— Division des périodes par 3. — Equations modulaires correspondantes.

694. Nous avons formé (ClVa,,), et explicitement au bas du Tableau de formules (CIV), l'équation W,,{ti) = o qui, par la substitution y =:^ pu, prend la forme

et dont les quatre racines sont p -~~ , p - -') p cette équation et l'équation (XCVI),

qui suppose \l<ii — e-i =; i , on élimine y, on obticot immédiatement l'équation Yiz) = o, dont les quatre racines sont sn-— .j-,

sn'— ^ï sn= -- ~ . En tenant compte des relations (XCVI)

(n'ilO),

g^ = lik^ - ic- +1), g, = ^{ir- ^ c^-A--- 0(/-- ■^),

yGoosle

APPLICATIONS A l'algèbre ET A L'AniTIDIÉTIQUJv . 227

on parvient aisémRnl à l'équation

FCs) - A^2' - ti/c=35 ^.4(, 4- /^5) s 3 = o.

Par la suLstitulion Z i= kz^ cette éqnation se transforme en

où

les racines de cette équation sont les carrés des valeurs que prend la fonction Elf ^, ^ J deKronecker {LXXV3)lorsqu'on|yremplace c

On peut déduire dlreciement l'équation (i) de l'égalité

qui a manifestement lieu pour n = ii; en posant z := A-sn-Oj,^^ et tenant compte de la formule de duplication (LXX.X.V)), on a, en effet,

en supprimant le facteur rZ ot> retombe sur l'équation (i).

695. Si l'on désigne par z^ la racine de l'équation (i) qui correspond à l'élément {i , o), on a d'ailleurs (LXXXVI3)

il suffit d'éliminer Z||, entre cette équation et l'équation (1), dans laquelle on a remplacé Z par Z,o, pour obtenir une équation entre '^^(3-:) et (f^('î)i l'équation

à laquelle on parvient ainsi, entraîne immédiatement la relation

î'(^)-?'(îx) = î.(T),(î,)[i-=.(,)o-(3t)l,

2a8 FONCTIONS ELLIPTIQUES,

puisque les premiers termes des développements des deux membres (XXS VIII,) suivant les puissances de g* sont égaux (ils sont tous deux égaux à + 4?*)- En posant

on obtient l'équation modulaire proprement dite (pour n = 3)

696. On va vérifier que eette équation (a) se déduit aussi de l'équation (i) par une transformation rationnelle. On a, en cRet,

la dernière égalité résultant de l'équation (i); on en conclut, en extrayant les racines carrées,

car il est bien aisé de voir que le second membre de cette égalité doit, comme le premier, être positif pour de grandes valeurs positives de 4- On n'a plus qu'à faire la transformation

en remplaçant dans (i), i — 7? par 2(1 — kï)y,^n remarquant que le second membre peut s'écrire (1 — k7.){i — TZj'en supprimant le facteur i — k'L fjui, en vertu de (i), ne peut s'annuler que si A'^ ^ 1 , on trouve

l'cbmination de Z, entre cette expression de jk^ et celle qui est fournie par la transformation rationnelle elle-même, donne enfin

et, en posant /:=»', jK^ — —j on retrouve l'équation modulaire (a) entre fi^:a(i;) et t^ = — o(3t).

APPLICATIONS A 1. ALGÈBRE ET A L AllLTHMÉTJQTÎi;. 229