On a d'ailleurs aussi

011 en dédiiÎL immédiatement, en cxlrajant la racine quatrième, la relation

ou encore

/Fl + \f¥~r = I ;

c'est sous cetle forme que Legendre {Fonctions elliptiques, t. I, p. 23o) a donné le premier l'éqnation modulaire pour /i ^ 3.

698. Plaçons-nous, maintenant au point de vue du n" 691, et proposons-nous d'établir directement l'équation modulaire entre ii^<s(x) et ('p^^^(3t). On sait qu'elle est du quatrième degré en w, du quatrième degré en u, qu'aucun de ses termes ne peut être de dimension impaire en (v et u, qu'aucun de ses termes ne peut contenir w ou ii seul, à une puissance qui ne soit un multiple de 4 ; elle est donc nécessairement de la forme

(a«(i'+a!K2-l-ai)"''-i-(6,tt' + 63M)ii'^

Si l'on identifie cette équation avec les deux, équations que l'on obtient en y remplaçant, d'une part, tv par — u, u par (V, d'autre

part, «par i^u, (v par i^iv, on voit que :

ou bien

aï ^^ bi ^- cij — (Il — a\ = b I ^ d-i —- e^ ^ o;

la première alternative est seule possible, car dans la seconde l'équalion modulaire neserailpas irréductible; l'équaùou modulaire

esl donc nécessaire

menl de la forme

;,i.v tii)i 6,Hiiv>-(- diii

Si, dans le premier membre de cette équation, on remplace Il = 3{-:), HJ = ¥(3") par leurs développements (XXXVIIli), on

obtient, en égalant à zéro les coefficients de q' et de q', les reiacn sorte cjue l'équation cherchée est

Pour w^ — y, on retombe sur l'équation (a).

699. Celte même équation (a) se déduit anssi de la formule (LVIII,) et c'est peut-être par cette voie que l'on aperçoit ie mieux la source commune d'où découlent toutes les équations ■„od»l.ire.(').

Si nous faisons, dans cette formule, a= i, ^^=3 et, d'une part, a; =^,^=— ■ J, d'autre part, x^\, y=: — |, puis que nous ajoutions les deux relations ainsi obtenues, il viendra