aW)S,(il3T)+9Uîh)&s(fl
= iïa(0l4^)Ss(0ll2T)-25Oî(2T|4T)2r3(6T!l5T).
Si l'on transforme le premier membre de cette égalité, en appliquant la formule {XL, ), il se présente sous la forme
-i-[&=(!UT)-i-Si(|l4x)][aa(t 1.^0-^3,(11.2.)];
quel que soit T, on a d'ailleurs (XXXIV) ^t(l|T) = -3.aiT)=3,{o|T)=o; %{\y\T) = e~'^"%{o\^);
S,(||t)=S,(-^1t) = 34(o1t); l'égalité précédente peut donc s'écrire
a.(oU')3.<oli")-3.(o|4-)»>(o|i«)-S,(o| 4^)3.(0 |i«). (') Voir Journal de Liouville, a' sér., t. III, p. 260; i3S3.
APPi,ic*TiONS A l'algèuiîk et A l'akithmétique. y.Si
Cette équation, daus laquelle on peut supposer t remplacé par -I est manifeste m eut identique à l'équation modulaire (2).
700, Observons en passant que l'on obtient, par le même procédé, des équations analogues en posant dans la formule (LVIIIi ), écrite pour a:z^ 1, p^ 3, an lieu de
soit
on parvient ainsi aux relations
701 . L'équation au multiplicateur s'obtient en éliminant Z entre les deux équations
Ces équations sont équivalentes aux deux équations
l'équation au multiplicateur est donc
(AC— A'C)5 =(An' — A'n)(BG'— B'C); en divisant les deux membres par (A- — i)", et réduisant, élit;
prei
nd la fon
3M^H-8(i- a/:3)aP-i-6M'-
L'équation f{y) = o dans laquelle se transforme l'équation ^3(11)^0 par la substitution y = pu (n" 694) étant du quatrième degré en y, est résoluble par radicaux; il en est de même T. et M.— IV. iG
2d2 FONCTIONS ELLIPTIQUES.
de l'équalion F(^) = o. En général, ces équations ne soni, pas abéliennes.
702, Dans le cas où g^ et g^ sont réels, il n'est pas difficile d'écrire explicitement les valeurs des quatre racines de l'équalion /(jk) := o dans laquelle se transforme l'éqnalion ^"j(;()^o par la substitution y-^^pu.
Convenons de désigner par £ la racine cnbiqtic imaginaire do l'unité dont l'argument est -^ ou -^, suivant que le discrlminanl
est négatif ou positif; par P la racine cubique réelle de — ''.(J; par a, h, c les quantités
par \/a la racine positive de a ; par \jb^ \Jc les racines de 6 et de c dont la partie réelle est positive; il est aisé de voir que y'ft, \Jc sont imaginaires conjuguées et que le coefficient de i dans la partie purement imaginaire de sjb est positif. On a alors
p -j- = ■/a — '^l — s/c, ji ■■ ■ V^ " = ~ \/(! H- v^S — \/c.
fj'ordre dans lequel on a égalé les quatre racines de l'éqitat'on/(j) = "»"'' nombres p^, pip, p ^"'"j^"" est déteiminé par la condition que ];>-,,- soit réel et positif, p—^ réel
et négatif; p- — --.f ^ s'exprime au moyen de p -—-> p — - et du
produit p'-^-' p'-rpi par les formules d'addition.
APPLICATIONS A l'ALCÈBRE ET A L'AlîlIHJIÉTIQIii;.
§ V. — Division des périodes par 5, ^ Équation modulaire correspondante.
703. Au lieu de former directement l'équation T^ ^ o et l'équation f{x) = o, dn douzième degré en y, qui en résulte par la substitution y=.pit, équation qui a pour racines les douze valeurs que peut prendre l'expression pcip^q pour ap^q-=. ~ — !-r — 2 J1, nous formerons les équations du sixième et du second degré dont sa solution dépend.
Soient
En posant y = p{'^p,ti)i on peut écrire (GIII,)
et cette équation, si l'on regarde P comme égal à
est aussi bien vérifiée par p(flp,,) que par p(2«^^^), puisque l'on a
p{4<ip,^) = p(«,>,ï); le polynôme
(7^-+-T^2)^-HaÉ'3r-(/- P)(4j''-S'!/ — é's)
doit donc être divisible par^j'- — Vy -l- Q ; en écrivant qu'il en est ainsi, on obtient les deux équations
d'où l'on déduit
(3) Ps-5^;Pv-4o^,P^-5^^P=-8é-î5-3p-5^J=<.,
Cette équation est irréductible dans le corps formé par les fonctions rationnelles de g^, g^ à coefficients entiers, puisque en la résolvant, par exemple, comme une équation du second degré
2Sn FONCTIOISS r.l.LlPIIQUnS.
en g 3, la quantité sous le radical n'est pas un carré parfait. Il suit de là que les six valeurs de p(«p^,) + j>(2 6(p,^) sont distinctes ('). P étant déterminé par cette équation, on déterminera y par l'équation
(4) y'--Py+-^{P'-^iff^'P + ff-^)^o.
On voit que toutes les fonctions symétriques entières de p {cip^q)-, p(2apj^), dont les coefficients appartiennent à 11, seront des fonctions rationnelles de P dans le même corps.
En éliminant P entre les équations (3) et (4)i on obtiendrait l'équation du douzième degré f{^y)^=. o, ayant pour racines les douze valeurs que peut prendre pcip.q pour ii = 5, équation que nous avons évité d'écrire.
704, Il n'y a aucune difficulté à former de même l'équalion du sixième degré qui admet pour racine la quantité \\ Introduite par M. Kiepert. On a, en effet, pour n ;= 5,
(') Faisons en passant sui' la forme de l'équation en p quclq qui s'étendent aisément aux équations analogues pour n pre^
Le coefficient de la plus haute puissance de p est numérique el ficients sont entiers en g„ g,; cela pouvait Être prévu, ca on l'a vu au n" 457, appartient au polynôme en y que Ton déduit de T„(u) quand on y remplace pu par y, il appartiendra donc aussi, en vertu de la théorie des fonctions symétriques, à l'équation S(i) — o, ayant pour racines les sommes de racines de l'équation en y et à tous les diviseurs entiers en s,
g-,, ^3 qui ne sont pas divisibles par un polynôme en g,, g^; or le premier manibre de l'équation en p est un tel diviseur, puisque ses racines sont certaines sommes de racines de l'équation en y.
D'autre part, le polynôme en p est une fonction homogène de p, gj, g^ quand on regai-de ces quantités comme du premier, du second, du troisième degré; cela pouvait aussi être prévu par l'équation d'homogénéité (VIII,).
Ces remarques montrent que, pour former l'éqnation en P, on n'a à déterminer que des coefficients numériques; en particnlier, il est certain que le terme en p" manque toujours dans l'équation en P.
APPL[CAiioss A l'algèbre ht a L'AniTUiaÈTiQur;. 335
il suffît donc d'éliminer P entre les deax équations
ou encore entre !es deux équations qui leur sont équivalentes
ç,(R^+ g,R- gl)F' -^ 5iff-,(^Vi~ g^)F~ &i ffl ^.<>; on trouve ainsi, sans ancune peine, l'équalion iIf(R)^5Rs + ia^5R5 — i6o(JR' + a56Cfî
+ 27 ^^(loRS — 2^1 + 37^1) = l>,
on
et l'on obtleiil, en passant, l'expression que voici de P en fonction rationnelle de R,
70S. Pour n =^ 3, les équations modulaires entre §-■>, gi, G3, Cj se déduisaient immédiatement des équations (1) du n" 687, puisque pour « = 3, y est égal à i, et que, par suite, ou a simplement
i"^--'" %f'-^-"" If'"^-"'-
Pour n = 5, il faut faire subir à ces équations une légère transformation. Puisque p ^j p ^ sont racines de l'équation (4), on a d'abord
20,, 4", F? + ^j-aPi-hA--3.
on en déduit
,2W, ^4<'>i .„ Pî-^^g-j Pi + ^a
yGoosle
a.ib FONCTIOKS ELLIPTIQUES.
en remplaçant ces sommes par leurs valeurs dans les éqnalions (i) dun" 687, on a ensuite
I ii5Pi^,-^.95^.+ ,;,,-i/,oP?=o;
les deux équations chereliées sont le résultai de l'éliminatioo de P, entre les deux équations (3) et (5).
On observera que les deux équations (5) sont linéaires aussi bien en d, Gs qu'en g^, gs- Si on les résout par rapport à gi, g» et que, en y remplaçant P, par P, l'on porte ces valeurs dans l'équation (3), on obtiendra une équation du sixième degré en P dont les coefficients seront des polynômes en Gî, G3 à coefficients entiers, et que devra vérifier P) . Cette équation, jointe à l'équation (3) et aux équations (5), montre bien nettement comment les éléments de l'un des couples {g^, g^), (g^, Ga) dépendent algébriquement de l'autre, les éléments de l'un des couples étant susceptibles de six valeurs quand on se donne l'autre couple. Il convient de remarquer que si l'on connaît deux couples correspondants (^2, ^a), (Ga.Gs), la valeur correspondante de Pj, racine commune aux deux équations (4). s'obtient rationnellement au moyen de ^2, ^3, Gï, G3.
706. Passons à l'équation du dou7,ième degré qui donne les valeurs de so^a;, ,, où
Le système complet des éléments est, par exemple,
où l'on a mis l'un sous l'autre les élémenls qui appartiennent ii Si l'on pose
/ = /?= sa' ap^„ !
AI'PLICAIIONS A l'alHÈBEE ILT A T,' ARITHMÉTIQUE.
, en Yertu des formules d'addition,
l/Âsn(:
"")-"^^^?Sfi'
- <■■•'> 3fl;S-4p:c''+63;'
^. 4a7Hi-par^ + ^>).
1 voil de suile que l'on a
/csn--(3«^,,)-:;-snî(2«„,,),
el l'on a là le moyen de former une équalion que devront vérifier toutes les valeurs de ksa^ap^q; comme l'équation ainsi obtenue est du douzième degré, on est sûr que c'est l'équation cherchée; elle se trouvera mise sous une forme qui nous sera commode.
Si l'on pose, pour abréger.
cette équation sera
La fonction k'^ sn^[ap^q) sn'^ (a «j,,^), rationnelle en /csii^(ap^q), ne change pas de valeur quand on y remplace ksn^^cip^^) par l'une ou l'autre des racines qui correspondent aux éléments d'une même ligne verticale. Si donc, dans l'équation /(s) = o, on fait la transformation
on devra obtenir une équation du sixième degré en y, et les deux racines z qui correspondent à une même racine y de celte équation doivent pouvoir s'obtenir par une équation do second degré ; c'est ce que l'on va vérifier,
707. Regardons dans ce qui suit y comme mis simplement pour abréger à la place de la fraction rationnelle en z qui con-
i ELLIPTIQUES.
slitue le second membre de l'équation (12); résolvons cette équation pnr rapport à p el subsliluons la valeur ainsi trouvée dans A et dans B; on U'ouvera sans peine
puis, en remplaçant aussi dans (i),
D'autre part, on a identiquement en j-, 2, p,
dans le premier membre, la quantité entre crochets est nulle en vertu de la définition (2) de ^; on a donc les dens égalités
i^) ] fi -) -t-a!
qui peuvent être regardées comme des identités en s si l'on se reporte à la définition (2) de^; dans les deux seconds membres, ;; n'entre explicitement que par la combinaison ~ — — , a ne peut
donc être une racine de /{z) sans que la valeur de ^ — — qui annule le second membre de la seconde égalité n'annule aussi le second membre de la première, c'est-à-dire sans que l'on ait
(5) e{j) = iGp^r-(' + 47-7')' (5-2/ +J') = o-
Réciproquement, si l'on prend pour ^ une racine de cette équation, pour z une racine de l'équation du second degré en s,
le second membre de la première égalité (4) sera nul [comme on le voit en éliminant p entre (5) et (6)], en sorte que
APPLICATIONS A l'algèbre kt a l'arithmétique. aSg
sera nul; mais alors, en vertu de l'identité (3) dont le second membre est nul à cause de (6), on aura, puisque^/ n'est pas nul,
(;< — 4) 2' 4- 4p2' — (ï^- -4- 4} 3' -Hj»' = o,
c'est-à-dire que y satisfera bien à sa définition (a) ; dès lors, les identités (4) ont lieu, en sorte que f{z) est nul à cause de (6). Nous avons donc démontré que l'on obtient les racines de /(s) en résolvant l'équation (5) du sixième degré en y, puis l'équation (6) dn second degré en s.
708. Si l'on considère une fonction symétrique de deux racines de l'équation y(3)=:o qui correspondent aux deux éléments d'une même ligne et, par suite, à une même racine / de (y) z= o, elle s'exprimera rationnellement au moyen de la somme et du produit des racines de l'équation (6), c'est-à-dire en fonction de la racine y considérée ; cette fonction symétrique dépendra donc d'une équation du sixième degré. Tel est le cas, par exemple, pour l'expression (LXXXVIs),
en supposant que^ soit /c- sn" -7- sa- 2^, les deux racines de l'équation (0) seront frsn- —-! k sn- ^ et leur somme sera^— ^ — -~ ;
1 en déduit
ipf^y
HtV
en remplaçant, dans le second membre, p par A- + ^i eten supprimant en haut et en bas le faeteur y — i , on trouve sans peine
a^O FONCTIONS ELLIPTIQUES.
en éliminant j entre %{y) ^^ o et l'équalion qui définit ?T, on obtient sans tlifficullé l'éqnation en S", puis l'équation en \J(.
709. Si l'on veut former l'équalion qui a pour racines ç(5t), on constatera d'abortl, comme dans le cas de n =: 3, que
est une l'onction rationnelle dey. On a, en effet,
en remplaçant, dans le numérateur, ^^y par la valeur tirée de l'équation %{y) = o, on trouve, après des réductions faciles,
iH^'l' r (' + 4r-r-)('-r)' P.
/;t i6Lj'-.-i+^'(J-^-3/) J •
en extrayant les racines carrées et en ciioisissant le signe de manière que le second membre soit, comme T, positif pour de grandes valeurs positives de -r. on obtient
Ceci posé, on a à éliminer y entre les deux équations
6(7) = 0, 4[(7 + [) + AHj'^-3y)]T-/c(r + 4r-7^)(r-y)= = o;
en rempiaçantji' par i — },, on est ramené à éliminer \ entre les équations
^-h-iX^-i-^CAT — T)X2+.'|^T(X — 2) = o,
où l'on a écrit, pour abréger, [j. au lieu de jt — t; la première de ces deux équallons se simplifie en ajoutant le premier membre de la seconde multiplié par — X^ — aX; on est alors ramené à éliminer X entre deux équations du quatrième degré
/cT ï,i -i- (î(t T 4- |.tT)i3 — 4 [i(T 4- il)), -!- 4[i2 = o, )^*-f.2X3+ 4(ftT ~i):^^-l- 4tiT), — SfiT = o.
APPLICATIONS A I.'ai.UÈBEE ET A l'ahithmétiqiiiî, 34i
En appliquanl la méthode de Bézout et en combinant les lignes et les colonnes de manière à simplifier le déterminant du quatrième ordre auquel elle conduit, on parvient aisément à un déterminant du quatrième ordre dont sept éléments sur seize sont nuls, et que l'on n'a donc aucune peine à développer; on trouve ainsi, en supprimant des facteurs jj. et (i 4- /r^),
-ATe + 4A2TS-5/cTi-i-5^T2— 4T + /s: = o.
En posant tf (:^>'r) = — i"» 'f ("ï) =^ II, donc T = > on trouve
finalement (')
On parviendrait à la même équation en suivant la méthode appliquée au n" 698 pour n ^ 3.
710. On peut mettre cette équation sous la forme -7 = --! eu posant
on peut donc aussi la mettre sous la forme
A -+- (î C+ D À — lî " G^D' où
C'est la forme que Legendrc lui a donnée. Dans son Supplément aux Fonctions elliptiques, p. 75, il établit, en effet, l'équa-
De l'équation modulaire obtenue au n" 709 on déduit aisément ('] Jaoobi, Fundamenta; ÛL'uv'es, t. i, p. ■jS.
343 FONCTIONS ]ÏLLirTlQUES.
la relation
(.-î'(,)][i-ï<(Sx)]=(i-i<>)(i-i.')
[(,„.)(,+ ,. )][(,pl)(,+ „4)]
t'!)Hii+1
iGwn
[T-(.)-?'(ît)]' .
d'après une remarque faUc au n° 692, on a donc aussi
[i-*'(5')lti-*'(')]=^
i64.-Wt'(5x)
Si l'on divise ces deux relations, membre à membre, et que l'on tienne compte des égalités
o"(T).hl'(,) = i, ?'(5,) + (,«(5t)-.,
on obtient la relation
d'où, en extrayant la racine sixième des deux membres etchoisissanl les déterminations par la considération des développements suivant les puissances de q {XXXVIUi),
</MMtl ^ ;'(T)-9'(5v)
C'est la forme même donnée par Jacobi à l'éqiaaUon modulaire au § 30 de ses Fundamenta {'), savoir :
711. Dans la formule (LVIII,) posons 0;^= i, p = 5, et prenons d'une part x = ~,y = ~^ d'autre part x^^~^y = J ; ajoutons les deux fornmles ainsi obtenues ; transformons, comme dans le cas de 71:=^ 3, par la formule (XL,), les produits de S qui figurent dans
{') Œuvres, l.l, p. isS.
yGoosle
APPLICATIONS A l'aLQÈURE et a L'ARlTiniÉIIIJIJE. 3^3
le premier membre, en sommes de S; eiifinj exprimons les 3 de l'argument 5, | 011 | par les S de l'argumenl o ; nous obtiendrons ainsi la relation
a,(oi^)3>(oliOT)=3-,(ûl3T)3-,(oli5^)-7':ï,(T|3T)S,(5Tl,5T)
De même, prenons dans la même formule écrite pour a ^:^ i, p =; 5, d'une part x ^j,y = — J; d'autre part x = |-, y =^ — ^-; ajoutons les deux formules ainsi obtenues; réduisons au moyen de la formule (XL, ), et noiis aurons la relation
Pour œ = — - ! y --^ d'une part, et x =-^ -h - 1
y ^^ ■ - d'autre part, on parvient de même à la relation
&,(oU)s,(c|Ç)=.&.(ol3.)3,(ol.5T) + aî'3.(^13.)a,(5.li5.)
tandis que pour x = — —, y^= — d'une part, et x ^ r + "'
y ^ ..' d'autre part, on obtient la relation
+ 35>&,(2t13t)3,(iot1i5^).
Ces quatre relations, déduites toiites les quatre de la même formule (LVIII, ) pour a= I, ^=5, vont nous fournir aisément l'équation modulaire pour n = î. Nous avons établi (n''= 699, 700), pour [j. =; o, 1 , 2, la relation
d'où l'on déduit, en changeant - en 5t, la relation
multiplions ces deux relations membre à membre et par q'^'^' ; si dans l'égalité ainsi obtenue on donuc à a les valeurs o, i , v., on
FONCTIONS ELLlPTlQUnS.
obtient trois relations que nous ajouterons membre notis parviendrons ainsi à la relation
= S;(f,|-c)&,(ol5T)2y=i^=&,(siTl3T)3s(V^I'J-l
clans laquelle figurent précisémenl les quatre sommes, de trois termes chacune, que nous venons d'exprimer an moyen d'nn produitde deux fonctions S(o); si l'on remplace ces quatre sommes par leurs valeurs, on obtient la relation
[iS,(o|.)&,(o|5T)-ia,(o|x)S,(olS-c)]s,(o|l)&,(^o|^)
il suffit d'appliquer les formules de transformation (XLVII), (XLVIIl) pour H = 2, pour apercevoir l'identité de cette relation (' ) avec l'équation modulaire proprement dite pour « =; 5 ,
(') La même formule (LVIIIi) fournil un procédé très rapide pour paryenir à l'nne des formes de l'équation modulaire pour « = 7. Prenons, à cet effet, dans cette formule a =; i, p = 7 et d'une part a: = i, j' = — }, d'autre part s: = i, y = — i, et ajoutons les deux formules ainsi obtenues. Réduisons le premier membre par la formule (XL,) appliquée à cliacune des quatre fonctions S qui y figurent; on aura
.a,(ohT)=7.(o(:i8T)
= 393(ol8t}a,(ol56T)-ag^aj(2T]87:)aj(i^T|56T)
+ 2gi«a,(4TieT)a,(38Tl5eT;)-2g"9,(6Tl8t)S,(4itl56T).
Faisons aussi dans la même formule (LVIII,), écrite pour a = 1, p = 7, d'une pari X = 0, y = 0, d'auire part a; = J, / = — ^, ajoutons, réduisons le premier
APPLICATIONS A l'ALdÈERE ET A l'aRITHMÉTIQUE.
§ VI. — Division d'une boucle de lemniscate en 3, 4 ou 5 parties égales.
712. Le problème de la division d'une boucle de leraniscato en parties égales se ramène immédiatement à la recliercbe des valeurs
dejjf- — ^ (i>i, wj] dans le cas parliculiei'Oii les invariants gî, g^ sont respeclivemeut égaux à 4 ^t o. Si l'on prend le demi-axe a de la lemniscate pour unité de longueur, la longueur d'une boucle de lemniscate est, en effet (n° 649), égale à -- aK ou awi pour g.^ :=r 4; Sa ^^^ '^' ^^ sorte que la longueur / — s de la n"^'"" partie
membre par la foi'miilc (XL,); nous aiivons
-i-3ji«aa(4T|8T)S,(28Tl56T) + 3y"a3(G-tl8T:)S.3(4aTlJGt).
Xîn ajoutant membve S membre les deux formules ainsi obtenues cl i'c;nplaçant ensuite t par jt nous obtenons I» relation cherchée
s,(o!T)&,coi,ï)+a,(oiT)a,(oi7t)+B,(o]T)s,(oi7T)
= 2â,(0|îT)9-,(0|l4t)-l-l9,(ol2T)&,<0[l4't)-
En tenant compte des formuies (SXXVII) on peut l'écrire
En élevant an carré les deux membres de cette relation, on en déduit aisément 1h relation
si l'on extrait la racine carrée et si l'on détermine le signe en dételoppant les deux membres suivant les puissances de g, au moyen des formules (XXSVIII), on voit que le carré de l'expression fl.t)f{Tt)-*--^(i)'\i(T') est égat à i; cette expression elle-même est donc aussi égale a i, comme on le voit, en observant que, d'après les formules (XXXVIII), elle se réduit à -+- 1 pour ij ■--- o. L'équation modulaire ainsi obtenue
se présente sous une forme particulièrement élcganlc. Comparer Journal de Liouville, ï' sér., t. III, p. 261; i858.
de la boucle, comptée à partir du point double de ia lemniscate, est égale à — ■ ; les valeurs réciproques p des carrés des distances du point double aux {n — i) points de division sont donc données parles {/i — ^i) expressions que prend p = p — ~ pour k--^i,
Pour /i ^ 2, il n'v a pas de problème; pour «^ 4; on a immédiatement (n" 676)
Pour II ^= 3, on déduit de même des formules (n" 702)
V3 3-tV3
1 sorte que l'on n
Ces mêmes résullats se lisent, d'ailleurs, aisément sur l'cqaation/(y)^=o que l'on déduit de la relation ^^(^u) = o par la substitution y = pu; celte équation se réduit, en effet, pour gs ^ 4i §"3 = Oi à l'équation bicarrée 3y* — 6^^ — 1^:0.
Pour n ^^ 5, l'équation
PD 2oP»— 8oP2 = 0; elle admet donc la racine double P ^ o et les quatre racines simples P=-. Y 10 + 6 y/a où cbacun des radicaux a deux déterminations. A la valeur p ^ o correspondent les deux valeurs Q ^^ ^ — > racines de la seconde équation (■?.) du n^TOS, pour
APPLICATIONS A l'algèbre El A l'ARITHMÉIIQUE. 247
g2= i, gî^'O. Aux quatre racines simples P. correspondent deux valeurs de Q données par la relation Q = |P^-I-^ = 2+^5. Les douze valeurs de pcip^q seront donc les douse valeurs que prennent ies expressions
^/EjZZ^, 1(^/6 >/5 + ,„ + i/W5T^),
quand on donne aux radicaux qui y figurent leurs deu\ détermînalioRs .
Ces formules meltent en évidence ce fail que ia division d'une boucle de lemniscate en 3, 4 ou 5 parties égales peut être effectuée à l'aide de la règle et du compas seulement, tout comme la division delà circonférence du cercle en 3, 4 ou 5 parties égaies. Ce parallélisme entre les deux problèmes se poursuit, d'ailleurs, pour tous les nombres premiers impairs n, et c'est à lui que Gauss fait allusion au début de la septième Section des Disquisitiones ai'ithmeticœ.
713. 11 n'est peut-être pas inutile de faire observer que, pour déduire les mêmes résultats de l'équation 0(^) = o [équation (5)
du n" 7071, on ne saurait prendre pour k'' ta valeur ~ ^ =^ -
trouvée au n" 649; pour passer de l'équation en pw à l'équation en sn* u, on a, en effet, au n°677, appliqué la formule (XCVl), qui suppose essentiellement ^/e, — Cj =: i, en sorte que dans l'équation &(j')t= la valeur de/,-" est liée à celles i^s gi=^ ^,g%--^o par les relations
qui sont vérifiées pour k'^ -{- i = o^ k^ — ^3 = 0, mais non pour 2A'^-i = o.
Pour A'^ î, on a p ^^o, et l'équation 0(^)=^o est résoluble par radicaux; elle se décompose en
en sorte que y est, soit de la forme a -+- y'5, soit de la forme i-t-a^ — i.Les deux quantités 2 -i- \/5 sont racines doubles de &{y) = o; pour ces valeurs l'équation (6) du n" 707 devient une
a48 FONCTIONS ELLIPTIQUES.
identité; les quatre racines de l'équation
sont d'ailleurs racines de l'cqnation y(s) =^0 ; on obtient ainsi huit racines de /(^) = 0, savoir
où charfue radical a deux déterminations. Les deux quantités I -I- 2 ^ — 1 sont racines simples de [y) =^ o, et les valeurs correspondantes de s sont y [ + 2 \J — 1 ; on a donc quatre autres racines de l'équation du douzième degré f{^) = o.
Pour vérifier que ces douze racines fournissent les mêmes solutions que les douze valeurs de j^^= P^p-,q écrites plus haut, il suffit de se rappeler que p a = — — et, par conséquent, de vérifier que l'on a
ce qui n'oiFre aucune difficnlté.
714. Pour fixer celles des douze racines qui sont égales à p ~t~' p —^r p —^! p — -|j il suffit d'observer qu'en parcourant dans le sens direct le rectangle dont les sommets sont les points o, m,, (0, + (O3, (03, o, on rencontre successivement les points o, —t^j 5-j-^> (Oi , . . ., (O3, ^-i — T-^> o, et que, comme dans ce parcours pu varie de +co à — co par valeurs décroissantes, on a
APPLicATioi^s A i.'algèbbe et a l'arithmétique. 3^9
en posant, pour abréger,
Les liuil antres racines sont imaginaires; on peut les discerner aisément les unes des autres en tenant compte des valeurs des quatre racines que nous venons d'écrire, et en appliquanile théorème d'addition.
§ VII. -- Division de l'argument.
71S. Le proLlèrae de la division de l'argument pour un nombre entier n consiste, pour la fonction pu, k calculer p(-; g-i, gi) quand on se donne p{u; g^, gs). Ce problème a été entièrement résolu pour « =; 2 par la formule {XVI, ); il ne dépend que d'équations du second degré. Il suffirait, pour le résondre dans toute sa généralité, de le résoudre complètement pour h premier impair; nous nous attacherons au cas où /t =^ 5 ; la marche à suivre est la même dans le cas général.
Pour n^ 5, le problème dépend d'une équation de degré 5^.,
dont les racines sont les diverses valeurs de p( ' ~'~ — ^ — -U
La formtile (CIVa), en y changeant u en -^t permet Immédiatement de former celte équation, et l'on voit de suite que ses coefficients appartiennent au corps Q formé par les fonctions rationnelles de ^2, ^3 à coefficients entiers. Elle y est irréductible, mais sa résolution peut se ramener à des résolutions d'équations du sixième el du cinquième degré, ces dernières étant résolubles par radicauK. Pour le faire voir, nous étudierons d'abord les transformations inverses de la fonction pu, nous montrerons que ces transformations se ramènent à la résolution de telles équations, puis nous mettrons en évidence que le problème de la division de l'argument se ramène à deux transformations inverses successives.
716. Supposonsd'abord que l'o use donne piit -r^i 0)3! et les invariants correspondants G;, Gj, el proposons-nous de calculer la
25o FOSCIIONS lîI.LIPTIQUES.
valeur correspondante de p{u \ (O), w^). Nous commencerons par calculer les invariants ^2, ^3 de cette fonction an moyen de G;, G3, comme on l'a indiqué au n" 703; nous devrons ensuite résoudre par rapport à p« l'équation du cinquième degré en pu,
,(.;^,„.)=pco+,.(.+îfi)-H,(»+^)
dont les coefficients sont des fonctions rationnelles, à coefficients entiers, de J>(« -t^> ^a j , Ga, G.3, Pj, oii P, est lie à G3, Gj par l'équation du sixième degré que l'on a appris à former au n"705. Cette équation (quand on regarde F, comme connu) peut être résolue par radicaux ('}; ses racines sont, en effet, manifestement
si donc on désigne par œ une racine primitive de l'équation x'^ — 1^0, on voit de suite que l'expression
où jD est l'un des nombres o, i, a, 3, 4, ne change pas quand on augmente u de — '> ou que l'on fait une permutation circulaire sur .^0, x,, œ^, .^3, ^4, car le premier facteur se reproduit, multiplié par -— et le second par -— ; il suit de là que Ap est une fonction doublement périodique de u, admettant les périodes -7-^et2(i>3; on voit de suite que c'est une fonction paire de u; c'est donc une fonction rationnelle de ja ( w -r-i Wj 1 ; c'est même une fonction e«iiere de jj( u -.-> W3I, car dans le parallélogramme des périodes dont les sommets sont o, —^t —r- + 2W3, 20)3, il n'y a pas d'autre pôle que le point qui est d'ordre de multiplicité
(') On (liiiiionlro toutefois que cette éqijiition, en général, n'est pas ybéHenne.
APPLirATiOKS A l'algèbre ET A l'aiIITIIMÉTIQIIE. 2DI
a/1 -H a; Àp pourra donc s'exprimer par la méihode de décomposuîon eti éléments simples, on par l'identificalion des coefficients des diverses puissances de u, au moyen d'une fonction du premier degré de pi «U^, (li^j etdeses dérivées d'ordre pair g 2/>, ou par un polynôme en p/uU^-', WjV II est d'ailleurs aisé de
voir qu'on n'introduit pas, sauf a, d'autre irrationalité que celles que l'on a déjà introduites, c'est-à-dire que Ap est un polynôme en piu V—i 0)3), dont les coefficients sont des polynômes en a, P,, Gj, G3 à coefficients numériques rationnels. Les polynômes Kp étant formés, on voit que l'on a
équations n^cmbre à membre, on trouve (')
m (î/Aj- (î/Ai)' {vkï]
Les autres racines s'obtiennent en remplaçant t/Âl par ses diverses déterminations. L'équation proposée se résout donc par radicaux.
Il est à jîeine utile de dire que le problème qiti consiste à trouver p((i| W|, ii>i) au moyen de plu (■>,,-;- j se traite exactement comme celui dont nous avons développé la solution.
717. Ceci posé, revenons au calcuidepf p !i)i, (jj^, j, connaissant j>(m|w,, M'i). La formule d'homogénéité
(') Dans le cas général où le nombre 5 est remplacé par le nombre premier impair n, il convient d'observer pour cela quo les fonctions cycliques entières de pi — — ~ w,, lu, j,où r = 1, s, . . -, - — -— 1 comme les fonctions symétriques des mêmes quantités, s'espriraenl rationnellement an moyen de g^, g.^ et de la racine correspondante (ici P,) de l'équation du (n + i)i'"' degré dont dépend le problème de la division des périodes par n.
>nonUe ([ne l'on peut, fegarder comme connue la fonciion
Connaissant cette dernière fonction, on calculera j> ( ^ w, , -^ J ; on a pour cela, d'après ce qui a été dit aiixn"'70o, 716, à résoudre une équation du sixième degré qui ne concerne que les constantes et une équation du cinquième degré résoluble par radicaux. Âjanl obtenu pf ^ w,, -^ )> on calculera jïi ~ oj,, wj) ; il semble qu'on ait encore à résoudre une équation du sixième degré, mais on évite cette résoin lion puisque l'on connaît à la fois les invariants de j)f 7 ti)|, -^ 1 et ceus de jai ^ W), (Ua J, qui sont les données gi, gsl on n'a donc qu'à résoudre (par radicaux) une nouvelle équation du cinquième degré,
718. Des considérations analogues s'appliquent à la division de l'argument pour la fonction sa u ; le calcul de sn f - 1 1 connaissant sn«, est entièrement résolu pour n = 2 par les formules du n" 334; il se ramène, pour n premier impair quelconque, à deux transformations inverses de la fonction sn«.
Si, dans la formule (LXXXVII,), on regarde sn(«]T) comme l'inconnue et sn f j, «x\ comme donnée, l'équation
va
est du degré n en su u. Désignons par Qo le corps formé des fonctions rationnelles de a{T), ^(n-), à coefficients entiers; on rappelle que ç>(t), <f (it) sont liées entre elles par l'équation modulaire, de degré n ■+- 1 par rapport à chacune de ces deux quantités. Les fonctions symétriques entières des quantités sn-a,., o qui figurent dans l'équation (LXXXVli[4) appartiennent, ainsi que M, à ce corps. La fonction 'f ('i'^) doit être regardée comme donnée en même temps que la fonction sn/ r| «t j, et c'est par rapport
APPLICATIONS A L ALGÈnHË ET A L'AIIITHMÉTIQUE. I'oA
à œ(x) que l'éqnation modulaire doit d'abord être résolue; puis l'équation (LXXXVII.i) doit être résolue par rapport à sn(H |t) : en se reportant à l'éqiiatîon (LXXXVllf), on voit que les racines de l'équation en sn ( h | t) sont de la forme
et il n'est pas difficile d'en conclure qu'elles s'obtiennent encore par l'extraction d'une racine «'*""'.
Le multiplicateur M est donné par la dernière des formules (LXXXVI5); cette formule, en y remplaçant sn par son expression (LXXIo) au moyen des fonctions 3, donne de suite
en utilisant ensuite les formules (LI2), (X.XXVI2), on arrive sans peine à l'expression
cette formule met bien en évidence la façon dont M dépend de t. Le problème qui consiste à trouver sn(ri|T), connaissant sn(-^ -] elio(-\, se résoudra de même au moyen des formules (LXXXtX,), après que l'on aura calculé 'f(-z) au moyen de l'équation modulaire du degré ?i + i, qui lie cp(T) et y ( - \ • Au moyen des formules (LXXXVIII,), {LII3), etc., on trouvera aussi
Ceci posé, connaissant sn((j[T), on commencera par calculer snfmM -]; où l'on a écrit, pour abréger, m pour désigner le mulliplicateur M dans lequel on aurait remplacé t par -'- ; c'est le problème de transformation inverse dont nous venons de parler.
254 FONCTIONS RLLiPTIQUES.
fl Ciige d'abord la résoiution par rapport à fi--) do réquaLion modulaire de degré n -+- 1 entre «(t) el ^f - )> puis ia résolution, possible par radicanx, d'une équation de degré n en sn ( mu - ) • Gonnaissanl snf mii - )> on calculera sti(^mm'u\-z), où l'on a écrit m' au lien de M; ce problème se résout au moyen de l'équation (LXXXIX4) et peut être effectué par radicaux. Comme, d'après les formules (1) et (a), on a
on a ainsi obtenu sn f - | t j et le problème de la division de I gument est résolu pour la fonction sn.
§ VIII. — Multiplication complexe.
710. Quel que soit le nombre entier ,1 que l'on envisage, la fonction p(iiu) s'exprime rationnellement (n" 460) au moyen de pu, en sorte que les périodes de p« sont des périodes de p(nK), Si un nombre complexe |A, pour un couple de périodes données 2(!)(, 2(û3, jouit de la même propriété, en sorte que les périodes dep(H|W),w3) soient des périodes de p(^((| w,, W3), on dit qu'il y a une multiplication complexe de la fonction pu par le nombre \t., poiir le couple de périodes ztD,, awj.
Soit jJL un tel nombre complexe et désignons par i(«) la fonction fi([j.«| Wi, W3); puisque •^{u) admet les périodes aw,, awj, ^(m) est une fonction rationnelle de p(H j w, , U3), j)'(« | w,, Ua); i(i(), étant une fonction paire de «,cst donc une fonction rationnelle de p{ u\bi,, W3) seulement,
720, Puisque les périodes de la fonction p{u \ o), , lo^) sont des périodes de la fonction p(p« j (01,(03), il est clair que2|/0Ji, ajtws sont des périodes de la fonction j3(« |(jJi, w^); on doit donc avoir, eu désignant par a, P, -(, 3 des entiers réels tels que aS — Py soit
APPLICATIONS A l'algèimiiî et a i,'AmTiniÉT[(jiiiî. 255
différenl de zéro, des relalions de la forme
Réciproquement, des relations de cette forme montrent évidemment que la fonction p([j.((j(i)|, Wj) admet les périodes 2 0(, 20)3, et que, par conséquent, il j a, en vertu de la définition, multiplication complexe par le nombre complexe [a, pour le couple de périodes 210,, 2(03.
Les égalités (1) peuvent s'écrire
il y a donc transformation entre les deux fonctions jî(;(| u,, Wj) et jï(«]Q,,03), et l'on voit encore de celte façon que p((( | 0, , tî») ou w.^p(^H I W), wa) est une fonction rationnelle de p(«j W), wj). Les équations (1) étant homogènes en u,, to^, il est clair que, s'il y a multiplication complexe par [j., pour le couple de périodes awi, 2«3, il y aura aussi multiplication complexe par le même nombre [i, pour le couple de périodes 2)>Wi, aî-toa, quel que soit ^; on parlera donc de multiplication complexe par p. et pour un rapport de périodes t.
En résumé, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait multiplication complexe pour-v et par |a (t et ij. étant des nombres complexes donnés) est que les équations
soient vérifiées pour quatre entiers a, p, y, o.
On observera que p, y et aS — ^y sont nécessairement différents de zéro. On peiit supposer ^ positif, quitte à changer le signe des cinq quantités a, p, y, 8, [j..
721. Des conditions (2) il résulte immédiatement que, s'il y a multiplication complexe par ix et pour -7, il y a aussi multiplication complexe par tout nombre de la forme «+ i|j,, où cf et ^ sont des entiers réels quelconques.
