Des équations (a), on déduit

si donc, en désignant par p le plus commun diviseur des valeurs absolues des nombres — y, a — 3, p, on pose

on définit trois nombres entiers a. b, c jouissant des propriétés suivantes : a elc sont différents de zéro; c est positif; on a

comme i n'est pas réel, on a nécessairement

r/ est donc positif. Si l'on pose

et, par suite,

APPLICATIONS A L'AI.GÈBRE KT A L'ARlïH.llÉ'riQUE.

OÙ le radical est pris, comme dans ce (\in suit, avec sa dctcrir

lion arithmétique. On observera que le nombre entier norme Au nombre complexe ^.

723. Inversemenl, supposons qu'on se donne les entiers a, b, c, tels que ^ac — b^ ^= m soit positif, et les nombres entiers p, p,, dont le premier est positif, et tels que p, d: ba soit pair ; les expressions précédemment écrites de a, p, y, S an moyen de a, b, c, p, a, définissent une multiplication complexe par le nombre

pour la racine de l'équation

dont la partie purement imaginaire est positive, ainsi qu'on le voi t de suite en retournant les raisonnements prcccdents.

724. Au lieu du multiplicateur ;j. on peut introduire, pour le même t, le multiplicateur

£ étant égal à o ou à i, suivant que è est pair ou impair; jy-cst lié à M par la relation

^pM = a — p,

où — — est manifestement entier. Le fait que M est un multiplicateur complexe, pour t, résulte, d'après les équations (y), de ce que l'on a

ainsi qu'il est aisé de Se vérifier. D'ailleurs, de ce que M est un multiplicateur pour x et de l'expression de [l au moyen de M, il résulte que p; est, comme on le sait déjà, un multiplicateur poiir-;.

7âo. Si T. est lié à T par une substitution linéaire t, = '- — 5-1 à déterminant aô — [iy égal à i, il existera une multiplication

a58 FONCTIONS ELLIPTIQUES,

complexe pour t, avec le même muUiplicaLeur ^ fiera évidemment une équation du second degré

où 4«iC) — ft, est égal au produit de 4'2c — b"^ parle carré du déterminant de substitution qui est i, en sorte que b et />, sont de la même parité et que les quantités m,, ^^, analogues à m, £, sont respectivement égales à ces dernières. Rappelons d'ailleurs que

J(^)^J(tO.

726. Supposons toujours qu'il y ait mnltiplicatic pour-r. Des équations (2) il résulte que l'on a

utre part, quel que soit t, les

; que prend la fonc-

tion Jf -t ^ \ quand a, p, y, S prennent toutes les valeurs entières possibles telles que l'on ait aS — p^^ "l 'î étant un nombre entier positif donné, vérifient une équation algébrique

où l'on a écrit J au lieu de ■T(~); puisqu'ily a multiplicfition complexe, J vérifiera donc l'équation F{J, J) = 0. Ainsi chaque invariant absolu qui correspond à une valeur de t pour laquelle il y a multiplication complexe, vérifie une équation algébrique à coefficients entiers {'),

Kronecker a appelé ces invariants absolus particuliers : les invariants singuliers. Il a de même appelé modules singuliers les valeurs de k^ (t), qui correspondent aux valeurs de •: pour lesquelles il y a multiplication complexe.

APPLICATIONS A l'aI.UÈURE ET A l'aRITHJIÉTIQITK. sSg

727. La théorie de la multiplication complexe esi liée à l'Arithmétique. On sait que deux formes quadratiques définies, à coefficients entiers,

sont dites (proprement) équivalentes quand on peut passer de l'une à l'autre par une siibsti-tution à coefficients entiers

x' = ax-^ pj-, y = -fa--[-Sj-,

dont le déterminant a?- — ■ jBy est égal à i. On a alors

et 6'-— 4*5;' t' est égal à 6^ — 4«c. Aux formes précédentes sont liées naturellement les équations

Si l'on désigne par -ï, t' les racines de ces éqnations pour lesquelles le coefficient de ; est positif, si l'on pose, comme précédemment,

^ M = — : -H i /iac — 6^ -i M' = - s' -i- i. sj \a~c'^^l7'\

en désignant toujours par s, e' des quantités égales à o ou à [ et de même parité que b, b', on voit que, quand les deux formes / et /' sont équivalentes, M est égal à M'. En supposant toujours l'équivalence des deux formes, on peut passer de ■;; à t' par une substitution linéaire (de déterminant égal à i), en sorte que J{t) est égal à J(t;')-

Inversement, s'il y a multiplication complexe pour t et -z, et si l'on a J (t) = J (V), d'une part -z et t' vérifient des équallons de la forme

où l'on peut supposer que les nombres entiers a, b, c sont sans diviseur commun, de même que a' , b' , d et que c et é sont positifs; d'autre part, à cause de J('7) = J(-c'),il existera des entiers et,

200 FONGKONS ELllPTIQUES.

fi, f, 3 tels que l'on ait

i\ en résulte iL|ue l' équation

a les mêmes racines que l'équation

Il est bien aisé d'en eonclnre qne, si Ton suppose

les deux premiers membres sont identiques, d'où résultent immédiatement les équations (3) et, par suite, l'équivalence des deux formes envisagées. On voit d'ailleurs aussi que M = M'.

Il suit de là que l'égalité J(T)^J(t') est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux formes

ax^ -+- bxj^ ■+■ cy-, a! x"' -\- b'y"^ -+- c'z''^

soient équivalentes. Si l'on range dans une même classe les formes équivalentes, on voit que la recherche du nombre de classes pour un déterminant b^ — ^ac<io donné revient à la recherche du degré de l'équation F{J, J) = o.

I IX. — Décomposition d'un nombre entier en une somme de quatre carrés.

728. La comparaison des différents développements en série d'une même quantité, que fournil la théorie des fonctions elliptiques, conduit souvent à des propositions intéressantes d'Arithmétique.

Signalons, d'après Jacobi { ' ), le théorème sur la décomposition en carrés. Il va résulter de l'identification des deux développe-

ts complètes, t. I, p. aSg (fin des Fundamenta) et p. 2\-;

l'algèbre et a l'aritumétiquiî.

ments (XXXVI, ,) el (GX,)

où V ^ 1 , 3, 5, 7, . . . . Considérons d'abord le premier de deux développements.

On reconnaît de snile, à cause de l'îdentitc

que, si l'on ordonne lo carré de Z. *?"' suivant les puissances en-

lières de ç, le coefficient de (/^" sera le nombre de solutions de l'éqaation

de même, dans le cube et la quatrième puissance de T^'y"', le coefficient de g^ sera le nombre de solutions de l'équation

ou de l'éqnation

Cberchons maintenant le coefficient de q" dans les deux séries

Soit

p étant un nombre entier positif impair, et considérons le cas où r est plus grand que zéro. Pour que 2 v{a -+■ i) soît égal à a'"/», il faut et il suffit que v soit un diviseur de /» ; à chacun de ces diviseurs correspond un terme en q^ dans le premier développe-

3b3 FONCTIONS EU.IPTIQUES.

ment; le coefficienL de i^^ dans ce premier développement sera donc ']'(/>), en désignant par '^{p) la somme des diviseurs de p. Si l'on a

n dcvia avoir la forme ^Pd, d étant an diviseur do p qni peut d'ailleurs être égal à i ou à p, et p un entier qui peut èlrc nul, inférieur ou égal à /■. Inversement, si n est de cette forme, en supposant dd' =p, il y aura un nombre

qui rendra n(p -H i) égal à '2''p.

Si p est inférieur à /■, p est impair; le terme du second développement qni correspond aux nombres d el a est ainsi — zPd; la somme de ces termes qui correspondent à «ne même valeur de d est

et la somme de tous ces termes qni correspondent à une même valeur de p est donc

Si p est égal à r, p est pair; !c terme du second développement qui correspond aux deux nombres <;( et p ;= ï- est a'rf ; la somme de ceux de ces termes qui correspondent à une même valeur de/» est 3''A(/')-

Finalement, le coefficient de f^^, dans la somme

en supposant /■ >■ o. Pour ;■ ^^ o, on voit de même que ce coefficient est '}'(/>).

On voit donc que le nombre de solutions distinctes, en nombres entiers positifs nuls ou négatifs, de l'équation

APPLICATIONS A L"ALGÈBKE RT A l'aHITHMÉTIQUE. 263

esl 24 '{'{/') oi^ ^'!'{p)) suivant que r est différent de zéro ou égal à zéro. Il faut entendre que les solutions n, n', n", n'" et n, , n\ , «î, n"l sont distinctes si l'on n'a pas à la fois n = n,, n' ^ n\, n" =: n\, n'" = n".

Non seulement on a ainsi démontré la possibilité de décomposer en quatre carrés un nombre entier quelconque, mais on a le nombre de ces décompositions.

L'identilé (XXXVIa)

traitée d'une façon analogue, conduit à la proposition suivante :

Le nombre des décompositions en quatre carrés quelconques d'un entier impair est égal à huit fois le nombre des décompositions du quadruple de cet entier en une somme de quatre carrés dont les racines sont des nombres tous impairs et positifs (').

ïédigé par M, Andoyeu, ■

PONCTIONS KLLIPTIQtEf

Sur la fonction de ■/. définie par l'égalité

X(«) théorème de M. Picard.

On a expliqué au Chapitre VII comment 7 est une fonction univoque de '. dans le plan E obtenu en pratiquant dans le plan de la variable k deux coupures allant le long de l'axe des quantités réelles, l'une de o à — oo, l'autre de i à +ao. En dehors des coupures la définition de ■: n'offre aucune difficulté; nous avons expliqué au n" 515 comment, au moyen des formules (CXX), on pouvait compléter cette définition sur le bord supérieur de la coupure de droite et sur le bord inférieur de la coupure de gauche ; rien n'empêche, en distinguant les deux bords de chaque coupure, d'adopter «ne définition semblable sur le bord inférieur de la coupure de droite et sur le bord supérieur de la coupure de gauche; la fonction --y^r^ est alors définie dans toutleplan E, j compris les bords des coupures, sur lesquels la fonction prend des valeurs infiniment voisines de celles qu'elle prend en un point infiniment voisin de la région du plan à laquelle appartient le bord considéré et ces valeurs sont fournies sans ambiguïté aucune par les formules (CXXj). C'est seulement au\ points o, i que la fonction n'est pas définie. Nous représenterons les bords de ces coupures par des parallèles infiniment voisines Ss, S's', -/tj', y^i en regardant h, i'"^' comme appartenant à la région supérieure du plan, S'e', fi comme appartenant à la région inférieure; nous relierons ces coupures par des cercles infiniment petits SKû',Ypf ' décrits respectivement des points i et o comme centres (les points a, p sont supposés sur l'axe des quantités réelles); enfin, nous décrirons, du point o comme centre, un cercle de rayon infiniment grand qui rencontre les coupures aux points e, e', t,, ïj' infiniment éloignés. II est clair que le contour aSeïi'-f'pYvjs'S'a limite une région (S) simplement connexe dans le plan S. Notre but est de montrer comment se fait dan; le plan de la variable ■:, lié à k par la formule