ÏOTE I. ~ FONCTIONS DE K ET THÊORÈMK DE M. PICARD
l'image du contour de (S) parcouru dans le sens direct. Les formules (CXX) y suffiseût entièrement. Nous représenterons systématiquement par (a) le point du plan des •: qui correspond au point a du plan des k.
L'image cherchée est figurée schémaliqueioent ci-dessous :
^^«cf=
fF
13 quantités purement imagimd très haut. L'aire à droite
Les points (a) et (p) sont sur naires, le premier très près de c de la ligne ponctuée est l'image de l'aire de (S) qui est au-dessus de l'axe des quantités réelles, l'aire à gauche est l'image de l'aire de (S) qui est au-dessous de l'axe des quantités réelles : deus points y. d'affîses conjuguées ont pour images des points { /.) symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires.
Il nous faut justifier les diverses parties de cette figure. Supposons d'ahord que x décrive le petit cercle 7'pf i 1^^ formules {CXXj 3) montrent de suite que, y. étant très petit en valeur absolue, on a
- !ogalog(i
en sorte q déterminât
; est sensiblement ■ logK,
principale. Si l'on pose pour
n partant d'une valeur un
V. décrivant le petit cercle f'P'f ~ '^'^ peu inférieure à i pour aboutir à une valeur un peu supérieure à — i ; le point T ou [v.) décrit donc, appros-imalivemenl, le segment de droite parallèle à l'ase des quantités réelles, qui va du point(-f') ou
=-£- -i-i au point (7) ou °-J^ — 1.
306 FOiNCTIONS KLLIPTIQII£S.
La figure décrite par le point t quand •/. décrit le petit cercle ô'ao se déduit de la précédente par la formule /(z) ^ - ■ Le point 1 — A décrit alors, en effet, le cercle ■(' 3-f , donc /( i — x ) décrit approximativement le segment rectiligue qui va de {y') à (f ) ; /(y-) décrit donc approximativement un arc de cercle de centre o allant de (B') à (S), arc de cercle correspondant évidemment à uu angle au centre infiniment petit.
Si K décrit le bord supérieur Se de la coupure de droite, on peut regarder v. comme prenant des valeurs réelles de i à -Hoo; - varie alors de I ào,/(-J s'élève donc sur l'axe des quantités purement imaginaires d'un point très voisin de o à un point très éloigné ; de la formule /(^) = i—Vu) °" "i^duil, par suite, que le point /(x) décrit dans la région supérieure du plan, le demi-cercle qui a pour diamètre le segment qui va du point o au point i, ou plutôt du point (S) au point (e), puisque y. ne va que de B à s.
Quand le point x décrit la coupure S' s' symétrique de Bs par rapport à l'axe des quantités réelles, le point /(x) décrit le demi-cercle symétrique du précédent par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Quand y, décrit le demi-gi'and cercle eïi' dans la région
supérieure du plan, - décrit le demi-petit cercle ^-f, /(r) décrit approximativement le segment rectilignc qui va de (P) à (-[) ; donc, enfin,
décrit un arc de cercle infiniment petit de (e) à (t)') dans le voisinage de I,
Quand le point y. décrit le bord supérieur t/-;' de la coupure de gauche, en allant de — œ à o, le point i — /. décrit le bord inférieur e'S' de la coupure de droite de -\-co à i, — ■ ; - , décrit donc le demicercle (e') (B') et -z ^/(k), la parallèle menée du point i à l'axe des quantités purement imaginaires à partir de (r^') infiniment voisin de (s) et de [, jusqu'à un point (-;') infiniment éloigné au-dessus de l'axe des quantités réelles.
En réunissant toutes ces parties, on a l'image complète. L'aire (S) et son image se correspondent, point par point, d'une façon «nivoque.
KOTK 1. — FONCTIONS J>E "it ET THÉORÈME DE M. l'ICARB. 267
On peut si l'on veut supprimer les arcs infiniment petits ainsi que le côté (^^{ï) infiniment éloigné vers le haut; on a alors le théorème suivant i
Si dans le plan des v. on pratique deux coupures allant de i à + 00 et de o à — 00 le long de l'axe des quantités réelles, et si l'on regarde le bord supérieur ou inférieur de chaque coupure comme faisant partie de la région supérieure ou inférieure, , le plan des x ainsi coupé, par la transformation conforme t ^^ - ■ > a pour image la partie du plan des -c limitée : i" en bas par les demi-cercles situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, et ayant pour diamètres les segments de droite allant de — i à o ei de o à -i- i, 2° ri droite et à gauche par les parallèles menées par les points + I eî — I à V axe des quantités purement imaginaires . Les deux demi-cercles sont les images des bords inférieur et supérieur de la coupure de droite; les deux parallèles sont les images des bords supérieur et inférieur de la coupure de gauche.
Quand on traverse la coupure de gauche et qu'on remplace x' (x), x(x) par les fonctions qui les continuent, la fonction qui continue t est, comme on l'a vu {t. III, p. 209}, t: ± 2 suivant que l'on traverse la coupure de haut en bas ou de bas en haut. De même quand on traverse la coupure de droite, la fonction qui continue t est ■-■, suivantque l'on traverse la coupure de bas en haut ou de haut en bas. On reconnaît très aisément quelles images du plan des x, coupé comme on Ta expliqué, fournissent les transformations conformes correspoii-
danl à ces nouvelles branches de la fonction t ^ - , - -- ■ X(x)
Si nous envisageons la fonction t ::=^(k), définie en un point x, non situé sur les coupures, ainsi qu'aux environs de x,, et obtenue par continuation le long d'une courbe quelconque, pouvant traverser les coupures, mais non les points ou i, nous savons que cette fonction est holomorphe à l'intérieurde tout contour simple entourant le point /„ et ne contenant ni le point o, ni le point 1. Dans une aire contenant l'un ou l'autre de ces points singuliers, la fonction /(x) est susceptible d'une infinité de déterminations, mais toutes les branches de celte fonction que l'on engendre en tournant autour de l'un ou de l'autre des points singuliers a, i sont toujours régulières eu un point quelconque du plan autre que o et i. En outre, le coefficient de (', pour une valeur quelconque de/(x), est toujours positif.
Ces propriétés de la fonction /(x) ont permis à M. E. Picard
a68 FONCTIONS EltlPTlQUES.
d'établir une proposition importante concernanl les fonctions entières (iranscendantes ou non) et que voici (') :
S'il existe deux nombres a, b, tels que la fonction entière g{^) ne puisse acquérir, pour aucune valeur finie de z, ni la valeur «, ni la valeur h, cette fonction est une constante.
Si la fonction entière g{s') ne prend ni la valeur n, ni la valeur b,
la fonction, aussi entière, — ^^ ne prendra ni la valeur o ni la
valeur i. Il suffira donc de démonlrerqu'une fonction entière 5"(:) qui ne prend ni la valeur o, ni la valeur i , est une constante.
Dans la fonction ^^^/(k) précédemment déSnie, regardons n comme étant égal k g(z')\ noua obtenons ainsi une fonction de s que nous désignerons par F(î) et qui (n'* 19) est régulière pour toute valeur j^u de s, puisque x n'est jamais égal ni à o, ni à i. La série entière en = — s^ qui représente la fonction F(s ) ans. environs de So ne peut avoir un rayon de convergence fini (n" 55); la fonction F(3) peut donc être représentée par une série entière en z — ^o (ou en 5), convergente quel que soit z ; c'est une fonction entière.
Si, d'ailleurs, on pose F{3) =;a + i'b, a et it étant réels, on est sur que B est positif, quel que soit z\ or on a
la valeur absolue de la fonction entière e''''^' étant plus petite que 1 , quel que soit z, celte fonction est une constante ; il en est donc de même de F(3), et, par suite, de ^(s)- C'est ce qu'il fallait dé-
( ' ) Annales de l'École Normale supérieure, 1880. Cette proposition, généralisée tout d'abord par l'auteur lui-même, a reçu, grSce aux beaux travaux de M. Borel (Leçons sur les /onclions entières, 1900), une es Nous n'avons en vue que la démonstration même do M. Pic
NOTE 2. — SUITES ABITUHÉIICO-GÉOIIÉTIIIQUES DE GAUSS. 269
Sur les suites arithmético- géométrique s de Gauss.
En partant de deux nomhres positifs quelconques «0, /i„, dont U premier «„ sera supposé plus grand que le second bu, considérons II double suite indéiiuie
ba, b„ 6î, ..,, &„-,, b,i, ..., obtenue en supposant, en généial,
(I) «,.= °^-'-^-!-', 6„=v/il75;i; (,..,,,,3,...,,
OÙ l'on doit entendre, comme dans ce qui suit, que le radical a s détermination arithmétique.
On voit de suite que Ton a
la dernière inégalité résultant de ce que l'on a
Les formules précédentes montrent que l'on a
les nombres a,, rti, «2» ■■■ vont donc en décroissant; les nombres ^oi fc,, bj, ... vont en croissant; les nombres 6,,, by, b^, ... restent inférieurs aux. nombres «„, «i, a^, ... de même indice; les deux suites ont donc une limite ; cette limite est la même à cause de l'inégalité
qui résulte inivnédiatement de l'Inégalité (a). On voit sur l'iaéga-
lité (3) (jue les deux suites convergenl 1res rapidement vers leur Si l'on pose
il est clair que l'on aura
au reste, on reconnaît sans peine que l'on a
Gauss a appelé la limite commune des deus suites «„, «1, ... et bo, b,, ... la moyenne arithmético-géométrique des deux nombres positifs donnés a,,, b^, et l'a représentée {') par le symbole [i. On a manifestcmeul, quel que soit le nombre positif h,
[tiliati, hbn'j — h\i.(aabi,).
Propobons-nous d'évaluer la moyenne arithraético-gconaétrique des deux nombres positifs
<.. = a'(oi«), t. = 3!(oi,),
oii 4 est un nombre donné réel et positif, en sorte que g =r. if-^' es réel, positif et plus petit que i, et que a„ > 60 > o. On a iramédia tement (XXXVIO
puis (XLVUO,
6,= l/SA = 3.(o|^)3,Co|<)-Si(ol«),
c, =°^-;[3|(i>|T)-3i(ol,)l=9i(o|«),
, en repelant le me
«„ = &Ko|V'^), /.„ = SU"I^"^), c„ = 3^(01 a"T).
(') Werks, t. m, p. lai;voi Gauss emploie le symbole M a
NOTE 2. — SDIÏES AUIÏHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES DE GALSS. 27 I
Quand m croît indéfiiiimenl, c-"™' ^ ij"-" tend vers zéro, donc a„ cl b„ tendent vers i ; nous aurons donc
,^[S^(o|T),3KoÎT)J = r.
Le cliangement de t en — -, dans cette formule, donne (SLUlnju)
et. par suite,
Ceci posé, appliquons les formules de transformation quadratique de Gauss, en nous rappelant que \ y désigne le module correspondant à une valeur de t égale à la moitié de celle qui correspond au module k, et que l'on peut donc poser simultanément (XXXVlI.-a) dans les formules (LXXXIV), en y changeant, toutefois, t en 2 1,
(ok;
(Oi')
(oh'
t) Ci
bi
[fiVi-
Si Ton désigne par % et 0^ les fonctions amplitudes, comprises a formule (LXXXIV,) fournit la relation
que l'on peut
(«u+io)cos^ao-l-20osin-iDo' cette forme que Gauss en a fait usage (').
FOXITIOKS ELLIPTIQUES.
déduit, d'ailleurs, par inversion,
" j. i,/.-i>siu.,r .-Ht ,/. 1/—
sorte f|ue l'équalion (i) est équivalente àeelle-ci
, . '/•*• dl ■/■''■ d
' J, l,/aiee,.. + 6.sin.,l"" j. [ i/ÏÛS^T
De même, les deux relat
(ibis) 'f t;; ^ '/■■" ^ t^f
sont équivalentes quel que soil 7t =; o, i, 2, 3, . . . .
Ces formules permelleat de ramener le calcul d'une intégrale elliptique quelconque de première espèce, mise sous la forme normale de Legendre, et dont lemoduleestréelet compris entre o et i, au calcul d'une intégrale du même type ayant un module positif plus petit qu'un nombre positif aussi petit que l'on veut. Si, en effet,
{ |,'.Jco,.. + l,J,in--l est i'inlégrale donnée, à module — j la formule (t bis) montre qu'elle
l/„îeos.! + 4îsin"i[
à module — moindre que — ) et où ^j s'exprime au moyen de 'î'o pai-
la formule (i). En prenant ensuite ^-i =; f "lins la formule (2 bis) écrite pour n:^2, on voit de même que l'intégrale donnée est égale
NOTIÎ 2. — SUITES AftlTHMÉTICO-GltOJlÉTRIQUns DE GALfS. ^78
à l'intégrale
à module — moindre que ~i et où ç, s'exprime au moj'eu de '\i,^f„ par la formule (a) écrite pour /i ;:^ i . Et ainsi de proche en proche, en appliquant les formules (2) successivement pour « =: 2, 3, .... et en prenant chaque fois 4'i^?i-ii on voit que l'on a pour tout indice n,
J, |v'„.oo..,H.iS,i„i,| j.
ç,, s'exprimant au moyen de 4'o par la cliaine d'équations du second degré (en sin^.,)
Of, par un choit convenable de ii, on peut toujours s'arranger de façon que le module positif — de la dernière intégrale soit plus petit qu'un nombre positif donné à l'avance aussi petit que l'on veut. Le théorème annoucé est donc démontré.
En particulier, si l'on a à calculer pour un module quelconque donné, compris entre o et i, la valeur de l'intégrale complète de première espèce de Legendre
voit que ce calcul revient à celui de l'intégi
'r ^ ^rfi
qui lui est égale, quel que soit le chois que l'on fasse de l'indice «, et pour laquelle le module peut être rendu aussi petit que l'on veut.
Sur les covariants H et T d'une forme biquadratique R, Toute forme bioaire biquadratique
Hclmei, outre sou hessien (t, IV, p-70)
un second covariant T que l'on peut défiiiir par l'uue ou l'autre des égalités (') équivalentes
T r= — I" R(A„33-i-3A,af35H-3Asaia|-HA3 3|)
— tKa^z^ -f- 3a,3|s2 -1- 3«34i3| + «j^D], T =- -[ R(A,35 + 3Aj2?23-t-3A33,3?M-Aiaï)
De la relation p(2 « - a-h)= "r^/OO]^^ ^^^''''^ ^l'" '^^ ''" ^' '^'^' on déduit aisément une relation fondamentale qui lie les deux covariants H el T aux. deux invariants ^j, g^ et à la forme R elle-même.
Reprenons les notations
on aura, d'une part, comme on vient de le rappeler,
(') La dilïérence des seconds membres, multipliée par - s,;, se prcsenle son? la forme RIi - IIR et est donc nulle. Il peut être bon d'observer que l'oti :>
" S\àz, àzj àz, àz^j
E ^. — COVAUIANTS H ET T U'UPiK FORME BIQUADRATIQTJE R.
'^-^ = d(,->.u-a-b) = d{-za),
— v^iy'—gîy — g's
Si dans la relation (2) on remplace 7 par sa valeur tirée de (1), 011 obtient l'égalité
sa rf-îi — -3 |tJ3^ B t^H - H (fR
'' ~/R(3„ 30 ^ v/R(— /iH'-Hé-ïHR-^-é-.K')'
mais RrfH — HdResl une fonction linéaire et homogène de d^,, dz^ dont il est aisé de calculer les coefficients; le coefficient de (/a, est 2a,T, celui de dz^ est — 2 s,ï ; on a donc
Z^dZi — El dz^ {Z^dzt — 3] c/3î)T
/R(ii„32) ■~i/R(— 4H^-H^îHR^-^,RS)' On en déduit k relation fondamentale ('), due à M. Hermite, Tï = - .-1 ÎI3+ é'^HR^ — jf, R^.
(') M.Weber, JilUpt. Fui pour étaHir réaaliL^ (i).
rONCTIORS HLLIPTIQUKS.
3 transformation du second ordre qui relie les deux < où les invariants sont réels.
Nous avons signalé, au n° 612, la transformation qui permet de Dasser irime fonction /^ p(w [ Wj, uij) dans laquelle les deux périodes !tOi, 2 w; sont imaginaires conjuguées à la fonction
dans laquelle les deux périodes sont, l'une réelle, l'autre purement imaginaire. Il convient d'étudier d'un peu plus près cette transformation, en raison du parti qu'on en peut tirer dans les applications. Observons d'abord, sans rien supposer sur les périodes aiu,, aw^, que la fonction Y peut être regardée comme une fonction doublement périodique avec les périodes 2iii,, aua; elle admet alors comme pôles doubles, dans le parallélogramme correspondant, les points o el ui[ + (Oj; la formule de décomposition en éléments simples fournit immédiatement la relation
0(1 Ton a écrit pH, ouj, au lieu def)(»|w„ to,).
F n désignant par E„ E„ E, les valeurs de Y pour h = "îi'Jl^ , ^^,
'"■■'-"" , ou trouve de suite
yGoosle
NOTE k. — TnANSFO«MAT[Oy TU! SECOND ORBUE.
1 déduit san5 peine les relations
Si nous nous plaçons maintenant dans le cas oti co,, 0J3 sont des imaginaires conjuguées, ta partie réelle et le coefficient de i étant positifs dans (uj, les quantités e, = A -h B^, e^^^ A. — B; seront des imaginaires conjuguées, ej=;— 'iA sera rée! et B sera positif (n" 565) : ^e^ — e, , y/fij — e^ sont des imaginaires conjuguées et leur produit \/9A*-)-B^ est positif. Les formules précédentes coïncident avec celles du n" 612. Les points m et m' sont les points d'intersection (le premier à droite, le second à gaucKe) du cercle {e^) décrit du point 6; comme centre et passant par les points e,, e^. Si l'on imagine pour un moment que la variable Y soit figurée sur le même pian que la variable/, on voit que m, m' sont au milieu, le premier de Cj, E,, le second de e^, E,, et que le poinl Y, dont l'affixe est liée à celle dvi point/ par la relation
peut s'obtenir par la construction suivante : on prend le symétrique (n" 559) y, dn poinl y par rapport au cercle (e^), puis le symé- Irique /' du point /, par rapport à l'axe des quantités réelles; en se rappelant que (e^ — e,) (e^ — Cj) est le carré du rayon du cercle (cj), on voit de suite que l'on a
Y est donc le quatrième sommet du parallélogramme dont y, Cj, /' sont trois sommets. Ans deux points /, /' liés par la construction que l'on vient de dire, correspond évidemment un même point Y ; l'un des points/, /' est à l'extérieur du cercle (ej), l'autre est à l'intérieur. Si l'un -des points/, /' est sur le cercle (ej), il en est de même de l'autre, et, dans ce cas, le poinl Y est sur l'axe des quantités réelles entre e^ et E, ou enlre e, et Ej suivant que la partie réelle de / esl positive ou négative. Lorsque / esl un point de l'axe réel, /i et/' sont tous deux confondus avec le conjugué harmonique de / par rapport aux points m, m' et le point Y est sur l'axe des quantités réelles, à droite de E, ou à gauche de Ej, suivant que / et /' sonl à droite ou à gauche de ei. Si / croît de e^ à m, ou décroît de -H «> à m, Y décroît
de + QO à E] ; de même si y décroît de e^ à m', ou cvoîl de — co à m', Y croit de — 00 à E3. Ces diverses remarques se raccordent très facilement aus. considérations développées aux n"' 594, 595 et dans la Note qui termine le Tableau des formules. Le lecteur peut, par exemple, se reporter à la figure de la page 164 pour ce qui concerne la corvespondance entre le plan des y et le plan des u, défini par la relation y=:.pu.
Remarquons d'abord que les deux points jk, /', qui se correspondent par la construction que nous venons d'indiquer, peuvent être regardés comm.e les images de deux points u, symétriques par rapport an point y(wj+ !o,); à ces deux points u dont la somme des af fixes est <"a+ ""i correspondent, en effet, deux points y =^p u tl y' rr:^ p {u + 'j)^) , en sorte que l'on a
(J - eî)(/ — Si) = («! — ei)(tfî - ea).
L'imago du rectangle du plan des u remplit tout le plan des / et conduit au système de coupure figuré à la page i64; l'image du même rectangle, en vertu de la Iransformation
remplit deux fois le plan des Y. Si l'on sépare ce rectangle en deux autres, par la droite qui va de co, à (Uj, droite dont l'image dans fe plan des y est l'arc e, mtj du cercle (sj), le rectangle de gauche aura son image, dans le plan des y, àl'eictéri'eKr ducercle (ei)- Si le point « décrit le contour de ce rectangle, en passant successivement par les points O, î("3--''"i); ""n s(""a + <"i)i «>3. i("a — «1). O, le point/ se mouvra sur l'axe des quantités réelles de — co à m'; puis, sur le cercle (e^) de m' àsi, de ej à m, de m à Sj, de s^ km'; puis, sur l'axe des quantités réelles de m' à — 00, en ayant toujours l'aire indéfinie à sa gauche; le point correspondant Y ne quittera pas l'axe des quantités réelles et s'y mouvra de — 00 à Ej, de E, à Ej, de Ei à E,, puis reviendra de E, à Ej, de E^ à E3, de Ej à — oo. L'image du rectangle de gauche envisagé (dans le plan des u) remplit tout le plan des Y.
De même, l'image du second rectangle du plan des u, symétrique du premier par rapport au point — ^- — -^> se fait à l'intérieur du cercle (ej) dans le plan des y, et remplit tout le plan des Y. Si le point u décrit le contour de ce rectangle en passant s parles points (u,-H uij, i((0[ -i-Sw,), ui,, K'^s + '"1)1 •''11 î('*'8"+" [Oj-i- ijj[, le point/ se meut sur l'axe des quantités réelles de e.
NOTE h. ~ TB.1N9F0RMATI0S DU SECOND ORDRE. 279
puis sur le cercle (e.^) de m' à £3, /n, e,, m' pour revenir le long de l'axe des quantités réelles de m' à u; le point correspondanl Y décrira le même système de coupures que précédemment.
On n'a dès lors aucune peine, lorsqu'on substitue dans une intégrale définie ff(y)dy, à la variable/, soit la variable Y, soit la variable «, à voir comment les chemins d'intégration se correspondent.
Au lieu de la transformation Y = jd U I '"^"^^'"' , !^— '), on peut employer la transformation
c'est alors j= p« qui s'exprime rationnellement au moyen de Z. En conservant les mêmes notations, sauf à désigner maintenant par E',, E;, E; tes valeurs de Z pour (t— uj + oi,, ato^, w^ — u,, on trouve sans peine, par exemple, en se servant de la formule d'homogénéité (III,),
e; -=-^^1, e; -iEj, E3 =iE3,
;iits simples,
lis, par la formule de décc
)rriposiLion i
ji.
--^-^ rrw, —
, co„li,ma„l de po.cr
.(iri^)i--P)
1 ud point y au moyen du point Z s'elTectuo en se servant du cercle (A) décrit du point A :^ E^ =:|^ (e, -+- e^) comme centre avec un rayon égal à |B. On prend le symétrique Z, de Z par rapport au cercle (A), puis le symétrique 7/ de Z, par rapport à la droite qui joint les deux points e,, e^; le point j)/ est le sommet opposé au point A d'un parallélogramme dont trois sommets sont A, Z, Z'; les deux points Z, Z' fournissent le même point j-.
T. et M. - IV. <S
28o FONCTIONS ELLlPTIQL'liS.
La transformation précédente peut être commodo quand ou a affaire à des valeurs réelles de y; ou observera que le point ii allant en ligne droite de o à u, -h iuj, puis de uji + lOj à 2^1,, le point Z va sur l'ase des quantités réelles de +00 à E',, puis de E', à A, elle point j, aussi sur l'ase des quantités réelles, de + (» à ~ 00.
Ces résultats melteul en évidence Texisieuce d'une transformation rationnelle à coefficients réels œ^—j^ Ë, L, qui transforme
une différenlielledela forme / — ' oii le polynôme du quatrième
degré R {x) à coefficients réels admet deux racines réelles et deux racines imaginaires en y, en une différentielle de la forme
r dz
On petit, eneiTel, d'abord changer la différentielle / -, par une
transformation linéaire en une différentielle de la forme dy
'/!dy-e,)iy~e.){y-
■ VAKIATIOX Dr.S FONCTIONS S.
Sur le sens de la variation des fonctions S pour des valeurs réelles de l'argumeiit dans le cas normal.
Les résultais établis au n" 175, relatifs à la variation des fonctions S dans le cas où -, est positif et où la variable c est réelle, deviennent intuitifs lorsqu'on se reporte aux formules de décomposition en facteurs (XXXIIt^j). Observons d'abord que, dans les quatre seconds membres, les produits infinis que l'on voit figurer sont formés de facteurs toujours positifs qui tous varient dans le même sens que — cos2»'« pour 2r,, 2ri,que + cos 2CTtpour3j, Sj; le sens de la variation du produit infini est le même que celui de ses facteurs. Le sens delà variation de Safi') et de5t((') est ainsi évident. Quant àS, (l'j et à S, ( 1'), en tenant compte des facteurs sine et cos ç, on voit que la première fonction augmente de o à Si (^) = &s (o), que la seconde diminue de Ss(o) à o, quand i' augmente de o à ^; les formules (XXXIV3) permettent ensuite de reconnaître le sens de la variation quand y augmente de -5 à i .
Des considérations analogues s'appliquent aux fonctions
■:^,(i^), S,(tV), S3(/<'), '^A.'"),
décomposées en facteurs oti figurent shc, che au lieu de sin c, cosi'.
On reconnaît directement sur les expressions de Si(/f), 3a(iV) que ces fonctions, toujours positives, varient dans le même sens que c; puis, directement encore sur l'expression de &i(i'c), que cette fonction décroit quand v croît de o à — ,; quand c croît de —.à -.1 ât(ic) continue de décroître, comme le montre la relation entre â(((c) et ^4 (x — iV). Enfin la formule de passage de la fonction Sj à la foaction 3) montre que la fonction -r &,(((') croit quand c augmente de à — ;•
FONCTIONS ELUPriQDES
