LETTRE DE CH. HERMITE A M. JULES TANNERY

1. La lettre de Charles Ilermice, que l'on va lire, rlemaiide quelques observations préliminaires.

Nous avons dit (n" 198) que les formules (XLVli,s,3) qui expriment au moyen de o(t:), i|'('^)i X(''^) '^* fonetions f(T), 4'(t), x(''')' *û l'on suppose

hdi

cc-hbz-

signant par < , étaient dues à Herii en \%S%. La démonstration qu'oi qu'il aura publiée.

Cette démonstration, dans le i {XXj, cas i"), repose sur la foi'm

liés par la relation L données sans démonstration dans cette lettre est la seule

qui est une conséquence i (XLVIIO, (XXVIllO- Cei quand on y remplace ■z p

imédiate des formules (XXXVIj), (XXXVIUî), 2 formule a lieu quel que soit -:, donc aussi ■ T. En supposant b = ab', ac = c', on a d'ail-

et, puisque ad — b' c' est égal a i, on voit que les fonctions ^(o\'ît) sont liées aus. fonctions â(o|aT) par les formules de transformation linéaire, comme les fonctions &(o|t) aux fonctions S(o1t:). Le calcul se fait très facilement au moyen des formules XLII. Pour les fonctions â{o|T), â(o| t) on est, par hypothèse, dans le cas i» du Tableau (XXj); pour les fonctions S(oliT),3(o|2T) on est dans le cas i" ou dans le cas 3" de ce même Tableau, suivant que b' est pair ou impair ; mais, dans les deux cas, v est égal à 3, m"' est égal à d; c'est toujours la formule (XLII4) qui s'applique et l'on a, en outre, à utiliser la seconde formule (XLIIo) et la troisième formule (XLlli). En désignant par e,, s™ les quantités analogues à s, e"', mais relatives aux entiers a, b', c', d, on obtient ainsi, en supposant a> o,

LRTTRIÎ T)E CH. !iri()HTE i M. JULES TANNIÎRÏ. a83

a d'ailleurs, par ucic proposition d'arithmétique bien comme,

De la relation ad—bc = i, el de l'hypothèse que 6 et c sont pairs, il i-ésukc que les nombres a et d sont tous deux congrus à i ou à — i (mod. 4), et que, par suite, a -h d est le double d'un nombre impair; le nombre

c( h i) est donc divisible par 4, et l'on peut écrire finalement

C'est la foniiule que Cb, Hermiie établit dans sa lettre et d'ovi il déduit

,. Mais

i qu'il procède.

2, C'est à lui eneore qu'on doit les forniuJes générales de transforma lion des fonctions 3; il les a données en s858 dans le Journal de Liou ville. Par une analyse très simple et très profonde, il a fait dépendre 1

li figure dans ces formules, et dont le signe est si difficile

de l'expression ( ')

En transformant la somme S au moyen des résultats dus à Gauss et en profitant des simplifications apportées à ces résultats par Lehesgue, dans différents Mémoires du Journal de Liouville, il a obtenu des formules équivalentes aux formules (XLII), que nous avons établies sous la forme donnée par M. H. Weber (Ellipt. Funct.), en parlant des propriétés de h(T) que l'on doit à M. Dedekind. Si nous n'avons pas adopté la démonstration d'Hermite, c'est qu'elle appartient à on ordre d'idées tout autre que celui où nous avons voulu nous placer, mais nous croyons devoir reproduire ici cette démonstration, d'une part à cause de sa beauté, d'autre part pour permettre au lecteur de mieux, pénétrer la signification de la lettre de Ch. Hermite.

En appliquant la méthode qu'on lui doit {n""lté, 274, 381) pour trouver les fonctions (transcendantes) entières les plus générales qui soient doublement périodiques de troisième espèce avec des multiplicateurs donnés.

(') Summalio

t. Il, p. 9.

on voit immédia lement que la fonction (iranscendaiile) eniièi-e la plus générale qui vcrilie les équations fonctionnelles

OÙ a, |3 sont des nombres entiers donnés, est la fonction

l'indice n placé sous le signe S indique ici, comme dans la suite, que n doil parcourir la suite de toutes les valeurs entières, négatives, nulle et positives. La notation 6a,g(c), employée par Hermile, a déjà été signalée dans la Note du n° 160, où l'on a expliqué comment elle se relie aux notations de Jacobi, que nous avons adoptées.

En désignant par a', P' deux nouveaux nombres entiers, en remplaçant dans l'égalité {'2), f parcH-i(a'T -t- P')et en remettant ensuite, à la place de Sj [<> H- .i-(a -\-a')z + i(p -H P')], son expression au moyen de ea+a'.p+p'Cf )) qui résulte de cette même égalité (a), on trouve immédiatement

Cette formule, sauf quelques différences insignifiantes dans les notations, a été donnée sans explications dans la Note que nous venons de rappeler, ainsi que les deux relations, évidentes sur la délinilion mfmc de la fonction fln,3(c),

(4) 0„+5,p(<') = (- 0P9«,p(''). VMf") = ^«.Pf"*-

Quand nous aurons besoin de mettre en évidence la façon dont la fonction

ea,p(p) dépend de i, nous l'écrirons ^«.^{«'li^)'

Il résulte clairement du n" 178 que, si l'on désigne par a, b, c, d quatre nombres entiers liés par la relation ad — èc = i et si l'on pose avec Her-

(i) n(«) = e».'<"M8.,|,[(o + (.,). hl,

la fonclion n(:') ne diffère que par ^>a facteur constant de la fonction 9a„g, (c — — ~\, en désignant par «i, ^t des nombres entiers blement cboisis. Ce premier résultat, que nous avons déduit de la théorie de la transformation linéaire des fonctions c", ressort d'ailleurs aussi très facilement, ainsi que l'expression des entiers aj, pj, au moyen de a, b, c, d, a, 3, du théorème de Ch . Hermite sur la résolution des équations fonctionnelles (i). En effet, la formule (3) permet de calculer ce que devient

LETTRE DB Cl(. HERJIITE .V U. JULES TANNERÏ. 200

le second membre de i'équalion (5) quand on y augmente c de i ou de

T = T-. puisque alors la quantité (a ■+■ bi:)i> s'augmente de n-l- ii:

ou de c-t-rf-c; on trouve ainsi, après des réductions faciles, en tenant compie des formules (4) et de la relation ad^bc = i,

a, = «ï M- &P -i- «6, p, = ca 'h rf[i + cd.

Les équations fonctionnelles qui vérifient ainsi la fonction (transcendante) entière U(v) ne différent des équations (i) que par le changement de «, §, t: en «i, §i, t; celle fonction ne peut donc différer de fta„p,(''l''') que par un facteur S, indépendant de v, et qu'il reste à déterminer. En

ou, en remontant à la définition des fonctions 0,

OÙ l'on a posé, pour abréger,

Observons, en passant, que, à la propriété de n(p)de se reproduire, multipliée par (—1)^1, quand on y remplace v par v-^-i, correspond la propriété, bien facile à vérifier, de la fonction <f(y, n), qu'exprime l'égalité

Il sera commode, pour ce qui va suivre, démultiplier les deux membres de (7) par e-*'"'"', de manière à faire disparaître iuva, dans l'exposant de chaque terme du second membre et à pouvoir profiler tout à l'heure

de ce que l'intégrale / e^'''^"''dv est nulle ou égale à i, suivant que n est

différent de ou égal à o. L'égalité (7) est alors remplacée par la suivante

où la fonction

jouii évidemment de la propriété

OU, plus généralement, de !a propriété

en désignant par p un entier quelconque, en sorte que Von a (g) e/7t^-(^+p,n) = e(ît4'(^,n+*pl.

Nous supposerons maintenant que b soit entier positif; cela ne restreindra pas la généralité de la solution, puisque r- ne change pas

quand on y change les signes de tous les nombres a, b, c, d. En intégrant entre o et i les deux membres de l'équation (8) et tenant compte d'une remarque antérieure, on trouve

rfi^.

Le terme e'«'}'(i',") de la série qui figure sous le signe d'intégration, n'est pas modifié si l'on augmente e de r, pourvu que l'on diminue n de i-b, ainsi qu'il résulte évidemment de l'égalité (9) ; dès lors, si l'on réunit ensemble, dans la série ^^e''"t'"'"\ les termes pour lesquels les valeurs de n sont

igrues, suivant le module b, de manière à

éorireceue.

.-1- Ve'^'H-

■6t clair qu'on pourra tout aussi bien l'éc

rire

observant eiifm que l'on a

j e"t^I<-^",p) clv= f

e/iu^Kp! ch.

voit ,.= l'égaliié (,») pourra .'écrire „

3US la forme

îît^(.,p) rf„.

Quant aus b intégrales qui figurent dans le second membre, en se rappelant que '^(v, p) est un trinôme du second degré en c, elles se calculent au moyen de la formule

i/=Tp

LETTItE DE eu. IIEIIMITE A M. JULES TANNIkï. 287

dans laquelle la variable d'iniégraiion est réelle ei qui esi valable pourvu que le coefficient de i dans p soit positif, condition qui se trouve vérifiée pour o(c,p) puisque le coefficient de c' est aô-t-i'-ï. Dans le second membre, la partie réelle de ^ — ip est supposée positive ('). On trouve

( I) Celte formule est duG à Cauclij [Œuvres, 2' s., t. VII, p. ''80). Cauclij avait déjà aperçu, pour un cas particulier, le rôle qu'elle peut jouer dans la théorie qui nous occupe, rble que Ch. Hermite a mis en pleine lumière dans le cas général. L'Analyse de Cauchy à peine modifiée peut être résumée comme il suit ;

Désignons par a, n deui nombres quelconques, dont toutefois le premier a son argument trigonomé trique compris entre — ~ t\. + j, et considérons l'intégrale recti ligne

a varialile d'intégralio

a X suit l'ïx

e des quantités

réelles, du p(

lint x,,

vert

'. au pointée, vers +.

c. En posant i

: = A1C4-B, on

remplace cet

te mté^

Traie

iligne par une autre ,

ntégrale rccLil

igne