ADDITION ET SI
ULTIPLICATION.
par le
déterminant
p"tt
p(«+i)jt
p{n) Il p(«+l)K ... p(2«-l)if
D'un autre côté, le second membre de l'égalité (ClIIia), si l'on ne tient pas compte du facteur numérique qui est en avant, se réduit à
:!\{n-^i)u}<i'^{h)^''-^{-ih)ci>^-'^{Zh)...^^'{{n — i)h'\^{nh)^ c-'i+i u c'«-^* ( a -H /t) tf^+i ( M -H 2 /i ) . . . C'^+ï {u -h- nh) '
et si l'on remarque que la limite, pour h = o, de
"'" + ■' h"' (ih)"-^ " ' nh
est évidemment égale à i! 2! .../?!, on voit que, en égalant dans les deux membres les coefficients de la plus basse puissance de h,
on obtient l'expression de ^j:^^^^^ ' ^^^ ' ; après avoir changé n en
,1 — I ^ nous écrirons le résultat sous la forme suivante : Posant
(CIV,) on a
(GIV2) W„{u)
tf'"(a)'
p(n-Vil
4-o7. Cette formule mérite de nous arrêter quelques instants.
D'après sa définition, et les propriétés élémentaires de la fonction 3*, le premier membre est une fonction doublement périodique, d'ordre n- — i, admettant o comme pôle multiple de cet ordre; elle est donc, suivant que n est impair ou pair (n" 436), de l'une ou de l'autre des deux formes A, Bp' u^ en posant
A = ao72v'+2V| rt,j2V=+2V-l f. . .-Ha2v'-+-2V (« = 2V H- l),
y est mis à la place de j)m, et «oi «m •••i «av'+avj ^o? ^i, ••••, ^2v°--j? sont des coefficients numériques qûeFon peut déterminer en développant les expressions précédentes suivant les puissances ascendantes de u et en identifiant avec les développements analogues
^(nu) cfinu) r\ . • • • ,
pour \, et pour — ; — -—r, — :• Un trouve ainsi aisément
' ci"\u) ^ puc^'^iu)
Ao = «, Al r= o; Bo = ? Bj = o.
Dans tous les cas, W'f^{a) est un poljnome en y dont le premier
458. Proposons-nous de former autrement les polynômes Ael B. Les zéros de W,t(u) sont simples et s'obtiennent en donnant à chacun des nombres p et q, dans la formule
n valeurs entières quelconques telles que la différence de deux d'entre elles ne soit pas divisible par n, et en excluant toutefois la combinaison pour laquelle les deux nombres />, g seraient tous deuK divisibles par n. Si l'on pose, comme au n" 372,
le produit
5t/>tO
-^iqoizX
'i II
ri
'ipiù
-+- iq t03
où /j, q prennent les systèmes de valeurs qu'on vient de dire, admet les mêmes zéros et les mêmes pôles : c'est une fonction doublement périodique, comme il résulte très aisément des formules (XIL), et, comme dans ce produit le coefficient de ■ ^,^ est
( — i)"'~* = ( — i)"""', tandis que dans Wn[u) il est égal à n, il est clair qu'on a, dans tous les cas,
(-1)"-11F„(«) = « JI^'^cH.;,,,
en écrivant, comme nous le ferons dans la suile, Xp^q à la place de 'J^p,q{u).
Si n est de la forme av + i, on pourra prendre pour p, q les valeurs — v, — v -f- i , . . . , — i , o, i , . . . , v — i , v, en excluant la combinaison p z=: o, q = o. On est amené à grouper dans le produit les facteurs tels que dans l'un les indices soient les mêmes que dans l'autre, changés de signe, de manière à pouvoir utiliser la formule (VII,). Ce produit s'obtiendra, d'une part, en groupant les termes pour lesquels/» est nul, ce qui donne
YY cho,qA>o,-q^ JJ {pU—pao,,f);
d'autre part, en prenant deux lignes de facteurs pour lesquels /> ait des valeurs égales et de signes contraires, ce qui donne
et en donnant ensuite les valeurs i, 2, . . . , v à /?. En résumé, la fonction W2v+t (m) est représentée par la fonction entière en pu de degré vH- [v('iv H- i)] =: — - — que voici
(CIV3) W2v+,(«) = (2V + i)]^(p«-,pao,,) J~J JJ(,P«-pap.v)-
Quand n est pair, on peut, en posant n = 2v, donner à/>, q les valeurs — v + i , . . . , — i , o, + i , . . . , v — i , v, en excluant toujours la combinaison (0,0). On groupera exactement de la même façon les facteurs pour lesquels aucun indice n'est égal à v, et ce groupement fournira v — i + (v — 0 (^'■^ — i) = av (v — i) facteurs du premier degré en pu. Il restera à effectuer le produit
<^^v,o = ^10? c^VjV — Ç20) A')o,v — Ç30 ;
Mais on a
et, par suite (XI3),
lO/i CALCUL INTÉGRAL.
d'ailleurs, on a encore
^lv,7^iv,-7 = pî« — P(wi-I- «0,7), et l'on voit finalement que, lorsque n est égal à 2v, on a
(GIVO Wn{u) = ]-i'u.B,
où B est la fonction entière en pu de degré [2v(v — ')]"^ ^'^ — ^ ou que VOICI
= 4^ ££ [pj« — p(w3+a/,,o)l PJ [p« — p(wi+«o//)] JJ JJ (P" — P«,-),7)p-i 7 = 1 /7 = i ,7 = -(v-i)
On reconnaît aussi aisément que l'on a toujours, que/?, soit pair ou impair,
(CIV3) n(«) = /i'-JJ {ipu-pap,,i
en supposant que/?, ^ parcourent séparément un système de /r valeurs entières, telles que la différence de deux quelconques d'entre elles ne soit pas divisible par /i, en excluant la combinaison où les deux valeurs de/>, q seraient divisibles par n.
459. L'expression (CIV2) de W„(?/) n'est pas commode pour obtenir explicitement les fonctions entières A et B de pu. Mais il est aisé de trouver une relation récurrente qui permette de calculer de proche en proche ces expressions.
Si, dans l'équation (VII2), on remplace respectivement «, 6, c, u par c(.u, ^?/, y?/, 8^^, où a, p, y, S sont des nombres entiers, puis que l'on divise par une puissance de du dont l'exposant soit
(P + Y)'+ ( P - Y)2-4- (a + o)2-f- (a - 0)2 = ^(a^-t- [32+ y^^ ^^)' il vient ^Fp+y>P'p yXr^+8iFa-S+ »FY+aVF^.a^Fp+gVFp g+ XFo,+p^V?^VS^y-5= o ;
de cette formule, on peut en déduire plusieurs autres propres au calcul de nos polynômes. Si, pour un entier négatif ou nul quel-
ADDITION ET MULTIPLICATION. jO»
conque /?, on pose encore
:f{nu)
il vient, pour [i = m, y = n^ a ^ i , S = o,
puisque, comme on le vérifie aisément, on a
en prenant m= n + i , on a donc
de même, en changeant m en n + i et /i en /z — i , on trouve
Ces diverses formules permettent de calculer les polynômes W^ quand l'indice est supérieur à 4j au moyen des polynômes d'indices inférieurs ; W, est égal à — p' u, W^ et ^, se calculeront directement au moyen de la formule (CIVo), en tenant compte des expressions (XGVII) des cinq premières dérivées de pu en fonction des puissances de pu.
On trouvera, dans le Traité des Fonctions elliptiques d'Hal- |)hen, des procédés intéressants qui permettent d'abréger beaucoup ces calculs.
460. Il est maintenant bien aisé d'obtenir p{nu) au moyen de la fonction W,i{u). En effet, la relation
p{nu) ~ pu^ i-^ — - — \ ' / X — — ■
donne immédiatement
'CIVo) p{nu) — pu =
et l'on a, par conséquent, p{nu) en fonction rationnelle de pu pour tout entier positif /i.
III. — Théorèmes d'addition pour les fonctions ç, sn, en, dn.
461. Nous avons donné aux n"^ 405-406 les formules d'addition pour les fonctions ^, sn, en, dn. Le procédé suivant, où tout ce qui est essentiel appartient {*) à Abel, permet d'obtenir, pour ces fonctions, le théorème d'addition sous une forme très générale, d'où le lecteur tirera sans aucune difficulté les formules que nous venons de rappeler.
Soit jK= ^(;^) l'une quelconque des fonctions ioa(w), iao('0' ipa(w), et soit z =y-. Il est clair que l'expression
où z' est mis à la place de -,^ et où F{z), f{z) désignent des polynômes entiers en 5, des degrés respectifs n el n — 2, est une fonction doublement périodique à périodes aco,, 20)3, qui n'admet qu'un pôle dans le parallélogramme des périodes, à savoir, le pôle de la fonction ^ que désigne j-; ce sera soit o, soit Wal ce pôle esl d'ordre 2.n; c'est aussi l'ordre de la fonction doublement périodique. La somme des affixes des pôles (confondus) de ^{z) esl, dans tous les cas, congrue à o, modulis 2{0(, 20)3; il en est de même, par conséquent, de la somme des affixes des zéros. Si donc on détermine les in coefficients des polynômes F(3) et f{z) de façon que ^[z] s'annule pour les valeurs m,, u-x, •••, Uin-\ attribuées à «, ou, si l'on veut, pour les valeurs 5,, z^^ . . ., 52«-t attribuées à z, cette même fonction s'annulera pour la valeur
ou pour la valeur correspondante z-^n attribuée à z. Les valeurs des coefficients de F(^) et de f [z) s'obtiennent aisément sous forme de déterminants.
(') Voyez : Abel, Œuvres, 2' édit., t. I, p. 53a. — Brioschi, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LIX, p. 999. — Cayley, Journal de Crelle, t. 41, p. 57. — GiJNTHEB, Journal de Crelle, t. 109, p. 210.
Ceci posé, la fonction
W{z)^[F(z)Y-z-nf{z)Y
est un polynôme en z de degré an. En effet, z'- est un polynôme en z du troisième degré, comme il résulte du théorème établi au n° 433, et comme on le vérifie sans peine au moyen des formules qui donnent les dérivées des fonctions ^ : ce polynôme du troisième degré est évidemment divisible par z. Par suite, si l'on désigne par «0 et «« le premier et le dernier coefficient de F(5), le premier et le dernier coefficient du polynôme ^(s) seront respectivement al et af^.
Mais les valeurs de z qui annulent ^(z) sont v|, z-,, ■ ■ -, z-.n et l'on a
VF(^) = al {Z - z,){z - z,).. .{z~- z,n),
d'où l'on tire une série d'identités en égalant les coefficients des diverses puissances de z; en particulier, si l'on suppose z = o, on
et, par suite, en extrayant la racine carrée
«orij2---r2«-
.Yt^ y-2-, •••? JKa/i-i étant mis à la place de ç(mi), ^("2)5 •••' ç(w2«-))i ^^ ^ ainsi exprimé le premier membre en fonction rationnelle des quantités i(wi), ^(wo), ..., i(«2«-i)i i'(«i)j -••?
i'(w2«i), comme il résulte évidemment de la forme de «„, «« et de ce que l'on a :;'= 'i^(ii) l'{i() = "ijv'-
462. Il est d'ailleurs aisé de mettre en évidence dans «„ le facteur y^y2' ' •JK2W-I et de déterminer le signe qu'il convient de prendre devant le second membre. Tout d'abord, on voit que, en faisant abstraction des signes, ^(f/, -f- «^+...-h «2//--1) se présente sous
la forme du quotient ^ de deux déterminants A, B de Tord
rc
i; les lignes de rang /' de ces déterminants s'obtiennent en
Io8 CALCUL INTÉGRAL.
remplaçant u par Ur dans et dans
■y2fi—^ 0/2/1—4- ^ ^ j -1/2W — 3 y' y2n.—o y' ^ ^ ^ Y y' •
Quant au signe, il se détermineaisément [en supposantjK= ioa(w)]> si l'on imagine que les quantités w,, M2, • . ., W2«< soient infiniment petites du premier ordre; le terme principal de
est alors m, -h «2 4-' • • + W2«-t ; les éléments, réduits à leurs parties principales des lignes de rang r dans A et dans B, se réduisent à
Les suites
, o, in — 3, -în — 5, ..., i présentent respectivement
i4-2-i-3-t-...-f-/i — 2 et i + 2 + 3-f-...-i-/i — 1
inversions, si l'on convient de dire que deux termes présentent une inversion lorsque le premier de ces termes, en commençant par la gauche, est plus petit que le second; on en conclura facilement que le premier déterminant est égal au second multiplié
par ( — i)«-' (uf + Mo + . . .+ Mow-t); on a donc en général
463. On reconnaît de suite que le rapport ^j quand on remplace jK/- ^^ y'r P^i" Xj^r> ^JKrî se reproduit multiplié par \; d'après cela, en se reportant aux formules (LX), on voit que, si l'on ajoute o>a à chacune des quantités ?^,, Uo, ..., U2n~\i l'égalité prend la forme
en supposant que, dans A et dans B, yr, y'^ représentent iao(«/ ), ^ao(w/-) * si l'on ajoute au contraire t^i^ à chacun des arguments w,, «o, ..., Uin-t, on trouve de même
cette fois, dans les déterminants A et B, yr et y'^ représentent Enfin, on a de même
en ( Ml -H «2 + ■ • • -+- "2«-l) = ï> '
/^ dn( «1 -i- M> -t- . . . -I- u=>,i-i) = — )
OÙ, dans A. elB, yr et y',, représentent respectivement snUr,sn' Ur, en Uri en' Ur, dnw;., dn'wr-
Gomme on peut supposer que «aw-i est nul, les formules précédentes sont générales.
