II. — Multiplication pour la fonction pw

456. La formule précédente peut se transformer en supposant que quelques-unes des quantités u^, Uf, . . ., Un tendent vers une même limite; nous supposerons par exemple qu'on y fasse

Uq — U^ Ui= U -h h, . . . , Un = U -r- uh

et que h tende vers zéro.

Observons d'abord que si l'on considère un déterminant dans lequel les éléments d'une colonne sont a^^ cii, . . ., a,i, on peut remplacer ces éléments par les différences

«1 — ao,

«2 — 2ai-f- ao,

a,i a,i-i-\ ^ «rt-2 — . • .-T- (— i)'»ao,

pourvu qu'on fasse la même chose sur les autres colonnes; si l'on effectue cette transformation sur le déterminant /o et si l'on remarque que l'expression

<p (a -H nh) o [u -^- {n — i) h]

H ^— ■ ce[a-f- (« — 2) AJ +. . . -r-(— i)"ç(m),

développée suivant les puissances entières de /i, fournit comme premier terme h^o^"^{u), on voit de suite que le premier terme du développement, suivant les puissances de /t, de

fo{u, u -{- h, u-i- -ih, . . ., u-i- nh),

sera le produit de li