Considérons (') l'expression

^ig,^,y)

1 Pi(')Pi(^JK)

où les fondions p sont celles qui sont définies par les formules (XXXII), de sorte que l'on a

V doit prendre toutes les valeurs impaires et positives, m toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives, n toutes les valeurs entières et positives.

Cette fonction F(q, x,y) est définie pour toutes les valeurs de ^, jqui ne sont pas nulles et qui n'annulent pas p4(^), p4(jK). ' Les valeurs de ^, j- qui annulent p/, (^), p^iy) sont comprises dans la formule ±^'""^2; si l'on pose \q\ = h, on voit qu'elles sont représentées par des points diamétralement opposés, situés sur des cercles ajant l'origine pour centre et ayant des rayons égaux à A""^2; sur chacun de ces cercles il existe un couple de ces points et un seul. Si l'on considère la fonction F(q, x, y) comme une fonction de x seul, par exemple, tous les points x = ± q"'^^ seront des pôles simples de cette fonction, comme il résulte évidemment de la seconde forme sous laquelle elle a été mise.

Dans l'espace annulaire compris entre deux cercles consécutifs il n'j a pas de point qui soit un zéro pour a,,[x) ou pi,{y) '• tel

( ' ) Voir Kronecker, Monatsberichte der Berliner Akademie, 1881.

est, par exemple, l'anneau compris entre les deux cercles de

rayons y//i et-pr- Nous aurons bientôt à nous restreindre au cas

sjh

où l'une au moins des deux variables x^ y est représentée par un point situé à l'intérieur de cet anneau, c'est-à-dire que nous supposerons que X ou y vérifient les inégalités

^fk<\x\<^, v/^<ir|<^;

il est clair que ; — r ou -, — - vérifient alors les mêmes inégalités.

Pour toutes les valeurs de Jc, y qui vérifient à la fois ces inégalités, la fonction F(^, x,y) est finie et déterminée. La fonction p,

s'annule aux points ± s/q, ± -j= situés les deux premiers sur la

limite intérieure de l'anneau, les deux derniers sur la limite extérieure. Autour des points ±: sjq comme centres, avec un rajon très petit, décrivons des cercles et supprimons de l'anneau la partie intérieure à ces cercles; aux points des petites régions supprimées correspondent, par la transformation z' ^ -i des points dont l'ensemble constitue deux petites régions, intérieures à l'anneau et voisines des points ± -— ; supprimons-les encore et dési-

gnons par (A) l'anneau ainsi modifié. On observera que si x est un point situé dans (A), il en sera de même des points — iP, ± jc~' , et que si x, y sont assujettis à rester dans (A) ou sur son contour la fonction F(^, ^, J'), regardée soit comme fonction àex, soit comme fonction dey, sera holomorphe ; en particulier, il existera un nombre positif N tel que l'on ait

Laissons de côté, pour un moment, les restrictions imposées à X ely; les propriétés suivantes, de la fonction F(^, x,y)^

(a) ¥{q,x,y) = zt' q'^nn' x^'^' y"^'»- ^ {q,zxq'^ ,t' yq'^'),

OÙ e, t' représentent ±: i et où n^ w'désignentdes nombres entiers quelconques, résultent aisément des formules (XXXIV7). La pre-

mière de ces deux relations monlre, en particulier, comment l'on peut ramener le calcul de la fonction F(^, ;r, y) lorsque x ely sont représentés par des points extérieurs à l'aire (A), au cas où ils appartiennent à celte aire, pourvu que les points œ, y soient à une distance suffisamment grande des zéros des fonctions ^i,{x),