CVI

r2 v^ (— iVra^'- rr.u T X ^ ,,. cos ■

P(" + Wi) = — — + sec'- ^^^ ' ^

^ 2Wi / 2 0)1 a)5

p(« + 0)2) = — ii > ^ L^~ cos ,

, . 7)1 27:2 v^ rg'' rizu n ( M + W3) = 7 , - — i-— , cos ;

d'où l'on déduit aisément, par différentiation, des formules analogues pour les dérivées d'ordres quelconques de pu, p{u + oia). Si l'on suppose u mis sous la forme m = aa(o,H- 2 [^103, où a et ^ désignent les nombres réels, toutes ces formules sont valables sous la condition | [3 | ■< ^- Celles qui concernent logo"?^, logo', m et leurs dérivées sont même valables sous la condition | [^ | <C i •

On déduit immédiatement des développements obtenus pour les fonctions logo'i^, logo'af^, ceux qui concernent les douze fonctions log^(t/); ces développements sont analogues à ceux que nous avons écrits pour les fonctions log sn p, log en ç^ log dn c.

471. Les fonctions ^w, Z(;r) peuvent servir d'éléments simples dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de

première espèce à périodes 2to,, 2W3 ou 2K, ii¥J ; les développements précédents (CV5), (CVIo) fourniront donc, pour toute fonction doublement périodique de 'première espèce, un développement en série trigonométrique. Le lecteur pourra appliquer cette méthode aux carrés des fonctions ioa(^<)5 iao(w), i^y(w), ou encore aux carrés des fonctions sn, en, dn, de leurs inverses et de leurs quotients mutuels ; nous nous contenterons de citer la formule

(CVe) -A A-^K2sn2 i^ ^ y Z^ sin2/-^,

4112 Ti ^ 1 — q-^i-

qui est une conséquence immédiate de la formule (CII4), (n°406).

472. Chacune des séries qui figurent dans les formules (CV4 5) et (GVI2) peut être mise aisément sous la forme d'une série à double entrée; ainsi, l'on peut mettre l'expression (CV5)de Z(^) sous la forme

Z(K:r)= T?2 ^'"'^*~*'sin 7-713;= ^^ ^''^^^-'^ [e'""^'— e-'-i^^'],

OÙ /• et s prennent toutes les valeurs entières positives.

Dans chacune des séries à double entrée ainsi obtenue on peut effectuer la sommation d'abord par rapport à r; on obtient ainsi de nouveaux développements en série pour chacune des fonctions envisagées; ainsi

iq-^

Ce développement s'obtiendrait de suite en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres de la formule (XXXIIg); en se plaçant à ce point de vue, on voit qu'il est convergent quel que soit X. Il en est de même des développements analogues que le lecteur trouvera dans le Tableau des formules placé à la fin de l'Ouvrage [(CV^-s) et (CVL)]-

II. — Développement des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.