Il nous reste à évaluer les résidus de la fonction de z

Le résidu relatif au pôle y est F(^, .r, /). Le résidu relatif au pôle zq"'^^ s'obtiendra en remplaçant z par £^""^2 dans l'expression

le calcul se fait sans peine au moyen des formules (XXXIVg-t), (XXXV4,o)5 6t l'on trouve, pour le résidu cherché, la valeur

( "-iV

Ay—-g J

On voit de suite que les deux séries, dont le terme général se déduit de là en remplaçant e par + i ou par — i, sont absolument convergentes quand on donne à n les valeurs o, i , 2, 3, ..., oo; il n'en est pas de même pour les valeurs négatives de n\ pour avoir une série absolument convergente, il faut réunir dans le terme général les deux résidus relatifs aux valeurs + i et — i de s et l'écrire

sous la dernière forme, la convergence absolue de la série dont on vient d'écrire le terme général, quand on donne à n les valeurs — I, — 2, — 3, ..., — GO, est manifeste.

Ajoutons que la forme r— ,^^r, ,- , — ir,' trouvée plus haut pour

J 1 1^1 R/i« I ^ |2rt i^ 1

une limite supérieure de la valeur absolue de l'intégrale envisagée, met en évidence (n° 30) ce fait que la série

est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de x telles que l'on ait \ a;\^0L^i, en désignant para un nombre fixe plus grand que i ; l'intégrale, en effet, n'est autre chose que le reste de la série. Une conséquence toute pareille concerne la série analogue relative aux valeurs négatives de n, pourvu que l'on ait

478. En écrivant que la limite de la somme des résidus de la fonction ^Ali^i^, relatifs à ses différents pôles, est nulle, on trouve, en remplaçant F(^, x,y) par sa valeur (n** 473),

n = oo VLzl « = « Lîîzii

où chacune des séries est absolument et uniformément conver-

126 CALCIL INTÉGRAL.

gente sous les conditions qui viennent d'être expliquées. Rien n'empêche donc de différenlier ternie à terme, si on le désire.

479. La formule (CVII3) peut se transformer de diverses manières en ajoutant aux arguments ç, w les quantités -} - ou ,

ce qui revient à multiplier a: ou jk par h s/ç ou i\/q.

Les changements de cette sorte que l'on peut faire subir à w ne demandent aucune précaution puisque w est quelconque. De même quand on ajoute ^ à ç^, il est clair que, les conditions

\/Ti<\x\<^, ^h<c\ix\<~

étant identiques, le domaine de convergence de la série n'est pas modifié par ce changement.

Il n'en est plus ainsi quand on change x en a;\^q; pour que l'é~ galité (CVII3) reste valable après ce changement, il faut que Ton ait

v/Â<Uv/^l<-^, c'est-à-dire

Supposant d'abord que x satisfasse à ces conditions, nous allons remplacer, dans l'égalité (CVII3), x el y par x\/q,y^Çj; la modification à apporter au premier membre résulte des formules (XXXIV5 6) et l'on trouve

p\(i)pi(x y) y^ a^-2n+2

La première série est convergente pourvu que l'on ait |^| < j; c'est la seconde série dont la convergence implique la condition 1^1 > I ; il est naturel, pour essayer de retrouver une expression analogue à celle de F(^, ^, y), d'introduire dans le second membre la série

J-2gr2;

qui converge pourvu que l'on ait | ^ | > A; en ajoutant et retranchant celte quantité, le second membre prend la forme

a donc finalement

p'i(i)pi(a?y) Pi(^)pi(7)