G VI II

-2 ,^ ffZa^inyi

y-'iq-ui ^^i-y^q-i

Cette égalité est démontrée sous la condition i ■< | :r | << t; mais

les séries sont convergentes sous la condition /i ■< | ^ 1 <^ y> et l'égalité subsiste si ces dernières conditions sont vérifiées, puisque les deux membres sont des fonctions analytiques de ^; on peut s'en convaincre encore en changeant x^ y en ^~*,y*, ce qui change le signe des deux membres, et ce qui ramène la valeur absolue de ^ à être comprise entre i et A, si elle était comprise

entre i et r • h

480. Rien n'empêche maintenant dans les deux égalités (CVIIi) et (GVII3) de changer j- en iy^ys^/q, iys/q, puis, dans les résultats, X en ix. Chacune de ces deux égalités en engendre ainsi sept autres; on a, en tout, seize égalités de même forme qui fournissent des développements pour toutes les quantités telles que

Pa(^7) /a = 1,2, 3

Pp(^) \p = i,2,3,4

Nous réunissons dans le Tableau (CVIIj) ceux qui se rapportent aux indices a = i,2; [^^1,2; dans le Tableau (CVII2) ceux qui

se rapportent aux indices a = 3, 4; ^=152; dans le Tableau (GVII3) ceux qui se rapportent aux indices a = i , 2 ; ^ = 3, 4*, enfin dans le Tableau (CVII4) ceux qui se rapportent aux indices a = 3,4; |â = 3, 4.

Les formules (CVIIi.s) supposent /i < | .r | < 7 » les formules

(GVIIs.^) supposent \/ h <C | ^ | -< -7= •

481. Si l'on remplace x ç,ly par e''^', e""^', les seize développements précédents se transforment en seize développements pour toutes les quantités, telles que

2ra(P+tv) /a = 1,2, 3,4

^p(^) Vp-i,2,3,4

on les trouvera sous les mêmes numéros (CVII,4) dans le Tableau des formules. Les deux égalités (CVIL) et (CVila), par exemple, établies aux n°' 478 et 479, se transforment en

&;(o)2ri ((. + <.»-)

(GVIIi)

(CVIIs)