CHAPITRE PREMIER

APPLICATIONS DU THÉORÈME DE GAUGHY SUR LES INTÉGRALES D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE.

351 . La plupart des résultats obtenus dans la première Partie de ce Traité, résultats que nous avons groupés sous le nom de Calcul différentiel, ont été déduits de la définition de la fonction a* m, au moyen d'identités analytiques qui, cette définition une fois donnée, s'offrent en quelque sorte naturellement. Nous ne nous sommes guère écartés de cette voie que pour établir (n" 94), en nous appuyant sur le théorème de Liouville, l'égalité

pa — pu

T. et M. - III.

et quelques points de la théorie de la transformation, ou pour introduire, en nous appuyant sur le théorème de Laurent, les fonctions $ de M. Hermite {n°' 274-277) et en établir la propriété fondamentale, et encore, tout en rattachant à cette propriété les théorèmes d'addition des fonctions 2r, avons-nous pris soin d'établir directement (n"^ 285, 286) une identité dont ces théorèmes se déduisent sans difficulté. C'est maintenant une voie tout autre que nous allons suivre : quelques propositions de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire vont nous conduire rapidement à des théorèmes capitaux concernant les fonctions doublement périodiques.

Liouville, dans un cours professé au Collège de France (') en 1847, a fondé la théorie des fonctions elliptiques sur le théorème que nous avons fait connaître au n" 84 et qu'il a communiqué à l'Académie des Sciences en i844-

Antérieurement à Liouville et concurremment avec lui (-), Cauchy a montré tout le parti que l'on pouvait tirer de son calcul des résidus pour obtenir les développements en série relatifs aux fonctions elliptiques. D'ailleurs, la proposition du n" 35, dont le théorème de Liouville est une conséquence immédiate, lui appartient.

En appliquant, comme nous allons le faire, à la théorie qui nous occupe, les propositions fondamentales de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, nous allons retrouver, avec d'autres, les théorèmes généraux établis par Liouville.

Dans cet ordre d'idées, M. Hermite a obtenu une proposition que l'on trouvera au n" 358 et qui domine en quelque sorte la théorie des fonctions doublement périodiques.

Le lecteur ne manquera pas d'observer que les propositions que nous allons établir auraient pu être prises comme point de départ : c'est ce qu'ont fait Briot et Bouquet dans les deux éditions de leur Traité des fonctions elliptiques (^).

(') Ce cours a été reproduit par Borchardt dans le Tome LXXXVIIt du Journal de Crelle.

{») Voir les Comptes rendus de i8')3 et i84'J.

(•) Paris, Mallet-Bachelier et Gauthier-Villars (i" édition, iSSg; 2' édition, 1875).

Il convient aussi de signaler les importants Mémoires que ces deux Géomètres ont publiés dans le Journal de l'École Polytechnique (i85G).