CHAPITRE VI
I. — Intégrales rectilignes le long d'un segment joignant deux points congrus, modulis q.mi, 2103.
493. Avant d'aborder le problème général de l'intégration d'une fonction doublement périodique à périodes 2w,, 2103, le long d'un chemin arbitrairement fixé, il convient d'étudier le cas particulier où l'intégrale est rectiligne, où le chemin d'intégration ne passe par aucun pôle de la fonction et où les deux limites d'intégration sont représentées par des points dont les affîxes sont congrus suivant le système de modules atoj, 20)3. Nous indiquerons qu'une intégrale est rectiligne en mettant un accent à gauche du signe d'intégration (').
Soient t et t' la partie réelle et le coefficient de i dans l'expression de T, -=it + t'i. On sait (n° 466) que log2ri(^') est une fonction holomorphe de c dans la région du plan de la variable t', limitée par les parallèles à l'axe des quantités réelles menées à la distance de cet axe égale à l\ région dans laquelle l'axe des quantités réelles joue le rôle de coupure, sauf entre les points o et i . Il en résulte que si <'o représente l'affixe d'un point intérieur à cette région et non situé sur l'axe des quantités réelles, on peut évaluer, sans aucune ambiguïté, la valeur de l'intégrale
(') C'est la notation adoptée par M. Schwarz : Formules^ etc., p. 3i.
INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l43
On a vu, en effet, que logS, (c) peut alors être regardé comme la somme de la fonction \s{v) et d'une série trigonométrique qui, elle, définit une fonction holomorplie à l'intérieur de la région envisagée, reprenant la même valeur pour Çq et pour Co + i î on en conclut que la valeur de l'intégrale envisagée est égale à ls(<'o4- i) — ls(i^o)5 c'est-à-dire, ainsi qu'il résulte de la définition de la fonction Is, à — Tzi quand le coefficient de i dans Vq est positif, à -h -f quand ce coefficient est négatif.
494. Il est aisé d'en déduire la valeur de la même intégrale recliligne pour une valeur quelconque de Çq = ^-'r ^t, sous la condition que p ne soit pas entier. Observons tout d'abord que le résultat doit être indépendant de a, car si l'on désigne par a un nombre réel, on aura
or les deux intégrales
sont égales, comme on le voit en changeant la variable d'intégration V en r + I ; on a donc
Il nous suffira, pour ce qui suit, de supposer que a ne soit pas un nombre entier, et le résultat sera donc indépendant de cette supposition.
49o. Soient m et n les nombres entiers déterminés par les conditions
posons en outre
et considérons l'intégrale
l44 CALCUL INTÉGRAL.
étendue au parallélogramme dont les côtés sont (v,,, «Vo + i , ^o+ij ^0- Deux côtés de ce parallélogramme sont parallèles à l'axe des quantités réelles, les deux autres sont parallèles à la direction qui va du point o au point x ; en le parcourant dans le sens qu'indique l'ordre de succession des sommets, on voit qu'on le décrit dans le sens direct ou dans le sens inverse, suivant que n est positif ou négatif; les zéros de la fonction ^\{v) contenus à l'intérieur de ce parallélogramme sont d'ailleurs les points
m + I -f- T, m-f-i-f-2T, ..., m -^ \ -\- nz
dans le premier cas, les points
ni-\-i, /n -t- I — -u, m -\~ \ — 11^ ..., m -\- \ -i- {n -\-\)z
dans le second; leur nombre est toujours égalàjn]; chacun d'eux est un pôle de la fonction ^ , dont le résidu est i ; l'intégrale considérée est donc égale à ±: 2 | n | Tct, suivant que l'on a marché dans le sens direct ou dans le sens inverse : elle est, dans tous les cas, égale à inrù. Elle peut d'ailleurs être regardée comme la somme algébrique des intégrales
mais la seconde et la quatrième de ces intégrales sont manifestement égales; on a donc
et, par conséquent, comme Wq est dans la région étudiée au n°493 et que, le coefficient de i dans «^0 étant positif, la première intégrale est donc égale à — izi, on a
496. Il est aisé d'en déduire la valeur de l'intégrale rectiligne
di>,
INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. ' f ^5
OÙ maintenant il est nécessaire de supposer que a n'est pas un nombre entier.
L'égalité
yJ-\--)
qui se déduit immédiatement de la formule (XLIII5) donne, en effet,
et, en changeant la variable d'intégration v en vxj ce qui n'altère pas le caractère rectiligne de l'intégration,
dv
on a d'ailleurs
et, par conséquent, en appliquant le résultat précédemment obtenu,
(CXVII,) f %^^dv = — Tii{iv^^z)-^{'im^i)rù. 497. Si maintenant on se reporte à la formule (XXXIII7)
OÙ M = 2('to,, et si l'on remarque que, l'un des deux points m, v décrivant une droite, il en est de même de l'autre, on obtiendra immédiatement les conséquences suivantes :
Si l'on pose, en désignant par a, p des nombres réels,
Uo = 2au»i -!- 2^103, T. et M. — m. 10
l46 CALCUL INTÉGRAL.
et si l'on désigne par m et n des nombres entiers déterminés par
les conditions
m < a < w -4- i , n < p < rt -1- I , on aura
(GXVII2)
du — •xt]i{U(i + (0,3 ) -r- ( 2 m -t- 1) 11 i
Pour la première intégrale, on suppose seulement que ^ n'est pas entier, pour la seconde que a n'est pas entier.
498. Soient r, 5 deux nombres entiers premiers entre eux. Adjoignons-leur deux autres entiers /*', s' tels que l'on ait
rs — r s —
et posons (XIX, XX)
Q, = /■ 0)1 -'- S 0)3, Hi = /• 7)1 -•- S T^3,
£23 = /-'oji H- s'oj3, 1I3 = r'v)i-+-5'r,3.
Appliquons les résultats précédents à la fonction
nous aurons, en supposant toujours l'intégrale rectiligne,
/ ^î^c^M — 2IIi(mo-*- ^1) — (2N -l-i)7ri;
le nombre entier N est déterminé par les conditions
N< P^- — as < N-l- I, puisque l'on a
«0= 2ao)i4- 2[3o)3 = 2 (as'— p/-') ûi -H 2(t3/' — as)û3. On peut donc écrire, en supposant r, 5 premiers entre eux.
-2rw, + 25(03
<5^a = a(7-r]i + SYI3) (i<o-+- ''^"1-+- 5^3) — (2N-+- i)Tr£.
/ tu
En observant que la valeur de N ne change pas quand on remplace a par cf.-\-r et ^ par [3 + .S, et en remplaçant successivement
INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l/jj
dans celle formule Uo par ;/oH-2''Wi-r 25W3, «foH-4''Wj + 4st»>3î ••-, //o+2(v — i)(/-co, + 5W3) et ajoutanl, on trouve
J ^1*0 + 2 v{rw,-4-.?W3) f Çmû^u — 2v(rTi,-i-Sr,3)(Mo-t-''VWi-l-SVW3) — v(2N-+-i)7:/,
et, par conséquent, dans les mêmes conditions
En résumé, on a le moyen d'obtenir toutes les intégrales rectia forme
lignes de la forme
X^udu, I
dv,
où r et s sout des entiers quelconques. Disons encore une fois que le segment de droite qui va de «o à Uo + 2r(o,-h 25(03 ne doit contenir aucun pôle de ^11.
En prenant dans l'avant-dernière égalité r = s= — i, on obtient
I t^u du = 2-r\i(uo-\- U)i) — (2fJH- !)-::«,
où [JL est un entier déterminé par la condition
[x<a — 3<[j.-+-i, et qui est évidemment égal à m — n ou km — n — i .
499. Les résultats qui précèdent permettent évidemment d'obtenir les intégrales rectilignes de la forme
I ^(u)du,
où ^{u) est une fonction doublement périodique à périodes 2 w,, ■ioi^i et où /•, s sont des entiers quelconques.
Si, en effet, on décompose la fonction cp(?^) en éléments simples, on obtient une somme de termes de la forme
l48 CALCUL INTÉGRAL.
multipliés par des constantes. Les termes de la première sorte s'intègrent immédiatement; la partie qu'ils fournissent, dans l'évaluation de l'intégrale envisagée, ne dépend que des limites et nullement du chemin d'intégration, puisque la fonction ^(u — a) est univoque ainsi que ses dérivées; pour chaque pôle a, cette partie est nulle si n est plus grand que i et égale à arv), + 257)3 si n est égal à i . Les termes de la seconde sorte peuvent être évalués par ce qui précède : en posant Ut = Uç, — a, on a
' ^«*o + 2 rto, + 2* 0)3 ' ^M,-l- 2 rw, + 2S(03
/ Ç(m — a) du = I t,u du.
