Des développements (CVIII) des autres quotients mutuels

âe^t(ç), ^2{^)i ^3(^)1 ^i{^) on déduit de même, en j faisant r = o, -> -5 -i -) -, de nouvelles séries en a pour K, A'K,

y/A'K, ainsi que des séries en q pour A'R, y/Ar'K.

Ceux des développements obtenus qui concernent K nous fournissent aussi des expressions en q pour Z'(o) et, par suite, pour E. En effet, le développement (GV5) de 7j{x) fournit, pour Z'(o), l'expression en q^

,, . 2712 ^ rqr

d'où, en tenant compte de la formule (Cil,), l'expression en q

492. Les développements ((^IX) des inverses des fonctions 2^2(0), 2r3(o), ^^{o) fournissent des séries en q pour \Jk''¥>., y/A-y/A-'K, y/A: K. En faisant v =■ o dans le développement de

^ , : par exemple, et en réduisant au moyen des mêmes rela-

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. l4l

lions (XXXVI) et (XXXVII) que plus haut, on a

Ce n'est pas le même développement qu'au n° 490.

Les développements (CIX) des inverses des carrés des fonctions ^2(^)1 •^3(^)> ^ti^) fournissent aussi, en donnant à p des valeurs particulières, des séries en q pour les quantités A"R-, A'R-, kk'K-, et plusieurs de ces séries se présentent sous une forme différente de celles que nous avons obtenues au n° 490 pour les mêmes expressions.

On trouvera tous ces développements au Tableau (CX) à la fin de l'Ouvrage. Le lecteur les rapprochera naturellement, non seulement les uns des autres, mais aussi des développements en q déjà obtenus dans le Tome II de cet Ouvrage et, en particulier, de ceux qui sont contenus dans les formules XXXVI et XXXVII; on obtient ainsi de nombreuses identités.