III. — Seconde méthode ne convenant qu'au cas normal
506. Nous allons résoudre le même problème que dans le paragraphe précédent, en suivant une méthode toute différente, qui nous fournira des renseignements intéressants et utiles, concernant la fonction S, (p), mais qui ne convient qu'au cas où- est un nombre réel et positif.
Nous établirons d'abord la proposition suivante ( ' ) :
En supposant que -. soit réel et positif, la partie réelle et le coefficient de /, dans la fonction ^4 (a 4- ^x ] t) où a, ^ désignent des variables réelles dont les valeurs absolues sont inférieures ou égales à -, sont respectivement du même signe que a et ^.
Nous désignerons le point ^t (v) comme V image du point ç; si ce point v décrit une figure (F), le point 2r,(p) décrira une figure (F') qui sera l'image de la ligure (F). On sait que dans ce mode de correspondance (représentation conforme) les angles se conservent.
Nous allons déterminer les images R'^ , R!,, R3, R'^ des quatre rectangles R,, R2, R3, Rj dont les sommets successifs ont respectivement pour affixes
Il suffît de faire cette étude pour le rectangle R,, car si l'on pose, en général,
OÙ A et B désignent des nombres réels, on aura
2ri(a— pt) =: A — Bf, 2;,(— a — Pt) =,— A — Bi, Si( — a-i-px) =--A-+-Bi,
puisque, d'une part, la fonction Sr,(t') prend des valeurs imaginaires conjuguées pour des valeurs imaginaires conjuguées de v
(') Voyez ScinvAuz, Formules, elc, n° 51.
INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. x55
et que, d'autre part, celte fonction est impaire. Par conséquent, R', et R^ seront symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires; R', et R, seront symétriques par rapport au point o; R', et R'^ seront symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles.
o07. Tout revient donc à étudier l'image R', du rectangle R,. Supposons que le point v décrive ce rectangle dans le sens direct en partant du point o. Quand v croît par valeurs réelles de o à -? la fonction 2i, (v) est réelle et croît depuis o jusqu'à
^,(i) =^,{o)=-.9.qoguK
ainsi qu'il résulte du n" 175 et des formules (XXXIV .4), (XXXVI2); le point 2r, (^') décrit donc le segment de droite qui va (') du
point o au point 2r, (-)• Supposons, maintenant, que le point c
zl;
IJ
(RJ
décrive le second côté du rectangle; nous ferons (^ = — ha-, en
( ' ) Sur la figure, on a suppose 9 = 0,8 et l'image est réduite au quart des dimensions réelles qu'elle devrait avoir par rapport à celles des rectangles R,, R,, R„ R..
l56 CALCUL INTÉGRAL.
supposant que la variable réelle a croisse de o à i; 2rW - -haest alors égal à 2»2(a - ] : c'est une quantité réelle, positive et
croissante avec a, ainsi qu'il résulte immédiatement de la formule (XXXIIo) qui montre que la fonction ^^{i^)-, où v est une variable positive, est une somme de termes positifs qui croissent
tous avec v; lors donc que a croît de o à i, la fonction 2r2(acroît en restant réelle et positive de So(o) à
9 'gogh
en sorte que, lorsque le point ç décrit le second côté du rectangle, son image décrit le segment de l'axe des quantités réelles qui va
du point S, ( - j au point ^i ( — — j •
Tandis que le point v décrit les deux premiers côtés du rectangle qui se réunissent à angle droit au point -> son image
décrit deux portions de droite qui sont dans le prolongement l'une de l'autre. Cette contradiction apparente avec le principe de
la conservation des angles tient à ce que, au point -» la dérivée de
la fonction .3r^ (ç) est nulle (XXXVa).
Supposons, maintenant, que le point ç décrive le troisième
côté du rectangle, qui va du point — — au point -; on fera t'= — et l'on fera croître la variable réelle a de o à i: on
lura
alors
Lorsque a croît de o à i , la fonction Sg ( - j est réelle, positive
et décroît (n° 175) depuis la valeur ^3(0) =^ Çoq?, jusqu'à la valeur ^4(0) = ^0^3; d'ailleurs, la valeur absolue de .^i((^) est
rj ^ 2^3 (- j; son argument est — ; le point 2») (p) décrit donc, dans
les mêmes conditions, une portion de courbe représentée en coordonnées polaires p, lo, quand on prend l'origine pour pôle et l'axe des quantités réelles positives pour direction positive de
INTÉGRALES DES FONCTIOiNS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. ' 107
l'axe polaire, par l'équation
dans laquelle on devra faire varier w de o à -• Cette courbe relie le point 2î, ( — ~~)' situé sur l'axe des quantités réelles, au point ?Sf (-)' situé sur la partie supérieure de l'axe des quantités purement imaginaires; le rayon vecteur qui va du point o à un point de la courbe décroît à mesure qu'il tourne dans le sens positif ('). Supposons, enfin, que le point v décrive le quatrième côté du rectangle qui va du point - au point o. La fonction 2r, (^v) est purement imaginaire; le point ^i{v) ira donc, en restant sur l'axe des quantités purement imaginaires, du point S, ( - j au point o: du reste, il est bien aisé de voir, en i^aisonnant comme au n" 175. que le coefficient de i dans ^^ (f), quand 7 croît, par valeurs positives, de o à —., est positif et croissant (-).
(') Cette courbe peut, suivant les cas, présenter ou non, un point d'inflexion. (-) Reprenons les notations du n" 175 et posons
/(«.) = ^&,(w), /'(tv)=Sr;(w).
On déduira de l'égalité (XXXIII,) la suivante : d f(w)
[p(2co,Mv;^^];
dw /(«')
la fonction réelle p(3c>,ï(v) est égale à — x pour tv^o; elle est croissante quand w croît par valeurs positives jusqu'à la valeur w — — — . = -. qui annule sa dérivée; pour cette yçileur de w le second membre est égal à
quantité négative (XX.X,) ; lors donc que w croit de o à — . par valeurs positives,
la fonction décroissante
d'abord positive, se réduit, pour w — —., à r, comme il résulte de la formule
l58 CALCUL INTÉGRAL.
En vertu du principe de la conservation des angles, la ligne courbe, image du troisième côté du rectangle R,, rencontre à angle droit les axes des quantités réelles et des quantités purement imaginaires sur lesquels sont situées les images des second et quatrième côtés de ce rectangle.
En résumé, quand le point ç décrit le rectangle R dans le sens direct, en partant du point o, son image décrit, aussi dans le sens direct, le contour R' d'une aire limitée par le segment de l'axe des
quantités positives qui va du point o au point Et, passant par le point 2r, (,-)' par une portion de courbe qui rejoint le point 2i, ( -^7^ ) au point 2rW - K enfin, par le segment
de l'axe des quantités purement imaginaires qui va de ce dernier point au point o.
508. Nous allons montrer que l'aire (R|), limitée par le rectangle R<, a pour image l'aire (R,), limitée par le contour R'^. A chaque point situé à l'intérieur de R, correspond évidemment un point et un seul situé à l'intérieur de R', . Inversement à chaque point a, situé à l'intérieur de R',, correspond un point et un seul v situé à l'intérieur de R, ; en d'autres termes, l'équation en ç
admet une seule racine figurée par un point à l'intérieur du rectangle R<. On sait, en effet, que si une fonction f{v) est holomorphe à l'intérieur d'un contour (C), le nombre de zéros de f{v) contenus à l'intérieur de ce contour (G) est égal au quotient par 2 «71 de l'intégrale de la fonction c/log/((^), prise le long de (G) dans le sens direct, ou, ce qui revient au même, au quotient par ■iTz de la quantité dont s'augmente l'argument de /(^), quand v décrit le contour (G) dans le sens direct. Mais, lorsque le point ç décrit le contour R, dans le sens direct, le point ^i{i>) décrit
(XXXVJ; elle est donc toujours positive. Dans ce même intervalle la fonction /((v) ne s'annule que pour «v = o; elle est toujours positive pour w—-.;la fonction f'{w) est donc, elle aussi, toujours positive et la fonction f{w) toujours croissante, ce qu'il fallait démontrer.
INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. iSg
le contour R', dans le sens direct et le segment de droite qui joint le poin,t a au point 2r, [v) tourne autour du point a, dans le sens direct, d'un angle égal à air; l'argument de 3, ((>) — a augmente donc de 2 7c; donc le nombre de zéros de la fonction holomorphe 3, [v) — «, contenus à l'intérieur de R< est égal à i .
De ce que (R'J est l'image de (R»)> il suit que la partie réelle et le coefficient de i dans la quantité 2r, (a + ^x), où a et [3 sont des nombres réels, compris entre o et -> sont positifs; on peut même
ajouter que la partie réelle est inférieure à 3W — ^ — ^ )•
Des conclusions toutes semblables s'appliquent aux images Rj, Rg, R*, des rectangles R2, R3, R,, images qui se déduisent toutes de R', par symétrie. Les contours R'.,, R.,, R', limitent des aires (R!,), (R3), (R4) qui sont les images des aires (Ro), (Rs)» (l^*)' limitées par les rectangles Ro, R3, R^. Quand le point v décrit dans le sens direct un des contours R2, R3, R4, son image décrit le contour correspondant dans le sens direct.
509. Remarquons, enfin, que les quatre aires (Ri), {^-2)1 (R3), (Rr.) forment, dans, leur ensemble, une aire (R), limitée par un rectangle R; cette aire a pour image l'aire (R'), ensemble des aires (R',), (R'o)? (^3), (R'J? limitée par un contour simple R', formé par l'arc de courbe qui a été décrit plus haut et par des arcs symétriques.
Il est dès lors aisé, en pratiquant une coupure dans le rectangle (R), de définir dans ce rectangle log2r,(p) comme une fonction univoque, le coefficient de /, dans cette fonction, étant l'argument de 3, [v).
Lorsque v est un point de (R), Sr,(p) est un point de (R'). L'argument de ^\{v) peut être défini, sans ambiguïté, si l'on pratique dans (R') une coupure quelconque, allant du point o à un point de R' et ne se croisant pas elle-même; pour nous conformer aux habitudes, supposons que cette coupure soit pratiquée le long de l'axe des quantités négatives du point o au point
2^i(— — — ) en passant par le point ^A h le segment de
droite qui va du point o au point .3, f — -\ est l'image simple du segment de droite qui va du point o au point
l6o CALCUL INTÉGRAL.
tangle (R), le segment de droite qui va du point 2r, / j au
point 2r, ( \ est h la fois l'image du segment qui va du point
— - au point et du segment qui va du point au point
■ — On regardera la coupure totale comme ayant deux bords,
un bord supérieur sur lequel l'argument de 2?, (t^) est tt, un bord inférieur sur lequel cet argument est — tî. Pour les points ^i{^) de (R') qui ne sont pas sur la coupure, l'argument de ^i{v) est compris entre — ti et + tc. Pratiquons, de même, dans (R) une
coupure rectiligne allant de o à ^ et désignons par (Rq) la
figure ainsi modifiée, dont le contour est formé par la droite qui
va du point o au point (bord supérieur de la coupure), les
droites qui vont successivement du point — - au point
de ce point au point -, de ce point au point - ^ " . de ce point
au point , de ce point au point et de ce point au
point o (bord inférieur de la coupure). Le contour de (Ro) est simple; la fonction logE», (ç^) définie comme étant la valeur principale du logarithme de 2r, (i^) est régulière en tout point v situé à l'intérieur de (Ro)- Sur le bord supérieur de la coupure et sur
le segment qui va de à — ^^^ le coefficient de /dans logS», (ç)
est tt; il est — tî sur le bord inférieur de la coupure et sur le segment qui va de — - à -' La fonction log2»,(c) est définie
sans ambiguïté pour tous les points de (Ro) et 'de son contour, sauf au point o, à condition de distinguer les deux bords de la coupure.
510. Si l'on désigne par ç^ et p, deux points intérieurs à (Ro) et si l'on imagine un chemin allant de Vo à v', et dont tous les points soient intérieurs à Ro, on aura le long de ce chemin
"It^^'^'^'^sSriC.O- logSr,(.o),
INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l6l
OÙ nous adopterons pour log2r,((') la définition précédemment fixée. Cette égalité subsiste lorsque l'un des points Çq, c^, vient sur le contour de (Ro) et même sur la coupure, mais il importe de distinguer sur quel bord on se trouve; il suffit pour cela de considérer les points infiniment voisins de Pqî ^t sur le chemin d'intégration. Elle subsiste encore si les deux points Çq^ ^t sont sur la coupure et si l'intégrale est rectiligne; on peut, dans ce cas, se placer indifféremment sur un bord ou sur l'autre, mais il est indispensable de regarder les deux points Çqi ^i comme placés sur le même bord.
511. Supposons maintenant que, eu allant de Vo à *'« par le chemin d'intégration, on reste toujours dans le rectangle (R), mais qu'on soit obligé de traverser la coupure au point v', par exemple, en passant de bas en haut. Nous distinguerons les points v\, v'.^ de même affixe que v' et situés l'un sur le bord inférieur, l'autre sur le bord supérieur. On aura alors
où il est entendu que les intégrales portent sur la même quantité
^ et que les intégrales du second membre sont respectivement
étendues aux deux portions du chemin d'intégration qui vont de t'o à p', , de v'.^ à Vt, lesquelles ne traversent plus la coupure. De cette égalité et de ce que \og^i{v\), ]og^t{v'.,) ont même partie réelle, tandis que leurs parties imaginaires sont respectivement égales à — -i et H- ni, on déduit
D'une façon générale, en supposant que le chemin d'intégration ne sorte pas du rectangle (R), on aura
(GXVIIIO y^"|l^^^^,= Iog2r,((.,)-log2r.(i.o)+ïN7ri,
en adoptant pour les logarithmes leurs déterminations princi- T. et M. — III. Il
pales et en désignant par N un nombre entier que l'on obtient en ajoutant autant d'unités positives que le chemin d'intégration traverse de fois la coupure en allant de haut en bas, et autant d'unités négatives que le chemin d'intégration traverse de fois la coupure en allant de bas en haut.
