Ayant calculé q^ X, x' puis co
V^£l— £3 " /si— £3
on obtiendra ti, par la formule (CX2) par exemple, où la série en q^ converge rapidement puisque q'^ est plus petit en valeur
absolue que —?, ou, mieux encore, par la formule (XXXIX,);
on obtiendra ensuite YI3 par la formule (XXVIIIi), sfk^ \Jk\ K, R', E, E' par les formules (CXIX4 g) et (Cil).
On a ainsi toutes les quantités nécessaires pour le calcul des fonctions 2r, a", sn, en, dn, î^, p, . . ..
559. Ce qui précède suffirait à la rigueur; toutefois, il est souvent avantageux de ne pas fixer tout d'abord, comme nous l'avons supposé, l'ordre des quantités e,, £2, £3 par les conditions
|£i— £3 |i|£i— £2|^|£2— îsl;
ou bien, si c'est le nombre x qui est donné directement, comme il arrive quand on se sert des fonctions de Jacobi, ce nombre peut ne pas satisfaire aux conditions | x | S | x — 1 | -< 1 ; il est donc nécessaire d'expliquer avec des détails suffisants comment on peut cependant ramener les calculs à se faire avec la même facilité que dans le cas précédent.
Il convient tout d'abord de compléter les observations que nous
avons déià faites sur la façon dont les points — ^— , -, , i — x,
— ; — correspondent au point x.
Convenons de dire de deux points qu'ils sont symétinques par rapport à un cercle quand ils sont situés sur un même diamètre et qu'ils divisent harmoniquement ce diamètre, ou encore, ce qui revient au même, quand ils se changent l'un dans l'autre, par l'inversion dont le centre est le centre du cercle et la puissance le carré du rayon du cercle. Cette définition comprend la définition de la symétrie par rapport à un axe; elle ne s'applique pas à la symétrie par rapport à un point, pour laquelle nous conservons la définition habituelle.
La vérité des propositions suivantes apparaît immédiatement sur la figure.
Les points x et i — y. sont symétriques par rapport au point •
ON DONNE A^ OU ff^y gz'-i TROUVER T OU Wi, W3
Les points - et — ^^ symétriques par rapport au point - , sont respectivement les symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles et à la droite (D) du point symétrique du point x par rapport au cercle Cq. Les points et — —, symétriques par
rapport au point - , sont respectivement les symétriques par rapport
à l'axe des quantités réelles et à la droite (D) du symétrique du point X par rapport au cercle C|. Quand le point x décrit l'une
des trois lignes Co, C|, D, les points ;; , -, -, i — x, -
décrivent aussi, chacun, quelqu'une de ces trois lignes.
Il est aisé, d'après ces remarques, de dresser le Tableau suivant. Les six régions dans lesquelles peut se trouver l'un quelconque
des points x, > -» > i — x, sont enumerees dans la
colonne verticale qui porte en tète l'alfixe de ce point, et les six
points sont toujours respectivement dans les régions dont les symboles figurent dans une même ligne horizontale ; ainsi, si le point /. est dans la région (C,), le point -— — est dans la région (Co).
(Co)
(Do)
(Di)
(Co)
(Do)
