TROUVER T OU 10,, (O

5o6. Nous allons raainlenant donner une série entière qui permet le calcul de q dans tous les cas.

La relation (CXXT3)

posons qu'on puisse satisfaire identiquement à cette équation en remplaçant y par une série entière en x de la forme

(2 ) V = j7 (a^+ a, J7 + a^jT--)-. . .-!- a,,cr"-t-. . .);

les coefficients a^, a,, ..., a„, ... seront des fonctions entières à coefficients entiers des coefficients A,- y, en sorte que, si ces derniers sont des nombres entiers, il en sera de même des coefficients a„.

Soit, en elfet, en désignant par p un entier positif et en supposant en général a„ , =^ «„)

yf = ^;'(x,^^^-f- a, ,,37 + ^l^^^x'' +. . .+ a„ /r" + ...) :

il est clair que a„ sera une fonction entière à coefficients entiers de a„, a,, ..., a„ indépendante de a„^,, a„^j, ...; en substituant dans l'équation (i), il vient

par suite, si l'on fait m-hi = i-{-j-i-n, et que l'on égale dans les deux membres les coefficients de x'"+\ il viendra

«„, = A,„ . , . + y A,- , a,„ .,.. . ; ^i-^-i = ln + i)

sous le signe \ du second membre, j doit être au moins égal à i ; par suite, le premier indice m + t — i — y est au plus égal à m; il n'atteint cette valeur que pour i — o, j — i; mais, par hypothèse, A^ , est nul; il n'y a donc pas, dans le second membre, de terme en a^ , = a^, et les termes en «„+,,- qui y figurent sont des fonctions entières à coefficients entiers de a„, ai, ..., «„, ; si donc ces quantités sont des fonctions entières à coefficients entiers des A,., il en sera de même de a„; or, on a a, = A, „, a, = A, ,a„-f- A„ ^ a„ ^-1- A, „, La proposition

est évidente. Elle s'applique au cas actuel en supposant x — — >7= VI et en

prenant la première des équations (0x1X4) et l'équation (CXXI3) pour les équations (i) et (2).

M. Hermite s'est occupé récemment des séries (CXXI^ ,) et de quelques autres. {Bulletin de la Société physico-mathématique de Kasan, série II, tome VI.) Entre autres résultats, il établit le caractère rationnel et positif des nombres C„, au moyen de la transformation de Landen, et montre que les nombres 2^"C„ sont entiers; le caractère entier des nombres 5„ en résulte. L'illustre géomètre donne, d'après M. Tisserand, les valeurs des douze premiers nombres 2'"C„ et en signale de curieuses propriétés arithmétiques.

222 CALCUL INTÉGUAL.

suppose I X I <; I ; si cette condition est vérifiée, elle peut, en

supposant ^ = e '"'", être regardée comme une identité en y.. Si, en regardant pour un instant t comme la variable indépendante,

on suppose 4 réel et positif et si l'on détermine x par la condition

la valeur de x sera manifestement réelle, positive, plus petite que I, on aura d'ailleurs (n*' 550)

et, par suite, pour toutes les valeurs de ~ considérées.

TTt/'

Si dans cette identité on change t en 4"^, on aura, pour les mêmes valeurs de t,

Jl,,[mi^Y-,

et, par conséquent, pour toutes les valeurs de x réelles, positives et inférieures à un,

ir x' ( X )

eu posant, comme on l'a fait au n'^ 529,

L'avant-dernière égalité, établie pour toutes les valeurs de x qu'on a spécifiées, subsiste tant que les deux membres sont des fonctions holomorphes de x, c'est-à-dire dans tout le plan (g) : on

ON DONNE A* OU g^, gS; TROUVER 7 OU (Oj, 61)3. J2 23

|)Ourra donc, au moins théoriquement, calculer rj dans tous les cas par la formule

(GXXI;) ^"=^^41

557. Nous allons montrer qu'on peut toujours s'arranger pour que la série qui figure dans le second membre de la formule (CXXI,) soit très convergente et que, en même temps, q soit petit.

La chose apparaît clairement quand les données sont les nombres Y2> Y3- On peut, en effet, supposer les racines e,, £2» £3 rangées dans un ordre tel que les quantités | s, — £3 1, | £, — £3 [, | £0 — £3 1, -oient rangées par ordre de grandeur décroissante, c'est-à-dire supposer que l'on a |x[^|i — x|^i, ou encore que le point x appartient à la région (GoC)Do); il suffira pour cela, après avoir figuré le triangle formé par les trois points £,, £0, £3, de placer £0 au sommet qui réunit les deux plus petits côtés, £) au sommet qui réunit les deux plus grands.

Pour nous rendre compte de la rapidité de la convergence de la série envisagée, lorsque x appartient à la région (CoC|Do) ou à sa limite, nous chercherons d'abord à déterminer le maximum (le I ^|. Cette dernière quantité n'est autre chose que le rapport (les distances du point \/i — y. aux points i et — i; quand le point •/, reste dans la région (GoC(Do), le point y^i — x reste dans une région qui est limitée par la courbe que décrit le point y/i — x quand x décrit la limite de la région (Co(^|Do) : cette limite se compose de deux parties, d'une part l'arc du cercle C|, compris à l'intérieur du cercle Cq, qui va, en passant par le

Ut m

point o, du point e ^ au point e ^, et, d'autre part, la portion (le la droite D qui s'étend d'un de ces points à l'autre. Quand le point X décrit la première partie, le point i — x reste sur le cercle Cq et le point {/i — x décrit le petit arc du ceixle Co com-

pris entre les points e '^ et e*^ ; quand le point x décrit la seconde partie, le point ^/i — x décrit un arc de courbe qu'il est aisé de

construire et qui relie les deux points e '% e'^; une étude

sommaire de celte portion de courbe montre (*) qu'elle est comprise tout entière à l'intérieur du cercle G qui est orthogonal au

cercle Co et passe par les deux points e '^, e^^. Quand le point x reste dans la région (CoG)Do)ou sur sa limite, le point ^i — x reste donc à l'intérieur du cercle C et n'atteint ce cercle qu'aux

deux points e^'^ et e ^^ Or, sur le cercle C, le rapport des distances aux points i et — i reste constant; ce rapport prend une valeur plus petite à l'intérieur de ce cercle ; donc le rapport des distances du point ^i — x aux points + i et — i, lorsque ce

point y/i — X reste dans la région considérée ou sur sa limite, est

2L£ Ef' , ,, J^

maximum pour les points e '^ et e'^5 mais on a, pourri — x = e'-,

ijz ijz in

? = — 7^ = -^ — hë"^"'^"*"^^'

et, par conséquent, lant que x reste dans la région (C„CtD„) on sur sa limite, on a

Quant à la valeur de | ^ | pour la même région, elle est manifestement inférieure ou égale à

(') Il est aisé de voir que celte portion de courbe est décrite par le point

e 4(2cosm) 4 quand la variable réelle a va de — '" à 4-^". Quant au cercle

C, son centre est le point séc— et son rayon est égal à tang — Le point doit

être intérieur à ce cercle, ce qui se traduit par l'iiiégalité

TT u i \' . u I r

; --COS - ^, +^'"'r /- <tan§'--

ï-' ^ y^COSW/ 4 y/2C0SM '-^

C'est un problème de nature élémentaire que de montrer que cette inégalité est vérifiée quand u varie de — 5- à + ^r-

ON DONNE Â^ OU g^, gz; TROUVER T OU CO,, CO3.

et, par conséquent, à

> o„{ - tan" — - :=: y o„{ tang -—

or, la série dont la valeur absolue figure dans le second membre

n'est autre chose que la valeur de q pour ■/. = e '^ , valeur qui a été calculée au n° 551 ; on a donc

pour tous les points x qui appartiennent à la région (CoC,Dq), ou à sa limite.

Dans ces conditions, en calculant q au mojen des v premiers

termes de la série, on commet une erreur égale à ^ S«

quantité dont la valeur absolue est moindre que

c'est-à-dire que

puisque l'on a vu que \ ^« ( ~ ) ^^^ égale à i. On trouve

ainsi que, en prenant un, deux, trois, quatre termes, l'erreur commise est moindre que

■liPI^' Û

Sia'P' ' 8192'' ' '

donc sûrement plus petite qu'une unité du quatrième, huitième, onzième, quinzième ordre décimal.

Pour les valeurs réelles positives de x, plus petites que -? on

T. et M. — HT.

:> tOj