CHAPITRE VIII

I. — Représentation de la fonction inverse de sn u par une intégrale définie.

570. L'équation z =^ 'snu définit u comme une fonction implicite de z; cette fonction peut être représentée explicitement par une intégrale définie.

Rappelons d'abord que à chaque valeur de s il correspond une infinité de valeurs de u comprises dans deux classes ; les valeurs de u comprises dans une même classe sont congrues modulis J^K, 2ïK'; la somme de deux valeurs de u comprises dans des classes différentes est congrue à 2K. Chaque racine de l'équation (en u), z = snu, est simple, sauf dans le cas où elle annule la dérivée de snw, ce qui ne peut avoir lieu que si le point z coïncide avec

l'un des points ±1, —r, que nous supposerons marqués dans le plan de la variable z et que nous désignerons sous le nom de points critiques.

Soit (A) une aire limitée par un contour simple et ne contenant aucun point critique; soit Zq un point situé à l'intérieur de (A); soit enfin Uo une solution quelconque de l'équation Zq=^ snuo. Il résulte de la théorie des fonctions implicites (n° 357) et de ce qu'on vient de dire, qu'il existe une et une seule fonction '^{z) satisfaisant aux conditions suivantes : la

fonction d'(:;) est holomorphe dans ( A) ; dans (A) elle rend sn?/ identique à z quand on y remplace u par 4'(^) 5 enfin, elle se réduit à u^ pour 2 = 5o. Il est clair que toutes les fonctions que l'on obtient en ajoutant un nombre entier de périodes 4^^, ii)kl aux fonctions ^{z)^ aK — 4/(5) jouissent des deux premières propriétés et qu'elles sont les seules fonctions analytiques qui, mises à la place de u dans la fonction sn^^, la rendent identique à z.

Si donc on considère une courbe (Z) du plan des ^, partant de So et ne passant par aucun des points critiques, on voit, en fractionnant convenablement cette courbe, qu'il existe une fonction analytique et une seule, M = di(2), régulière en tous les points de (Z), vérifiant en tous ces points l'équation ;; = sn m, prenant enfin la valeur «0 au point de départ ;;o ; toutes les fonctions analytiques qui vérifient l'équation 5 = su m aux différents points de (Z) s'obtiendront en ajoutant un nombre entier de périodes à l'une des fonctions J> (5), 2K — <|'(^)*

En tout point de la courbe (Z), on a, en regardant u comme

égal à ^(^),

du I I

dz cnwdna J^ z'^ ^ i A'

si l'on choisit pour chacun des radicaux y/ 1 — ;3^ , \/ \ ■ — k'^z-, celle des déterminations qui est égale à cnî^, dnw. Il importe de montrer que cette égalité subsiste quand on se place, pour définir les radicaux, à un point de vue un peu différent.

(Considérons un point quelconque;:) de la courbe (Z) et la valeur correspondante i/i = 'i>(^,); attribuons aux radicaux \J \ — z'\^ \l V — k'^z\ les valeurs cn/^i, dn^^, et supposons que le long de la courbe (Z), en partant du point ^,, soit en avant, soit en arrière, on définisse par continuation les radicaux y/ 1 — i;-, sj \ — k'^z-\ cela pourra se faire sans ambiguïté, puisque la courbe (Z) ne

jiasse par aucun des points critiques dr 1, ±7.; tout le long de

(Z), si l'on regarde a comme égal à ^(s), les quantités cnw et dnw, dont les carrés restent toujours égaux à 1 — z'^ , i — k'^ z'-^ resteront respectivement égales à y/ i — 5^, y/i — k'^z'^^ ainsi qu'il résulte de la continuité. En adoptant ces définitions pour y/i — 3=*,

k'^z^, on aura donc encore, tout le long de (Z)

du I

On en déduit, en se reportant à la définition de l'intégrale définie prise le long d'une courbe, l'égalité

Mo

l'intégrale est prise le long de la courbe (Z) à partir du point s,> jusqu'à un point quelconque z de cette courbe, et c'est ordinairement pour le point de départ ^o que l'on fixe le sens des radicaux. Telle est l'expression à laquelle nous voulions parvenir, qui représente, au moyen d'une intégrale définie, une solution de l'équation z = snw.

Quoique cette conclusion subsiste évidemment, en vertu de la continuité, lorsque la courbe (Z) vient aboutir à un point critique, nous continuerons de supposer pour le moment qu'aucun point de cette nature ne se trouve sur la courbe (Z).

571 . Si, en conservant les points de départ et d'arrivée z^^z on remplace le chemin d'intégration (Z) par un autre chemin d'intégration (Z) ), ne passant par aucun point critique, on obtient encore évidemment une solution de l'équation ^ = snM. On peut d'ailleurs obtenir n'importe quelle solution en choisissant convenablement le chemin (Z,) : en effet, soit u^ une de ces solutions; dans le plan de la variable «, joignons le point u^ au point m, par un chemin quelconque (Ui ), qui toutefois ne passe ni par un zéro de sn'w, ni par un pôle de snw, et prenons pour chemin (Z, ) le chemin que parcourt le point 2 = sn^^ lorsque le point u parcourt le chemin (Ui); ce chemin (Z,) sera fini et ne passera par aucun des points critiques ; d'après ce qui précède, l'expression

r dz

où l'intégrale est maintenant prise le long de (Z) et où les radicaux sont continués le long de ce chemin, en partant des mêmes valeurs initiales que dans le cas précédent, est égale à W).

Dans le cas où les deux chemins (Z), (Z, ) sont compris à l'intérieur d'une aire telle que (A), il faut, puisque la fonction ^j>(s) est liolomorphe dans cette aire, que les valeurs des deux intégrales soient les mêmes.

572. La fonction inverse de sn;^ étant ainsi mise sous la forme d'une intégrale définie, on verra, dans le paragraphe suivant, comment le calcul de cette intégrale définie peut s'effectuer, quand le chemin d'intégration est donné, au moyen de séries convergentes. Pour le moment, nous voulons dire quelques mots de l'étude directe de cette intégrale, étude qui, dans le cas où tout est réel, a été historiquement l'origine de la théorie des fonctions elliptiques et qui, dans le cas général, peut se faire aisément au moyen des théories de Caucliy. Par exemple, la propriété qui vient d'être signalée, relative au cas où les deux chemins (Z), (Z,) sont compris dans une aire (A), résulte immédiatement de la propriété fondamentale des intégrales prises entre des limites imaginaires.

Nous allons indiquer comment on peut, en général, étudier l'influence du changement du chemin d'intégration, en nous bornant, ce qui suffit évidemment, au cas où z^ est nul.

Pour cela, nous nous placerons d'abord dans le cas général, où k est imaginaire.

Imaginons quatre lacets partant du point o et entourant les points critiques. Chacun de ces lacets est formé d'un segment de droite oa, parlant de o, se dirigeant vers le point critique, et se terminant en a, avant d'arriver à ce point, à une distance infiniment petite; puis d'un petit cercle, passant par a, décrit du point critique comme centre. Décrire le lacet, c'est partir du point o, suivre le segment de droite oa, tourner autour du point critique en suivant la circonférence du cercle, puis revenir au point o par le segment de droite. Il résulte du théorème de Cauchy que tout chemin partant de o et aboutissant au point z donne pour l'intégrale la même valeur qu'un chemin composé d'un certain nombre de lacets, aisé à déterminer dans chaque exemple, et d'un chemin arbitrairement choisi partant de o el aboutissant k z; on prend pour ce dernier chemin le segment de droite, qui va de o à c, lorsque ce segment ne contient aucun point critique.

11 est bien enlendu que lorsque le chemin d'intégration (qui ne doit passer par aucun point critique) est fixé, on suppose, pour spécifier le sens de l'intégrale, que les radicaux ont une valeur déterminée (±i) pour z^^o, et que le long du chemin leur détermination résulte de la continuation.

Nous allons d'abord calculer les valeurs de l'intégrale prise le long des lacets, en supposant que les radicaux aient la valeur + I à l'origine.

Considérons le lacet relatif au point critique f- i. En suivant le segment oa, on obtient d'abord une intégrale qui est infiniment voisine de

r^ dz n d^

Jq V^l — 52 y/l — ^2^2 Jo /i — ^2si„2çp'

cette dernière intégrale est précisément celle dont l'étude a été l'objet essentiel du Chapitre précédent ; en employant les notations de ce Chapitre, on la désignera par li.(k^). Il convient actuellement de regarder le nombre k- =r. x comme une donnée;

si, dès lors, on prend pour t la valeur t r=rr — - , on a, comme on

l'a vu, X=— K, x'=:K.'; c'est ce que nous supposerons désormais.

On doit ensuite décrire, dans un sens ou dans l'autre, le petit cercle, dont nous désignerons le rayon infiniment petit par p; on reconnaît immédiatement, au moyen de la substitution 5 r=z I -I- pe'?, que l'intégrale est infiniment petite; lorsqu'on a fait le tour du cercle, l'argument du facteur i — z a varié de air, ceux de I -h 5 et de I — k- z- n'ont pas changé, le radical a donc changé de signe; lors donc qu'on parcourra une seconde fois, en sens inverse, le segment de droite, la partie correspondante de l'intégrale sera, à un infiniment petit près, égale à K, comme la première fois.

En résumé, et puisque l'intégrale, prise le long de tout le lacet relatif au point critique i , ne dépend pas du rayon p du cercle, elle est pour tout ce lacet égale à 2K.

Passons au lacet relatif au point • Un raisonnement tout pareil

montre que, pour ce lacet, la valeur de l'intégrale est égale au double

de celle de l'intégrale

dz

Faisons, dans cette dernière intégrale, la substitution z :== -"7 qu iTultère pas le caractère rectiligne de l'intégration ; on aura

'M dz I ' /^' ^-^

les radicaux qui figurent dans la seconde intégrale ont toujours la valeur +1 pour ^'=0 : cette seconde intégrale est donc, en adoptant encore les notations du Chapitre précédent, égale à

X ( ^ ) . D'après les formules (CXX,), cette dernière quantité est

égale à ^'k^^[X{k^) zii iX'{k-)], où la partie réelle de \/k- esl supposée positive, et où l'on doit prendre le signe supérieur on le signe inférieur suivant que le coefficient de / dans k- est positif ou négatif; la détermination spécifiée de y//:- est égale à k. pour la valeur choisie de 7 (CXIX4). La valeur de l'intégrale pour

le lacet relatif au point j est donc 2K zn 2/K',

La valeur de l'intégrale pour les lacets relatifs aux points — i , — T est respectivement égale à — 2K, — 2K.±:2 iK.'.

573. 11 nous reste à examiner le cas où A' est réel. Nous nous bornerons à quelques indications relatives à la supposition o < /c < I ; il est alors nécessaire de modifier le lacet relatif au

point 7» pour éviter le point critique i. On composera le lacet

d'un segment de droite allant du point o à un point a infiniment voisin du point i, d'un demi-cercle aa' situé dans la partie supérieure du plan et décrit du point i comme centre, d'un segment

de droite a."^ allant jusqu'à un point ^ infiniment voisin de^>

d'un petit cercle passant par ^ et décrit du point j comme centre,

enfin du chemin déjà décrit ^a'ao.

25o CALCUL INTÉGRAL.

La seule difficulté consiste à évaluer l'intégrale rectiligne prise entre les limites a! et §. On observera tout d'abord que, en parcourant le demi-cercle aa', l'argument du facteur i — z diminue de 7î, tandis que ceux des facteurs i + «s, i — k"^ z- ne changent pas; il résulte de là que la valeur du radical le long du chemin a'^ est égale à — i\i'z'^ — i \' \. — k'^ z'-. où l'on entend pary/^^ — i, y/i — k'^z'^ les déterminations positives de ces racines. L'intégrale rectiligne que l'on veut évaluer entre les limites a' et |3 est donc infiniment voisine du produit de i par l'intégrale

dz

or cette dernière intégrale, dont la valeur est réelle et positive, se transforme par la substitution réelle

dans l'intégrale réelle et positive

dv

qui est égale à x(/i'^), c'est-à-dire à K'. On trouve ainsi que l'intégrale envisagée, prise le long du lacet relatif au point critique T j est égale à 2K -j- ii¥J ; on trouverait de même que cette

intégrale, prise le long du lacet relatif au point critique — 7, est égale à — 2K — 9.i¥J .

Ces résultats pourraient d'ailleurs aussi se déduire de ceux du cas général où t est imaginaire par un passage à la limite qui, toutefois, demande quelque attention.

En résumé, les conclusions établies pour le cas général subsistent dans tous les cas.

574. Il importe de ne pas oublier que, d'après ce qui précède, lorsqu'on a parcouru un lacet et qu'on est ainsi revenu au point o, un des radicaux et un seul a changé de signe. Il résulte de là, en

parlicuHer, que si l'on parcourt une seconde fois le même lacet en gardant la nouvelle détermination des radicaux, on obtient pour ce second parcours une valeur de l'intégrale égale et de signe contraire à celle qu'avait fournie le premier parcours, de sorte que si le chemin d'intégration comprend deux fois de suite le même lacet, cette partie du chemin peut être supprimée. De même, si l'on parcourt successivement deux lacets différents, en partant par exemple de la valeur + i attribuée aux deux radicaux, la valeur totale de l'intégrale prise le long du chemin formé par ces deux lacets est égale à la différence entre la valeur calculée plus haut pour le premier lacet et celle calculée plus haut |)our le second lacet.

Nous sommes à même, d'après ce qui précède, d'évaluer la valeur de l'intégrale prise le long d'un chemin composé uniquement de lacets. Si le chemin est composé d'un nombre pair de lacets, on revient au point o avec la même valeur pour le produit des deux radicaux, et l'on reconnaît sans peine que la valeur de l'intégrale est de la forme 4^*^^ + 2/i'/K', où n et n! sont des entiers qui dépendent de l'ordre dans lequel on parcourt les lacets. Si le chemin est composé d'un nombre impair de lacets on revient au contraire au point o avec l'un des deux radicaux changé de signe, et la valeur de l'intégrale est de la forme 2K-j-4'iK+ in'i¥J. Dans les deux cas, on peut d'ailleurs toujours déterminer l'ordre de ces lacets de façon que n et n' prennent des valeurs entières quelconques prescrites à l'avance.

Si l'on considère maintenant la dittérence des valeurs de deux intégrales de la forme

r dz

oii les limites sont les mêmes, mais où les chemins d'intégration diffèrent, on voit de suite que celte différence peut être remplacée par une seule intégrale où le chemin d'intégration part de o pour aboutira o, c'est-à-dire par une de ces intégrales que nous venons de calculer.

L'évaluation de l'intégrale, pour un chemin d'intégration quelconque, est ainsi ramenée à celle de cette intégrale pour un chemin arbitrairement choisi, au calcul de K, K' et au calcul des nombres

entiers n^ /i', que nous avons appris à déterminer dans chaque cas particulier.

Les propriétés de l'intéffrale / , — r , que nous

venons de retrouver par la méthode de Gauchj, jointe à ce fait que l'équation différentielle

permet de définir z comme une fonction holomorphe de u ('), fournissent les éléments essentiels d'une théorie de la fonction sn;^. Elle serait l'analogue d'une théorie de la fonction sinu, qui

serait fondée sur les propriétés de l'intégrale / -j—^^— > et qui,

ainsi, procéderait dans l'ordre inverse de celui qu'on suit habituellement dans la théorie des fonctions circulaires.

575. Ces résultats se généralisent immédiatement. On a prouvé que toute fonction doublement périodique du second ordre /(m) vérifie une équation différentielle de la forme

(■-r-) =R(^), où R(s) désigne un polynôme du troisième ou du

quatrième degré en z. Il résulte de là tout d'abord que la fonction

fournira la fonction inverse de f(u), fonctic

inverse dont les propriétés peuvent être déduites soit des propriétés supposées connues de la fonction f{u), soit de l'étude directe de l'intégrale. Si Ji{z) est de la forme 4^^ — g-2^ — g'^i on obtiendra ainsi, soit par une voie, soit par l'autre, les propriétés de la fonction inverse de pu.

- est d'ailleurs toute pa-

reille à celle de l'intéffrale / ^___ , r- les points critiques

sont alors les racines de l'équation R(-5) =^ o. On est amené à

)nction

(') Cette belle proposition, que nous nous contentons d'énoncer, est due à Briot et Bouquet. Leur démonstration a été complétée sur un point important par M. E. Picard (Bulletin des Sciences mathématiques, p. ig\; 1887).

introduire trois ou quatre lacets partant de Zq et entourant les points critiques, suivant que K{z) est du troisième ou du quatrième degré. Bornons-nous à ce dernier cas; la seule différence importante avec le cas particulier que nous avons étudié consiste dans la nécessité d'établir la relation a — P+Y — 8 = 0 outre les valeurs des intégrales relatives aux quatre lacets. Cette relation, évidente dans notre cas particulier, s'obtient en partant

de ce que l'intégrale / ,Jl > prise le long d'un cercle de ravon

1 *= J s/Riz) ^ ^

infini, est nulle; elle permet de montrer que les valeurs diverses que peut acquérir l'intégrale / -7= sont comprises dans deux

classes; les valeurs d'une même classe sont congrues, modulis 2 (a — ji), 2(a — y) ; la somme de deux valeurs appartenant à deux classes différentes est congrue à 2a. Cette proposition, jointe à la

propriété de l'équation différentielle (^) = R(^) ^^ définir z comme une fonction univoque de w, permet de montrer que cette fonction est une fonction doublement périodique, quel que soit le polynôme R(^), supposé toutefois sans racines égales.

Cette dernièi^e propriété sera établie, dans le prochain Volume, d'une façon toute différente, en restant dans l'ordre d'idées qui nous est habituel.