X EST DANS
la région
EXPRESSION
de x„ au moyen de x
EXPRESSION
de T au moyen de t
EXPRESSION
de T au moyen de T
(GoCiDo)
(GoC;Do)
iqzT
(G'oG'iDo)
niH-T
(GoGiD,)
(G'oGiD,)
561. On pourra, si l'on veut, calculer q au moyen de t. Toutefois, il est avantageux de faire les calculs numériques au moyen des séries 2r((^ I t) plutôt qu'au moyen des séries 2r(t' |t) à cause
23o CALCUL INTÉGRAL.
de la rapide convergence des premières; aussi convienl-il de donner pour chaque cas l'expression des séries 2r( v | t) au moyen des séries ^{v\t). Cette expression résulte immédiatement des formules de transformation linéaire (XLII), dont les quatre premières peuvent s'écrire
^ 'V I / \a -^ b r\a -hb T/
v/a'+è'Te«' + ''"'&v+i (p|t) = &4( —
Lorsque x est dans la région III, par exemple, on a, d'après le Tableau (CXXII,),
de sorte que les nombres a\ b', c', d' qui figurent dans les formules précédentes sont a'= i, 6'= ± i , c'= o, c/'= i ; la parité de ces nombres, qui vérifient la relation d d' ~ 6'c'= i, montre que l'on est dans le cas 3" du Tableau (XXc) ; en se reportant aux formules (XLIIct), on a donc immédiatement
en tenant compte des valeurs ),=:2,[jl = i,v^3 correspondant au cas 3° du Tableau (XXe), on obtient ainsi les formules suivantes (')
3^1 / — ^ T ] = e"^ * \/i± Te~i±^3'i((^ I t),
(GXXII9)
I Zt T
^^(tïiI^)^'"' /i + ï^'i^^St^CpIt),
(') On arriverait au même résultat en décomposant la transformation considérée
en transformations de la forme t± i, — - (n" 191 ).
ON DONNE Â* Oi: gi, gi] TROUVER T OU O),, CO3. 23l
OÙ les radicaux doivent être délcrminés de façon que leur partie réelle soit positive.
Lorsque x est dans l'une des régions I, II, III, IV, V, VI, la parité des coefficients a', b', c', d' de la substitution linéaire qui donne x au moyen de T nous place respectivement dans les cas i ", 2", 3°, 6°, 5", 4" du Tableau (XXe). Si l'on tient compte de cette remarque, on déduit immédiatement des formules de transformation linéaire (XLII), par un calcul semblable au précédent, les formules du Tableau (CXXII9) placé à la fin de l'Ouvrage, qui se rapportent aux cas où x est dans une quelconque des six régions envisagées. On a ainsi ce qui est nécessaire au calcul des fonctions 2r, sn, en, dn pour une valeur donnée de l'argument v.
562. Si l'on ? affaire aux fonctions p, "H^, d, . . . , on pourra
les supposer conslruiles avec les demi-périodes oJ| = —^ »
(O3 = -^" '-• On pourra aussi les construire avec des demi-
périodes équivalentes; en appliquant les formules (CXX4), nous allons montrer, dans chacun des six cas qui peuvent se présenter, comment on peut former au moyen dex(xo), x'(xo) de telles demipériodes û,, Q3 équivalentes à to,, W3; à ces demi-périodes correspondront des quantités H) , H3, de même que Yi, , r.g correspondent à w, , (03 ; on pourra calculer H, au moyen de û, et de Q par la formule (XXXIX,), puis H3 par la relation H, «3 — H3Û1 = — ^ d'ailleurs, ■f\{, Yis s'expriment linéairement au moyen de H,, H3 parles mêmes formules qui expriment w,, tog au moyen de û,, ^3] toutes ces quantités pourront donc être regardées comme connues. Le plus souvent on déduira les fonctions d{u \ £2) ,^3)5 <^a(« I i^i , "3) des fonctions S T— T ) par les formules de passage (XXXIIIs^e), dans lesquelles on suppose t, ^, o),^ W3, ri, etç = —remplacés respectivement par T, Q, Q,, û3, H, et \ = ^; on sait d'ailleurs que d{ii\ û,, Û3)est identique à <i{u | w,,(03), et que les trois fonctions 'ia.{u\Q^,a■i) sont les trois fonctions s", (m | w,, 0)3), (^^{u | to,, 103), 3'3 (m |to,, (1)3) prisesdans un ordre convenable: cet ordre se détermine parla parité des nombres «, 6, c, d au moyen des formules (XXg^e).
aSa CALCUL intéghal.
Les fonctions construites avec les demi-périodes Q) , £23 engendrent des quantités E, , E2, E3, y/E, — E3, . . . , de même que les fonctions construites avec les demi-périodes C0(, (03 engendrent des quantités 6{, Co, 63, y^e, — e-i, ...; les quantités Ej, Eo, E3 coïncident d'ailleurs dans leur ensemble avec Si, £27 ^3, puisque, en tant que fonctions de u, les deux fonctions p{u\sit, ûg), p(m|oi),, 103) sont identiques. Les quantités E), E2, E3, y/E, — E3, . .. seront, dans chaque cas particulier, exprimées sans ambiguïté au moyen des quantités dont le sens a été précisé antérieurement, et cela au moyen des Tableaux (XXc 7); l'examen de chacun de ces cas particuliers montrera que l'on a toujours
(GXXIIe) - - ''^"""^ - - ''^'^""'^
\/Ei — J'-3 s/Ei— lis
563. Examinons chacun des six cas particuliers qui peuvent se présenter.
Cas 1 ; X est dans la région (CoG, Dq).
Cas II ; X est dans la région (Cq C, Dq) : | x | <^ [ , | x — i | > i , I x| <; I X — I |. On pose, conformément à la définition adoptée plus haut pour x^,
Y, Xo
Xo = , y. = •
X — I Xo I
Il résulte de là que y^i — x y/i — Xo est égal à ±1; il suffit de faire la figure dans ce cas et de se rappeler les conventions relatives aux radicaux (n° 523) pour voir que l'on a
y/i — X v/i — ■/.o = I, v^T^x \/i — Xo= I.
Dans ce cas, les formules (CXX4) donnent donc
«■^(xo)],
où
No
= V^.-Xo
x(xo),
— Xo[x'(Xo)=)=
v/i- US po
>'-i. X(Xo)
serons
(x„)±x(xo)],
— XoXCXo)
v/i — Xo iX'(Xo)
0\ DONNE A- OU gï, g^\ TROUVER T OU Wj, 0)3. . 233
les relations précédentes deviennent alors
co, = 0,, ,03 — -b a, -H «3, d'où
■ni = "il ^i3 =± Hi + H3;
on a aussi, si l'on veut,
Q.\ — coi, Q3 — :p to, -(- (03 ; on voit donc bien que 2Q,, 2Û3 sont des périodes de jd?^ comme
Les coefficients <:/, />, c, «? de la substitution linéaire qui donne T en fonction de t sont
a^^\, b — o, c=:qzi, d=i.
Par conséquent, en se reportant aux Tableaux (XX^t), on a, en tenant compte des formules (CXlXj),
1 y/ 1-1 — E3 = /si— £2 = /si— ^3 /i — ■/-,
(CXXII5 ) • /k2 — K3 = ip i y/sa — £3 = ^'=-1 — £3 v/y-,
( v/ki — lia = /si — £3,
d'où
Kl = £1, E2 = £3) E3 = £2-
La première des formules (CXXÏI3) permet d'écrire les expressions de Q,, a-i sous la forme annoncée
x(xo) ^ tx'(v.o)
v/ei — E3 v/ki — E3
Il convient d'observer que l'on a, dans le cas actuel,
et, par suite,
en sorte que, au point de vue de la convergence des séries 3?, on ne gagne rien à faire la transformation précédente; il vaudra tout autant faire les calculs comme dans le cas 1°, où x est dans la région (CoC,Do).
Toiite cxplicalion est désoi'mais inutile : il suffira d'écrire \ei résultats.
Cas III. Le point x est dans la région (C„C,D,) :
lx|>i, |l-x|>I, |-/.|>|i — x|, I 4/ — •*/- a V '^
x(x) = v/xo[x(xo)± fx'(xo)], x'(x) = v/xox'(xo), x(xo)v/xo ,^ ,^ o i'x'Cxo)/-/^
ni =rji ip-^3, n3 = T,3,
El =£2, E2=£i, K3 = £3,
v/ei — E3 = v/£i — £3 yjy-, v/k2 — E3 = — /£
v/ei — E2 = ± iVîi — ^ VI --- ■''- Crt5 7F. Le point X est dans la région (G|,C, Do' |x|>K |,x|>i, |x|<|i-x!,
v/xo y/i — X = I, x(x) = x'(xo) /xo, x'(x) = [x(xo) rp Jx'(xo)] v/x^,
X(Xo)\/xo
«x'(xo) v^xo
-1 —1 ^i — ' las. 1 v^l .
iV^I— '3 ^V'I '3
II) =± r^i — -/;3, 113= r^i,
El = £2, E2 = £3, E3 = £1,
v/ei — E3 = f /ei — £3 \/i — X, v/e2 — i':3 = — i /^i — £3,
V^Ki — E2 = ± ^£1 — £3 /■'<•
ON DONNE A^ OU g^, g^; TROUVER X OU CO,, Uj. 235
Cas V. Le point x est dans la région (CqC, D, ) :
lx|<., |,xi<i, |x|>Ii-x|, „ I — v^x
Xq — I X, po = nr- J
x(x) = x'(xo), x'(x) = x(xo),
X(i.o) ïX'(Xo)
l /sl - - E.-î t /Sl — £3
"1 = — ■^(3, "3 = -Tii,
El = £3, K-, = î,, K, = £|,
\/ei — K3 = i /s] —- Î3, \/t2— «3 = — f v/-l — £3 /' — "''m
V^Kl — 1:2 = « /'I — ^3 //-
C^5 F/. Le point x est dans la région (C'^C) Dj) :
|x|>i, |i xi<i, Ix|>!i — x|,
(/x v/i — xo = I,
x(x) = /i — Xo[x'(xo)=h tx(X(,)], x'(xo) = v/i — '^ox(xo),
x(xn)v/i — x„ • x'(xo)v/i — Xq
iîi = — W3 = 7— j Q3 = w, zp W3 = ■ — ;
j/si — £3 V^^i — £3
ili = — fl3, "3 = ru q=T,3,
V^Ei — E3 = i /îi — ^3 v/"''-j v/e2 — K3 = ± v/£i — £3 y/i — X,
Dans les deux cas I et II, et dans les deux cas V et VI, la convergence des séries est la même : il suffira d'employer dans un cas et dans l'autre une seule et même transformation.
Les quantités ^E, — E3, y^Ea — E3, y^E, — E2 sont entièrement déterminées (XXXVI3) dès que l'on a fixé le sensde\/a|, qui peut être choisi arbitrairement. On pourra les exprimer au moyen de ^e, — £3, y/x, ^i — X, dans les six cas, dès que l'on aura fixé le
sens de la première de ces quantités, ce qui fixe le sens de v/<j>ii comme on l'a vu au n° 532; on n'oubliera pas que y/sj — eg doit être une racine carrée de ^/t^ — £3 : les expressions cherchées s'obtiendront aisément ensuite au moyen des résultats du n° 532, des formules (CXXII9) où l'on fera ^^ = o et enfin des formules (XXXVI3).
564. Il y a, dans la pratique, deux cas particulièrement intéressants : celui où les trois nombres S), £21 £3 sont réels et celui où, l'un de ces nombres étant réel, les deux autres sont imaginaires conjugués. Dans ces deux cas y^ et y.'i sont réels; inversement, si Y2 et Ys sont réels, on est nécessairement dans l'un de ces deux cas.
Dans le premier, x est réel et, s'il est compris entre o et j , X et x' sont réels, positifs; il en est de même de q, qui est, en outre, plus petit que i. Si x est compris entre o et-, on sera dans le cas I, et l'on appliquera donc les formules du Tableau (CXXII) dans ce cas I. Comme on a
pi- '~^ ^ =r= 0,086427 < -, 5r<e-iï<o,o432i5< —,
les séries seront très convergentes. Si x est compris entre 7el i, on sera dans le cas V; on posera donc
et l'on appliquera les formules du Tableau (CXXII) dans ce cas V.
On peut toujours supposer qu'on soit dans un de ces deux cas, en rangeant e,, £0, £3 dans un ordre convenable (n''557); cet ordre revient ici à prendre soit £1^ £2 > £3, soit £3]> £0 > £». Nous conviendrons de faire toujours la première de ces deux hypothèses. Le lecteur trouvera, dans les Tableaux de formules (CXXIII) et (CXXIV) placés à la fin de l'Ouvrage, la reproduction des formules ainsi obtenues qui sont d'un usage fréquent; les quantités réelles et positives y sont mises en évidence.
Toutefois, en adoptant les conventions du n" 545, on peut traiter aussi le cas où x étant réel est positif et plus grand que i, ou bien est négatif. Si l'on a 2 >> y. >> i , on est dans le cas VI; mais.
ON DONNE k^ OU g^, gs] TROUVER T OU COi, W,. 287
comme on l'a fait observer, la convergence des séries est la même dans les cas V et VI ; rien n'empêchera donc d'adopter la transformation du cas V : pour cette dernière transformation, j^o et Q seront négatifs. Si l'on a x > 2, on est dans le cas III; on adoptera alors la transformation de ce cas III, [Sq et Q seront réels et positifs. Supposons enfin que x soit négatif; si l'on a — i «< x «< o, on sera dans le cas II et l'on appliquera la transformation du cas 1; on posera Xo = x ; ^o et Q s'feront négatifs; si, enfin, on a x << — 1 , on appliquera la transformation du cas IV; ^o etQ seront positifs.
565. Si, yo et Y3 étant réels, deux des nombres s,, So? ^s sont imaginaires, on prendra pour £3 la racine réelle et pour s, = A -f- Bt celle des deux racines pour laquelle le coefficient de i est positif; on aura alors £3 := A — Bf, £2 = — 2A, et, par suite,
La partie réelle de x étant-» x et i — x seront des imaginaires conjuguées; de même X et x', de même encore w, et 0)3 : on a, en effet,
y/s, — £3 = y/ïB i — e ^ \J-). B ;
donc
v/2 B sl-i
On peut fixer (n'' 520) pour y/£, — £3 celle des deux déterminalions du radical que l'on veut; il en est donc de même de y/2 B; on prendra sa détermination arithmétique. Si l'on se reporte maintenant aux remarques qui ont été faites au n° 523 sur la position des points X, x', on reconnaît de suite que les droites que l'on désignait alors par OA, OA'font avec l'axe des quantités positives, dans le cas actuel oii x est situé sur la droite D, des angles moindres que -, et l'on voit ainsi que l'argument de x(x) est
compris entre o et 7 si A est positif, entre o et — 7 si A est négatif; dans le premier cas, l'argument de co, est compris entre o
et — -, dans le second entre — 7 et '\ dans les deux cas, la
partie réelle de w, est positive, le coefficient de i est négatif. Ce coefficient est, en valeur absolue, plus petit que la partie réelle dans le premier cas, plus grand dans le second.
Les nombres w, et toj étant imaginaires conjugués etya, ya réels, 7)4 =î;(w,; Y2,Y3) et 7)3 = ^(^3 ; Y2, Ya) sont aussi imaginaires conjugués.
566. Pour effectuer les calculs on n'a qu'à appliquer les Tableaux précédents. Mais on peut aussi suivre une autre marche particulièrement avantageuse dans le cas actuel.
Observons d'abord que, le point x étant sur la droite D, les cinq DOints > -j > 1 — X, — seront sur la circonrerence du
cercle Co, sur celle du cercle C(, ou sur la droite D elle-même, comme il résulte du Tableau du n° 569. Si nous désignons par x, l'un de ces points situés sur la circonférence du cercle Cj, le point I — X, sera situé sur la circonférence du cercle Co ; il en sera donc
de même du point y/i — x,, et, par suite, la quantité
Pi =
sera purement imaginaire ; mais alors la quantité Q, définie commi étant la somme de la série convergente (CXXI4),
IH't)
sera elle aussi purement imaginaire. L'avantage qu'il jaàcalculer avec des quantités purement imaginaires pour former les diverses constantes dont on a besoin et les fonctions 2» est évident; il sera d'ailleurs aisé, une fois ces constantes et ces fonctions auxiliaires connues, de passer au moyen des transformations linéaires, aussi facilement que dans le cas général où le point transformé était toujours dans la région (CoC,Do), aux constantes et fonctions qu'il s'agit finalement d'obtenir. Toutefois, comme le point X, n'est plus nécessairement dans la région (CqC) Dq), on pourrait craindre que la convergence de la série qui définit Q au moyen de pi ne fût plus très rapide; nous montrerons qu'elle est encore bien suffisante pour les besoins des calculs numériques.
ON DONNE k^ OC gi, gs', TROUVER T OU Wj, Oi^. 23g
567. Il est nécessaire de distinguer le cas où le point x est audessous de l'axe des quantités réelles, et celui où il est au-dessus. Dans le premier cas, A est négatif, £3 et, par suite ys, est positif; dans le second cas, $2 et ya sont négatifs.
Supposons d'abord que nous soyons dans le premier cas. Les points O, T, L de l^Jig. 3 représentent respectivement les points o, I, -du plan (S). On a figuré les deux cercles Cq, C| qui se coupent en E, E'; la droite D n'est autre chose que la droite EE'. Soit M le point x; soit M' le point symétrique de M par rapport à L, c'est-à-dire le point 1 — x; soient Pet Q' les points où les droites OM, OM' rencontrent le cercle C,, Q et P' les points où
Fig. 3.
les droites IM, IM' rencontrent le cercle Col la figure PQ'P'Q est un rectangle dont le centre est en L; on reconnaît de suite que les points P, Q', P', Q représentent respectivement les points
— — , -, — —, ^'~^ : les points P et O' sont sur le cercle Ci ; on I — X X X — i y. ^ ^
pourrait prendre arbitrairement l'un de ces deux points pour le point X,; en prenant x,= —^, on a à faire une transformation du
cas IV; en prenant x,= -» une transformation du cas III. Nous nous
placerons dans ce dernier cas ; x, est alors en Q', i — x, en Q ; l'argument de I — X, est l'angle dont il faut faire tourner 01 pour l'amener sur OQ; il est négatif, compris entre o et — | si M est audessous du point E, entre — ^ et — 71 si M est compris entre E et L (c'est le cas le plus désavantageux); nous le représenterons par
— 2<]>, ^ étant un nombre positif compris entre o et - ; désignons
pour un instant par a la valeur absolue de l'argument de x,, ou l'angle lOM égal à l'angle OIM; puisque le triangle lOQ est isoscèle, son angle au sommet 2 «]> est égal à t — 2 a ; on aura donc
tang6 = tang Ç^-ctjrr. —1- ,
et cette formule, puisque «]> est compris entre o et -> permettra
de calculer tj; sans ambiguïté; on voit, sur les valeurs de £3 et £3 (n" 566), que <\i peut être défini comme l'argument positif et moindre que ■rc de £2 — £3 •
Puisque l'argument de 1 — x, est — 2'h, celui de (/i — x, sera
— - et l'on aura
2 = y8ji.a„„4
la valeur maximum de tan": - correspond à la valeur limite •} = -; on s'en approche indéfiniment quand le point M s'approche indéfiniment du point L, car alors le point Q s'approche du point — I ; il n'est pas difficile de reconnaître que la valeur
limite de - est e ^ = 0,2078. . .; il nous suffira de remarquer que, dans tous les cas, tang^ est inférieure à tang^" =y/2 — i=o,4i4--
ON DONNE A- OU go, ^3-, TROUVER " OU 0),, W3. - 24 1
et que la somme de la série^ o„ (^ tang ^ j est inférieure à
(),?.i comme on le reconnaît de suite en se bornant au premier terme. Par conséquent, le nombre réel et positif? sera inférieur à Y^, et la rapide convergence des séries est encore assurée.
068. Connaissant Q, on a|ypliquera les diverses formules établies aux n'"* 561 à 563, pour une transformation linéaire quelconque, dans le cas III, en ajant soin de prendre le signe inférieur partout où il y a un double signe. Ces formules ont été reproduites dans le Tableau (CXXV) que l'on trouvera à la fin de l'Ouvrage.
On voit d'abord que a, et H, seront réels; on a en effet (n" 563)
tOj rr= Q, — «3, Tji r^ II, — II3,
0)3= ii:i, r,3=z II3,
et (I),, (O3 sont imaginaires conjugués, ainsi que r,,, r,,-, (n° 566). La réalité de iii n'apparaît pas sur la formule (CXXIIg)
v/ei— Es •■'- /e, — Es '^ /xy/ei — £3 ^' Jt J^J^^
mais il est aisé de transformer cette formule en partant de ce que Q, est réel et même positif (n" 565). La racine carrée de û, étant
Tii
réelle, il en est de même du quotient de 2*3(0 [t) par e* y/x; ce quotient ne change donc pas quand on y change i en — f ; mais alors, puisque Q est purement imaginaire, 2r3(o|T) se change en ."^..(oIt), comme on le voit par les formules (XXXVl,); d'ailleurs y X se change en y 1 — ^ x; on a donc
273(oIt) Srjo|T) &3(o|T) + 2rv(o|T) aâaCoUr)
la derni«'re égalité résultant de la formule (XL| }; finalement, on a
•>tTr2r2(ol4T)
/El —HJ
T. el M. -III.
Sous cette forme, on voit bien que Q, est réel et positif, puisque le numérateur est réel et positif, ainsi que le dénominateur, qui est le produit du nombre réel et positif y/aB par le carré de la somme de deux nombres imaginaires conjugués. On choisira pour y/û, la détermination arithmétique.
De la formule
on déduit, en donnant au logarithme sa détermination principale
d'où
logQ = —TZ —)-~ = -Kl — X(Xi) Qi
l0g-=--l0gQ= — —
puisque -r est un nombre réel et positif, log- est aussi un nombre réel et positif; cette formule fournit donc un moyen simple de calculer le nombre — ^. — - et par suite a.,. On avait déjà démontré au n" 565 que ce nombre, qui n'est autre que —^. — -■, était réel et positif.
Il convient aussi d'observer relativement à la quantité {/q qui
figure dans les séries ^, qu'en adoptant pour iV ^ la détermination réelle et positive, on doit supposer (XXVIII3)
Les autres formules du Tableau (CXXV) s'entendent d'ellesmêmes.
569. Lorsque A est positif on pourrait calculer <{;, j3,, Q par la même méthode; <!/ serait alors négratif, ainsi que ^, ?: dans le calcul précédent, les résultats finaux devraient donc être modifiés. Nous allons indiquer une marche un peu différente qui permet d'obtenir des nombres analogues, mais positifs.
Observons d'abord que la /ig. 3 convient encore au cas actuel.
ON DONNE k'^ OU g^, g^\ TROUVER T OU G3i, W3. ' ll\'i
mais en l'interprétant autrement. On regardera le point M' comme figurant x et le point M comme figurant i — x; les points P, Q',
P', 0 représentent alors -, -, — ; — , Les points P et Q'
sont sur le cercle C4, c'est l'un d'eux qu'il faut prendre pourx, ; nous choisirons encore le point Q', et nous désignerons maintenant par — 10 l'argument de i — x, , o étant un nombre positif compris entre o et -; on aura alors tangcp = — au lieu de tang'} = -—TT- ; en sorte que si l'on convenait de regarder J> comme
un angle positif, plus petit que 7t, défini toujours par cette dernière égalité, cp serait égal à t — '}.
Le calcul de ^(,Q, ^Q, Q\, ^i se fait exactement comme dans le cas précédent, si ce n'est que d» doit partout être remplacé par ?p.
On a fait la transformation du cas IV, x, = Comme le point x
est au-dessus de l'axe des quantités réelles, on a
wi — $23, r^i = H3,
103— — Q1H-S23, r,3 = — Hi-i-Hs;
12, et H, sont alors purement imaginaires; -^ est négatif (n"565).
Une transformation toute semblable à celle du cas précédent permet d'ailleurs de mettre û, i sous la forme suivante, qui met en évidence le caractère réel et positif de ce nombre,
9,71^1(0 Ut)
/ni^e* yz
On choisira pour y/a,f la détermination arithmétique.
Les autres formules du Tableau (GXXVI) placé à la fin de l'Ouvrage s'entendent d'elles-mêmes.
