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air
On a toujours | ^ { << i , et même j ^ j -< -^ si le point x est dans la région (Co C| Do). Dans ce dernier cas, la série ^ ^n'^'"' Çn (^)
converge très rapidement. On peut d'ailleurs, dans tous les cas, obtenir une limite supérieure de l'erreur commise en ne conservant dans cette série que les n premiers termes ; l'inégalité I ^;; 1 < I entraîne, en effet, l'inégalité | [3'«(j'«(5) | < j i^ |2«+' g,, (i) ; il résulte de là et de la valeur calculée plus haut, pour ^«(i), que le reste considéré est inférieur en valeur absolue à
i.3...(an-Hi) I pj2«+3 •2.4. ..(2/H-2) I — I P P *
Notre série a été ordonnée, jusqu'ici, suivant les puissances de ^. Dans la pratique, il est plus avantageux de l'ordonner suivant les puissances de s; c'est sous cette forme que les résultats figureront dans le Tableau de formules.
Si le point x n'est pas situé dans la région (CoCi Do), conformément à la marche suivie à la fin du Chapitre précédent, on commencera par lui substituer le point correspondant Xo de cette région, et l'on appliquera d'abord les formules précédentes comme si ce pointxo était le point donné; les séries conservent alors toute leur convergence. Au moyen des formules (CXXll), on peut ne laisser figurer dans les résultats que les données et c'est ainsi qu'ont été obtenues les formules (CXXVIII) du Tableau de formules.
Les simplifications qu'introduit l'hjpolhèse que Y2 et ^3 sont des nombres réels sont d'ailleurs évidentes.
588. Nous avons vu (n"* 583-586) comment, étant données deux valeurs concordantes D, D' de dnw, dn' a ou deux valeurs concordantes P, P' de pu, p' II, on pouvait trouver ?^au moyen de séries très convergentes; u est déterminé à des multiples près de 2K, 4/K' dans le premier cas, de 2(o< , 20)3 dans le second; quant aux valeurs de K, K', w,, (O3 on a appris dans le précédent Chapitre à les obtenir aussi au moyen de séries très convergenles quand on se donne A'^ ou g2i gs- Si l'on se donne deux valeurs concordantes -S, S'desnif, sn'w, il suffira, pour obtenir a, de passer par l'intermédiaire de D, D' au moyen des formules
D' = -A-2Sv/i^=T2,
où l'on choisira arbitrairement la détermination du radical. Ayant trouvé une valeur de u qui fasse acquérir à dn?^, dn' u les valeurs D, D', on sera certain que cette valeur fera acquérir aux fonctions snu, sn' Il soit les valeurs S, S', soit les valeurs — S, — S'; dans le dernier cas on ajoutera alv à la valeur trouvée^ d'une solution des équations sn w = S, sn' u m: S, on déduira toutes les autres, en ajoutant des multiples entiers de 4K.1 2iK.'. Des observations analogues s'appliqueraient au cas où l'on donnerait des valeurs concordantes C, C de cnu, en' u.
589. En terminant ce Chapitre, il convient d'observer que le problème posé au commencement du n° 576, problème qui consistait à évaluer, le long d'un chemin quelconque donné ne traversant aucun point critique, l'intégrale
dz
dans laquelle on se donne la valeur initiale du radical, s'il a été résolu dans les numéros 576 et suivants, ne l'a été qu'imparfaitement au point de vue pratique. La série qui, pour|A-|< i, fournit la valeur de cette intégrale ne peut, en effet, être réellement utilisée que si j A-| est petit. A la vérité, on peut toujours ramener
à ce cas, par des transformations convenables, l'évaluation de l'intégrale envisagée comme aussi riniégrale
dz
^^Z^ — giZ — g3
définie d'une façon analogue; mais on ne s'est nullement occupé de l'influence de ces transformations sur le chemin d'intégration, et une pareille étude, possible sans doute sur des exemples numériques, n'est pas sans difficulté dans le cas général.
Si l'on veut n'emplojer que les séries très convergentes dont il a été question dans les derniers numéros, les problèmes relatifs à l'évaluation des intégrales que nous venons de citer ne sont résolus qu'à des nombres entiers près. Occupons-nous, par exemple, de la dernière. Se donner Zq et la valeur initiale du radical, cela revient à se donner les valeurs initiales concordantes Pq, P„ ; b; chemin d'intégration étant donné, on peut suivre, tout le long de ce chemin, les valeurs du radical; on parvient ainsi aux valeurs concordantes finales P,, V\. Si l'on désigne par Mqj U\ des'valeurs de la variable u qui satisfassent aux équations
}Mlo = Po p'ilo = P'o, pUi = Pi, p'm = P',,
la valeur de l'intégrale considérée sera de la forme
Ui — Uo -+- aniWi-i- 2 «3(03,
où n, et ris sont des entiers qu'il reste à déterminer. Cette détermination, comme on le verra dans un prochain Chapitre, n'ofl'rc pas de difficultés sérieuses lorsque ^2 et ga sont réels. Nous verrons aussi que la détermination des nombres analogues dont dépend la solution pratique du problème analogue concernant la première intégrale est aisée lorsque A- est réel, positif et plus petit que I .
FIN DU TOME m.
22682 Paris. — Imp. GAUTIHEU-VILIARS ET KILS, qaai des Grands Auguslins, 55.
