av — i
série est absolument et uniformément convergente pour tous les points z situés à l'intérieur et sur la circonférence de F. Si, en effet, on pose | A" | = p, /i =: v -f-p, son terme général est, en valeur absolue, inférieur ou égal à
- -4. . •^^V-.)^,.,.^.^^^^^^^-4...(av-2) p,^^.
Or, la série à termes positifs
ap+,-f- -«;,+,+ — a„+3 + - . .-4- 3.5...(2v i)''^^^"^-- *
est convergente, comme il résulte immédiatement de la règle de Gauss relative au rapport d'un terme au précédent; désignons-en la somme par A^,^,; comme «^+, est plus petit que Up, il est clair que A;,+, sera plus petit que A^; dès lors, il est manifeste que la série à termes positifs
Aip -4- A2P*-!-.. .+- A,jp2«-i-H. ..
est convergente, puisque l'on a p < i • La somme de cette série est
256 CALCUL INTÈGKAL.
supérieure à la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris dans la série à double entrée
et la proposition énoncée est donc démontrée.
On en conclut que la relation obtenue subsiste quand le chemin d'intégration vient aboutir en un point z de la circonférence du cercle F.
577. Supposons maintenant que, pour 2r=:o, y/i — z^ soit pris égal à I et considérons l'identité
la quantité iz-\- \ji — z"^ ne s'annule pas; dès lors, on peut supposer que les fonctions y/i — ^-, log(t3+y/i — z-) sont déterminées le long du chemin d'intégration parleurs valeurs initiales -h I, o, puis par continuation, et l'on aura
578. Il est aisé de voir, en partant des propriétés de la fonction sin^, que le premier membre de l'égalité précédente peut aussi être défini comme il suit : Considérons un plan dans lequel on ait pratiqué deux coupures allant, l'une de + i à -f-oo par l'axe des quantités positives, l'autre de — i à — oo par l'axe des quantités négatives; arc sin;; peut être regardé comme une fonction holomorphe dans ce plan, fonction dont la partie réelle est comprise entre — ^ - et -! — et qui vérifie identiquement l'équation
sin(arc sin^) — z, dz
le cht
La fonction / — coïncide avec arcsin:; tant qi
d'intégration n'a pas traversé de coupures; elle se change en
— — arcsin^ quand on traverse la coupure de droite et en
— TT — arc sinz quand on traverse la coupure de gauche, de sorte
(ju'en traversant les coupures dans un ordre convenable, on obtient telle détermination que l'on voudra de h fonction inverse de sin^.
La première question posée au début est résolue quand le chemin d'intégration ne sort pas du cercle T.
579. Nous allons jnainlenant établir la proposition suivante : (Quelles que soient les déterminations attribuées au logarithme et au radical y/i — :;-, l'expression
(GXXVII.) u= 4À(/.-2)log(/;; + v/'"-^2)-/7^=^22a,,/t2''(j'„(^)
satisfait à l'équation z = sn u.
En elTet, modifier la détermination du logarithme revient à augmenter u de la quantité
- X ( k- ) 2 Ai 1 71 = 4 rt K,
où n désigne un entier. De même, changer y'i — z- en — y/i — z^ revient à changer log [iz -hy/ i — z-) en
(111 -i- \)tu — log {iz 4-/1 — ^^),
ce qui revient à changer a en (4/^-^-•^•)K — u, où n est un nombre entier.
L'équation (CXXVII,) définit une infinité de fonctions holomorphes de z dans le cercle F. Si, par exemple, on introduit dans ce cercle deux coupures rectilignes allant, l'une du point -+• i jusqu'à la circonférence deF parl'axe des quantités positives, l'autre du point — I à la circonférence de F parl'axe des quantités négatives, il est clair que, dans l'aire F' ainsi déduite du cercle F, les fonctions yi — z-, log(/^4-y/i — Z-) peuvent être définies comme des fonctions holomorphes de z, en regardant les valeurs de V''i — z- et de log {iz^\/t — z-) comme étant respectivement «'•gales à I et à o pour 5 = 0; la partie réelle de y 1 — z- sera alors toujours positive et la partie réelle de -. \og{tz -]- yf i — z-) sera
comprise entre — -et -j- -•
On peut d'ailleurs procéder tout autrement et définir d'une in- T. et M. — III. n
(inité de façons des aires limitées par un contour simple, situées à l'intérieur de F, dans lesquelles la fonction définie par le second membre de l'équation (CXXVll,) soit holomorphe.
Si l'on considère une telle fonction ^F(5), on aura, pouichaque point de la région où elle est définie
sn[V(^)] = z et, par conséquent,
dW(z) I ^ I
dz Sn'W{z) y/i 22^i/,2-'2'
il suffit de prendre la dérivée de l'expression de ^{z) ou, plutôt, de se reporter à la façon même dont cette expression a été obtenue, pour reconnaître que l'on a
dW(z) I
dz ^iI 22y/i/,-2-2'
en attribuant au radical y^i — z- la môme détermination que dans W(2).
Si l'on considère maintenant une courbe quelconque qui, toutefois, ne passe pas par les points critiques et ne sorte pas de T, les deux membres de l'équation précédente pourront être regardés comme des fonctions continues de z^ régulières en tous les points de la courbe, de sorte que, en désignant par ^o et z les extrémités de cette courbe, on aura l'égalité
on a ainsi, sous une forme plus générale, la solution de la première question, tant que le chemin d'intégration ne sort pas de T. On voit aussi que, si l'on se donne les valeurs concordantes :;, z' de snw, sn'w et si l'on prend dans ^(^) pour la déterminalion de y/i — s-,
on aura snu = z, sn' n =- 5', en regardant 11 comme égal à ^{z). ijA seconde question est donc aussi résolue quand le point :; n'est |)as en dehors de T.
INVERSION DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. - ^Sg
580. Restons toujours dans le cas où l'on a |A'I <; i- JNous avons supposé que le chemin d'intégration ne sortait pas <lu cercle (F) ; nous allons supposer maintenant qu'il ne sort pas (le la région (y) extérieure au cercle de rayon un décrit de o comme centre; les deux régions (T) et (y) ont une région commune, en forme de couronne, dans laquelle conviennent, et le développement que nous venons d'étudier et celui que nous allons établir.
Partons des relations (LXXlïo)
/ •^J■|^ ' 1/ -tris sn'tf
sn ( K ~ t K ) — -, , sn ( M -i- i K ) — — - — — - .
Soient ::, :;' des valeurs concordantes données de sn^^, sn'w, et dont la première est, en valeur absolue, supérieure ou égale à i.
Puisque la valeur absolue de A- 7- = - est, au plus, égale à 1, on
pourra, en appliquant la règle précédente, trouver une valeur de if -h iK' qui satisfasse aux équations
^ kz kz^
• l en déduire la valeur de a qui satisfait aux équations sn a = 2, sn'« = ;;',
(GXXVII,)
-\/'-xi2:-^"'fî"(i)-
.a valeur de 1 1 — p^ est déterminée par l'égalité
dans laquelle on suppose positive la partie réelle de 4 / i — — • La seconde question est résolue.
26o CALCUL INTÉGRAL.
581. Pour ce qui est de la première, regardons z comme un point variable de la région (y); la dérivée du second membre de l'équation (CXXVir^) est
~ kF^ ~
où l'on suppose que {/ i ■ ^ est la fonclion de ^, holomorphe
dans (y), dont la partie réelle est positive. Quant à t / i — Tf-i' sa détermination est la même que dans l'équation (CXXVII2). Si donc on considère une courbe ne pénétrant pas en dehors de (y) ; si l'on désigne par ^, (s) une des déterminations du second membre de l'équation (CXXVII2) qui soit continue le long de cette courbe et qui soit régulière en tous ses points, on aura
en supposant que l'intégration ait lieu le long de la courbe considérée : or, le second membre n'est autre chose que (')
dz
si l'on suppose que l'on ait le long de la courbe
On sait donc effecluer les intégrales de la forme
le long d'une courbe déterminée entre ^0 et ^, pourvu que celte courbe ne sorte pas, soit de la région F, soit de la région v; si la courbe a des points dans les deux régions, on la séparera en parties dont chacune soit située tout entière dans l'une des régions, et l'on fera la somme de ces intégrales partielles.
( ' ) Il est à peine utile de faire observer qu'il n'y a pas lieu de tenir compte ici de la restriction imposée à la définition de V' — A-^^- au début du paragraphe.
582. Les séries que nous avons obtenues ne convergent que si l'on a [ A" j <; I , et elles ne convergent rapidement que si la quantité I k\ est très petite; nous allons en déduire, au moyen d'une double transformation de Landen, d'autres séries qui, d'une part, sont très bien appropriées au calcul numérique et qui, d'autre pari, conduisent facilement à la détermination d'une solution des équations j3M= P, p' u = P', où Pet P' sont des nombres donnés concordants, c'est-à-dire liés par-la relation P'- = /^P^ — g^P — ga-
Nous commencerons , en supposant | /r [ < i , \ /xz\'^i, par transformer les résultats du n° 580, en y changeant u en K — n^
. , , cnu d cnu -r^ ^ ,
ce qui chanc;e snu. sn u en -; — -, — ,- -^ Ji,n tenant compte de
^ & 5 dnu du dnu '■
•) K (^e que \ (A-) est égal à ^— et de ce que l'on a, en négligeant les
multiples de 2 7r/,
la formule fondamentale (CXXVII)) devient
u =-^ ^-^ log(z -H i v/r-TTO -^ v/i'^=^^2 ««^"'"^«(^)'
et la valeur de u que l'on vient d'écrire satisfait, quelles que soient les déterminations du logarithme et du radical y/i — z-, aux deux équations
dnw du dnu
où la partie réelle de y/ 1 — k^z- est positive.
Dans les égalités qui précèdent, regardons pour un moment Acomme une fonction de t, et en m, dna comme des fonctions de u
et de t; changeons partout -: en 4":, puis u en ^ (i -f-y/'Â')"'; en
observant que, en vertu des équations (XL, ,2), (LXXIy^g) et de la relation [a) du n"531, on a
en Y^i^-^Sp^YU^^dny^^k'
T. et M. III.
dn[^(i--v//7)M4.] '"
afia CALCUL INTÉGRAL.
OÙ b est mis à la place de \J k{4^) = —, nous arrivons aux
conclusions suivantes.
Supposons toujours | è | << i et posons, pour abréger,
^ dnv -^ \/k'
pourvu que l'on ait [ 6-;i | ^i, on satisfera aux équations
oiif'Çv) désigne la dérivée dey"(ç^) par rapport à p et où la partie réelle de ^'i — ù' z'^ est positive, en prenant ç = F (z). Il est bien entendu que, dans l'expression de F(-s), \/i — -s- a la même signification que dans la seconde des équations à vérifier.
583. Pourvu que l'on ait toujours \b-z\'$i, il est clair que la même conclusion subsisterait si, dans les égalités précédentes, t'était remplacé par v — 2«K'; d'ailleurs le changement de v en ç — 2iK' change dnt^ en — dn^' et ^/(w-) en 7-.- — ; donc, pourvu (jue l'on ait | b^z\ 5; i, on satisfera aux équations
en prenant v~ 2iK'= F(:3); il est bien entendu que, dans l'exj)ression de F(^), y/i — -z'-^ a le même sens que dans la seconde équation à vérifier que nous venons d'écrire. Or, si l'on se donne daç^ l'une des quantités b/(v), j—r — est inférieure ou égale à 1,
en valeur absolue; si donc on se donne pour dnç^ et dn'f deux valeurs concordantes, on pourra toujours calculer i^ au mojen d'un développement 'F(z) dans lequel on a \bz'.'£i, donc \b-z\<Ci- Dans la pratique, où c'est x qui est donné, si l'on prend t= — , b devient la quantité que nous avons désignée dans le Chapitre précédent par [3, quantité dont la valeur absolue
est toujours plus petite que i et peut même être rendue plus petite que —', la série F(;;) est alors rapidement convergente.
581. Le théorème final du n" 382 peut être énoncé sous une forme légèrement diflférente qui va nous être commode.
Si Ton se donne un nombre Çq tel que l'on ait \b-f{çQ)\<i, et que l'on remplace dans F(-;), z par /(^o) et y/i-— ^ ou V/T^=7^) par ^-:^%a^^^, où .^^H;^/^) a sa
partie réelle positive, F(c) prendra une valeur v qui, d'après l'énoncé de ce théorème, satisfera aux équations
dans la seconde desquelles il est bien entendu que y/'i — /'('^'o) a ïe même sens que dans F(5); mais le second membre de cette même équation, en vertu de la détermination attribuée à y i — f'iya)-) n'est
1 — * b f (Vq) ■^ . (.
autre cliose que - , — ; donc on satislera aux équations
en prenant v = F(^), où z doit être remplacé par/(ç'o) et y i — z'^ par , -^ __-^-'
585. Nous transformerons ce dernier énoncé en passant des fonctions su, en, dn à la fonction p par les formules (LXVII). On trouve tout d'abord, en posant p = w y/e» — es,
aAH^^snt^cnp k^ /e, — e7[i " b^f^(v)]p' "■ ,
Si maintenant on pose ç'o -^ Wov'e» — <?3, on arrive au résultat suivant :
Si l'on se donne le nombre Uo, on satisfait aux équations
pu =-- puo, p'u = p'uo,
en posant u = -^ ^F(:;^, où z et y i — -c- sont déterminés
:i64 CALCUL INTÉGRAL.
par les formules
l ^?3 Mo — A' * ^23 "0 4- V^^'
/-- — (i — A-') y/ei — 63 [i — 6^-s^] — P'"o
2^1 — è^^2 (P"o-e2)(p«o — es)
à condition que l'on ait | b'^z | 1 i •
586. Supposons maintenant que l'on se donne non pas Uo, mais bien les valeurs numériques concordantes P et P' de pii^el p'uo-he nombre Uo n'est déterminé par les valeurs P et P' qu'à un multiple prèsde aïo, et de 20)3; nous pouvons le supposer tel que y/ A' ^^^(wo) ait sa partie réelle positive, puisque, si cette condition n'est pas vérifiée pour Uq , elle le sera certainement pour «0 + 20)3 [puisque ^32(^0 -\- ^^3) ^^ — i32(wo)]- Pour cette valeur de Wq,
^32(^^0) sera donné par la détermination de t qui, multipliée
y P — ^2 par y/ A', a sa partie réelle positive. Dans ces conditions, on aura
\bz\$i [el a fortiori \b- z\<C\)^ puisque le point ^'k' ■ !
est plus voisin du point 1 que du point — 1. Nous pouvons donc énoncer la proposition finale que voici :
Si V on se donne deMX nombres concordanlsV et^\on satisfera
aux équations pM =^ P, js'w =: P', en posant u = - . ■ F(:;),
V^ei —es c'est-à-dire
où z et \l \ — z'^ sont déterminés par les formules
VP-
-ez
-ej
VFI
-es
Rappelons encore une fois que les parties réelles de y/'i — b* z'^ et
de i/fiT —z:^^^=: sont positives.
587. Dans la pratique, c'est la valeur de k-:=-x. que l'on donne et l'on peut supposer que x appartienne au plan (S) ; il est alors naturel de prendre, en conservant les notations du Chapitre précédent, T = -^ ; on a vu que l'on a alors
