PRÉFACE
L'Ouvrage que nous offrons ici au public a pour but de combler une lacune singulière.
Il n'existe, en effet, aucun Traité moderne, français, delà Théorie des nombres.
Et cependant, tout le monde sait l'extrême importance de cette Théorie, base de toutes les Mathématiques, et dont il faut absolument connaître les principaux résultats pour entreprendre une recherche d'ordre tant soit peu élevé.
Qu'il nous suffise de dire qu'en Allemagne il existe plusieurs Traités de la Théorie des nombres : l'Ouvrage de Lejeune-Dirichlet, revu par Dedekind; celui de Tchébyscheff, traduit par Schapira ; l'Ouvrage plus récent de M. Bachmann, etc.
La première difficulté qu'éprouve l'auteur d'une Théorie des nombres, c'est de délimiter son sujet. Qu'est-ce, en effet, que la Théorie des nombres?
Il semble d'abord que ce soit tout simplement la Théorie des nombres entiers. Mais cette définition est trop vaste. En effet, la notion de nombre entier suffit pour donner la définition des nombres fractionnaires et incommensurables. D'autre part, le nombre servant de base à toute l'Analyse, et même à la Géométrie et à la Mécanique rationnelle, qui ne sont, à un certain point de vue, que des représentations conformes de l'espace et du temps sur le nombre, il résulterait de la définition précédente, que la Théorie des nombres comprendrait toutes les Mathématiques. Il faut donc se res-
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treindre et dire que la Théorie des nombres est la Théorie des nombres entiers, en tant seulement qu'ils sont entiers.
Mais il est évident alors que la Théorie des nombres fractionnaires ou incommensurables, en tant qu'ils sont fractionnaires ou incommensurables, est étroitement liée à la précédente. En fait, il est pratiquement impossible d'étudier l'une de ces Théories indépendamment des deux autres. Par exemple, les problèmes d'Analyse indéterminée du premier degré, problèmes dans lesquels les données et les inconnues sont des nombres entiers, se traitent par le développement en fraction continue d'un nombre fractionnaire. Les problèmes d'Analyse indéterminée du second degré, dans lesquels les données et les inconnues sont aussi des nombres entiers, se traitent par le développement en fraction continue d'un nombre incommensurable.
En résumé, la Théorie des nombres étudie les propriétés des nombres, en tant que ces nombres sont entiers, fractionnaires ou incommensurables; elle cherche à distinguer ces nombres, à les classer, à étudier leurs propriétés particulières; mais les propriétés qui appartiennent à tous les nombres, par exemple celles qui constituent le calcul algébrique et toutes ses conséquences, échappent à la Théorie des nombres.
Notre Ouvrage contient d'abord les matières suivantes : Premières propriétés des nombres entiers; Nombres fractionnaires; Fractions continues; Congruences; Restes quadratiques; Nombres incommensurables; Classification des nombres incommensurables ; Formes quadratiques binaires; Analyse indéterminée du premier et du second degré.
Il contient, de plus, sous forme de Notes, l'exposé de quelques questions particulièrement importantes ou intéressantes, et qui ne rentrent point dans le cadre précédent.
Parmi les principales, citons : Compléments à la Théorie des nombres premiers; Décomposition des grands nombres
