Le raisonnement précédent montre que
Les diviseurs communs à deux nombres sont les diiuseurs de leur plus grand commun diviseur,
29. Nombres premiers entre eux, — On dit que deux nombres sont premiers entre eux, lorsqu'ils n'ont pas d'autre diviseur commun que l'unité.
On obtient facilement des nombres premiers entre eux de la façon suivante. Remarquons d'abord que :
Lorsqu' on multiplie deux nombres par un troisième, le reste de leur division est multiplié par ce troisième.
Car soit
a = bq -\- r,
on en
déduit
am = {ùm)q -{- rm
Or
donc
rm < bm.
Donc l'égalité (7) montre que rm est le reste de la division de am par bm.
DIVISIBILITÉ. DIVISEURS COMMUNS. l3
11 résulte iromédiatemeot de là que, inversement :
Lorsqu^on divise deux nombres par un dii^iseur commun, le reste de leur division est divisé par ce diviseur commun.
Ceci posé, considérons la suite des divisions qui donnent )<' plus grand commun diviseur de deux nombres a et 6. Si Ton multiplie ou divise ces deux nombres par un troisième, les restes de toutes les divisions successives sont multipliés ou divisés par ce même nombre. Or le plus grand commun diviseur est Tun de ces restes. On peut donc dire que :
Lorsqiion multiplie ou divise deux nombres par un troisième, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce troisième.
En particulier :
Lorsqu'on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients obtenus sont premiers entre eux.
Telle est la façon, que nous avons annoncée plus haut, d'obtenir des nombres premiers entre eux.
30. Comme application de ce qui précède, démontrons le théorème suivant qui est d'une extrême importance :
Quand un nombre divise un produit de deux facteurs, et qu'il est premier avec l'un d'eux^ il divise Vautre.
Soit m qui divise ab et qui est premier avec a. Le plus grand commun diviseur de m et a est égal à i. Donc le plus grand commun diviseur de mb et ab est égal à b. Mais m divise évidemment mb^ il divise aussi ab\ donc il divise b.
