NUMÉRATION
Dans chaque cas, Topération qui consiste à trouver c et r s'appelle extraction de la racine m'^'"^ de^sh Dans le cas où r = o, on dit que la racine s'extrait exactement; c est dit la racine m'*"* exacte de a et se désigne par y/a.
Dans le cas où r n'est pas nul, r s'appelle le reste, c la racine
^ièmc (Je a à une unité près, et se désigne par E( v^^).
fL 21. Numération, — La numération est Vart de nommer et d'écrire les nombres. Les deux numérations (écrite et parlée) reposent sur le théorème suivant :
Étant donné un nombre b {appelé base), soit N un nombre quelconque, il existe une façon et une seule de mettre N sous la forme
«0? «M - "^ ^n é^^^^ d^s nombres plus petits que b et dont certains peuvent être nuls.
En effet, l'égalité (6) peut s'écrire
a^ étant plus petit que b, cette égalité montre que a,^ devra être le reste de la division de N par b. Réciproquement, divisons N par b. Soit
Si l'on parvient à metlre N' sous la forme
N sera mis sous la forme (6).
On a donc ramené la question relative à N à la même question relative au nombre plus petit N'.
a^, sera de même le reste de la division de N' par b; et ainsi de suite.
De proche en proche on détermine tous les nombres a,,, a„,, ««-,, etc.
L'opération se termine d'ailleurs, car les nombres N, N', N''^, . . .
lO CHAP. I. — RAPPEL DES THÉORIES LES PLUS ÉLÉMENTAIRES.
allant en diminuant, on finit par tomber sur un nombre plus petit que b.
22. Ainsi à un nombre N correspond une suite déterminée de coefficients a^^a^^ , . , ^ an ei réciproquement.
Ces coefficients sont certains des b nombres o, i, . . ., i — i. Représentons ces b nombres par b signes différents^ et le nombre N sera représenté par la suite des signes qui représentent les coefficients «o? ct\^ • • • ? ««•
La numération ordinairement employée est la numération à base lo ou décimale. Les signes employés ont été donnés au n®2.
23. Quant à la numération parlée, elle repose sur le même principe. Il suffit de danner des noms aux nombres o, i , . . . , 6 — i , pour pouvoir, en combinant ces noms, nommer tous les nombres; mais, ce principe une fois admis, la numération parlée est plutôt une aflaire de grammaire que de Mathématiques.
A partir de maintenant, donner un nombre voudra dire : donner le moyen d^écrire ce nombre dans un certain système de numération ; décimale, par exemple.
24. Opérations arithmétiques, — Les opérations arithmétiques, addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction de racines, peuvent alors être définies de la façon suivante, l'addition par exemple : Des nombres étant écrits dans le système décimal, écrire leur somme dans le système décimal, et de même pour les autres opérations.
Quant aux règles pratiques de ces opérations, elles appartiennent à l'enseignement le plus élémentaire et nous ne les développerons pas.
§ II. — Divisibilité. Diviseurs communs.
25. Multiples et diviseurs. — Comme nous l'avons déjà dit, on appelle multiple d'un nombre le produit de ce nombre par un autre. Ainsi ma est un multiple de a. Inversement a est dit diviseur de ma.
Tout diviseur de plusieurs nombres est un diviseur de leur somme.
DIVISIBILITÉ. DIVISEURS COMMUNS. Il
Car si
îl en résulte que
Comme cas particulier, tout diviseur cVun nombre est diviseur de ses multiples.
On voit de même que tout diviseur de deux nombres est un diviseur de leur différence.
26. Théorie du plus grand commun diviseur. — Plusieurs nombres ont des diviseurs communs, car ils en ont au moins un qui est l'unité. Ils peuvent en avoir d'autres; en tout cas, ils en ont un plus grand que tous les autres, et qu'on appelle leur plus grand commun diviseur.
On ramène d'ailleurs la recherche de tous les diviseurs communs à plusieurs nombres à celle des diviseurs de leur plus grand commun diviseur.
27. Occupons-nous d'abord de deux nombres. La recherche de leur plus grand commun diviseur repose sur la possibilité, étant donnés deux nombres a et 6, de trouver un nombre q et un nombre /* plus petit que 6, satisfaisant à l'égalité (3).
Il est bien évident en effet, que, si a est divisible par 6, les diviseurs communs à a et à 6 ne sont autres que les diviseurs de h et que le plus grand commun diviseur est b lui-même.
Si, au contraire, a n'est pas divisible par 6, les diviseurs communs à ces deux nombres, divisant a et 6y, divisent leur différence r. Réciproquement, les diviseurs communs à 6 et /*, divisant bq et r, divisent leur somme a.
On en conclut que les diviseurs communs à a et 6 sont les mêmes que les diviseurs communs à 6 et r.
On déduit de là un procédé pour déterminer par des divisions successives le plus grand commun diviseur de deux nombres.
Soient a et 6 ces deux nombres. Divisons a par 6, puis divisons b par le reste de cette division et ainsi de suite. On a les
égalités
a = bq -h /'i,
r, = ri^,-+- Ta,
f^n-t — f't^-iqn-l -+■ f'nj
Les restes Ti, r2, ... allant en diminuant, le dernier est nul. Or les diviseurs communs à a et 6 sont les mêmes que les diviseurs communs à 6 et r^ qui ^ont les mêmes que ceux communs à /•« et r, et ainsi de suite.
En définitive, les diviseurs communs à a et 6 ne sont autres que les diviseurs de r^, qui est lui-même le plus grand commun diviseur de a et de 6.
