OT B V

La substitution la substitut

s'appelle substitution inverse de

titution (^ ^V

285. Théorème. — Le produit des déterminants de deux substitutions inverses est égal à i .

C'est-à-dire que

C*estune identité extrêmement facile à vérifier, étant donné que A = ao — py.

ao8 CHAt". ru — les FDVMIS QtA&RJlTlQtJei BIÎf4IRE5,

286* Siibsiîtuli'ons de délerminani égal à ± i . SubÊtilaliùns modulaires. — Tout ce que nous venons de dire jusqu'à niaintenant s'applique quels que soient les nombres a, p, y, S; maïs il est bien t:lair que, dans la tJiéorîe des nombres, on ne considère

que des substitutions u coefficients entiers.

On n^aura donc à considérer la substitution inverse |

\^ j qu à condilion que ^* 2» ;^' ^ soient dc3

nombres entiers. Il résulte de là que ao et py doivent t^tre divisibles par 1^. Donc oto — py, c'est-à-dire A, doit lui-même être divisible par A-, ce qui exige que A = ± i (le cas de A = o étani écarlê).

Ainsi nous n'aurons à considérer que des substitutions de déterminant égal à ± t .

Parmi ces substitutions nous aurons principalement à cousi* dérer les substitutions de déterminant t^gal à H- i . Nous les apjjcllerons substitutions modukures*

287, Puissances négatives d'une subsliiuiion. — Par définition, la puissance — i d'une substitution, c'est la substîtutioci inverse.

Quant à la puissance {— /?r'''"^) d^une substitution^ c^eslla puissance m*^"^ de la substitution inverse.

Le théorème du n^ 283 s'applique au\ puissances négatives*

288, Notations abrégées pour les substitutions. — M notiô arrivera souvent de désigner une substitution par une seule lettre cl de dire, par exemple la substitution A, la substitution B^ etc.

Le produit de plusieurs subsliluiions A, Bj C se désigne par ABC, la substitution à gauche étant celle que l'on effecîti^ ta première^ et ainsi de suite dans Tordre » Le produit de plusieurs substitutions dépendant de Tordre de ces substitutions, on n^a pas en général

ABC = OAB.

La puissance ni"*^^^ d'une substitution A se désigne par A*",

NOTIONS SUR LES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS ENTIERS. aOQ

Cette notation s'applique encore lorsque m est négatif.

En particulier, la substitution inverse de la substitution A se désigne par A~*.

Le produit de deux substitutions dépendant en général de leur ordr^, quand on multiplie une substitution A par une substitution B, il faut indiquer si on la multiplie à droite ou à gauche. Le produit de A par B à droite est AB; le produit de A par B à gauche est BA.