DÉCOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS

44. liecherche du plus petit commun multiple de plusieurs nombres. — Plusieurs nombres ont des multiples communs, en, particulier leur produit et les multiples de ce produit; mais ils peuvent en avoir d'autres ; en tout cas, ils en ont un plus petit que tous les autres et qu'on appelle leur plus petit petit commun multiple.

Plusieurs nombres étant décomposés en facteurs premiers, pour qu'un nombre soit un multiple commun de ceux-là, il faut et il suffit que ce nombre contienne tous les facteurs premiers contenus dans ces nombres, chacun de ces facteurs avec un exposant au moins égal à celui qu'il a dans le nombre où il a le plus grand. Donc pour former le plus petit commun multiple des nombres proposés, il faut faire un produit avec tous les facteurs premiers contenus dans ces nombres, chacun d'eux étant pris avec un exposant égal à celui qu'il a dans le nombre où il aie plus grand.

exemple : Le plus petit commun multiple des nombres

est

Du procédé précédent on déduit facilement les conséquences suivantes :

4o. Les multiples communs à plusieurs nombres sont les multiples de leur plus petit commun multiple.

Lorsqu'on multiplie plusieurs nombres par un même nombre, leur plus petit commun multipte est multiplié par ce même nombre.

Inversement, si Von divise plusieurs nombres par un diviseur commun, leur plus petit commun multiple est divisé par ce diviseur.

Lorsque plusieurs nombres sont premiers entre eux deux à deux, leur plus petit commun multiple est égal à leur produit.

Le plus petit commun multiple de deux nombres, multiplié par leur plus grand commun diviseur, donne un produit égal au produit de ces deux nombres.

Cette dernière propriété permet de calculer le plus petit commun multiple de deux nombres, sans les décomposer en facteurs premiers. Cette remarque est importante dans le cas où les nombres proposés sont de grands nombres, puisqu^il se peut alors que la recherche de leurs facteurs premiers soit impraticable.

Quant à la première propriété, elle permet de calculer le plus petit commun multiple de m nombres, de proche en proche, comme on l'a expliqué au n" 31, pour le plus grand commun diviseur.

§ IV. — Nombres fractionnaires. Opérations sur ces nombres.

46. L'idée de fraction s'est introduite dans la science par la mesure des grandeurs. Mais voulant rester dans l'analyse pure, et en particulier dans la théorie des nombres, nous définirons la fraction de la façon suivante :

On appelle fraction r ensemble de deux nombres entiers, Vun appelé numérateur, et r autre dénominateur.

Le numérateur et le dénominateur d'une fraction s'appellent ses termes.

Une fraction s'écrit en plaçant le numérateur au-dessus du dénominateur et les séparant par un trait.