XI— 6X
4X»— 8X — 8 Xî-'iX-N!
Il faut choisir X de façon que
X«— 6X — 2-^0 (mod 16)
et
CRAI". VI. — Lli FOIIMES QlADftATfOLKS lINAtlCfi.
Maïs CL'S cong^ruenccs sonl impossibles, donc réqtialiotî proposée esl impossible.
Exemple /L — Soil à résoudre réquation
x^ ^ fy^y -h 9J'*-- 4*^ ^ ^7 — n » ~ ^'
Il fyut d'abord muUiplier par a pour rendre le coefficienl de jk
|>air,
'AX*-^ i2xy -^ i8j*" Bx-^ laj^ — aa-* = o.
Les formules (io4) donnenl
1 ^~ —lis
et
(mode»),
Jt faut choisir X de façon que
IX*^ it>X — i3:ia^o X»" 8X^ 444 ^û , Lci solutions de la premit^re sonl congrues à
lo, —11, -?/», I t (maû 68).
Civiles de la seconde sonl les mômes.
Il faul donc dans les formules (io5) poser
X^ — iiî'^68/, X = :ii ^ m f,
cv qui donne succcssivenienl
i jc :^ 'xo4i*-i-i3o/ H- i, ( *F =z ^o4'* — 6af — 15,
ou ou ou
X^— 681'" ^it^l, fy=— G8lî^3ïl— J, x= ao4r*H-i4aH-5. ) ^= 3o4f*— 74r — 13,
f (HanL un nombre entier quelconque*
RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORUES LmÉAIRES. 299
369. Pkorlème. — Pour quelles valeurs de x le trinôme ax^-^bx -{- c^ est- il un carré parfait ?
Celte question revient à résoudre l'équation indéterminée ax*-h bx -h c = j^',
ce qui se fera par la méthode précédente.
Suivant les valeurs de a, 6, r, le problème peut être possible ou impossible. Lorsque le coefficient a est positif ou nul, le problème peut avoir un nombre indéfini de solutions. Lorsque le coefficient a est négatif, le problème ne peut avoir qu'un nombre limité de solutions.
§ VIII. — Réduction des formes quadratiques à des formes
linéaires.
370. La question de la représentation des nombres par les formes quadratiques peut être regardée d'un autre point de vue que celui du § VI de ce Chapitre. Dans ce paragraphe, nous nous étions proposé, étant donnée une certaine forme, et étant donné lin nombre, voir si le nombre est représentable par la forme, et trouver la représentation. Mais on peut se proposer le problème suivant : Étant donnée une forme, quelle est l'expression générale des nombres qui sont représentables par cette forme?
Nous bornant à des exemples particuliers, nous allons voir que Jes nombres représentables par une forme quadratique sont, à de certaines conditions, représentables aussi par certaines formes linéaires. Ce résultat justifie le titre de ce paragraphe.
371. Décomposition des nombres en somme de deux carrés, — Décomposer un nombre m en une somme de deux carrés, c'est trouver deux nombres x^y tels que
C'est donc voir si le nombre m est représenlable par la forme (i,o, i).
Examinons d'abord le cas particulier où m est impair, et où ron demande pour j: et ^ des nombres premiers entre eux;
CHAP* VL — LES FOBIES QCAIHATIQLE& MNiliSr.
iHitremenL dit, Ton cherche les représentations propret dû' nombre m par la forme (i , o, i).
Pour que la nombre impair m soÎL représentable par la forme x'^-^-y'^^ il faut qtie le discriminant changé desij;rie de forme dcU forme, cVst-à-dire — i ^ soit reste quadratique de m> Lp notnlire — « doit donc aussi être reste quadratique de tous les facteurs prcmi**rî de m.
Il faut donc tjue (oits les factears premiers ci** m mient de i^i forme 4/i -h 1*
tléciproqttemenl y supposons cette condition remplie. La congruencc
OoOi
( mod m )
est alors possible, et a 'àV- solutions incongrues^ jjl étant le îioinbfe des facteurs premiers dilTcrenls de m (n" 169, Vli). Soit n une solution j et soit p le nombre tel que
?ï'^ fttp — — t.
Pour qu'à cette solution corresponde une représentation propre <lu nombre m par la forme (t ^ o, i), il suffit que cette forme elU forme {m^ 'h p) 'soient de même classe. Mais ces deux fonnes ofil le même discriminant t, et nous avons vu (n'* 32^1) qu'il n\ î» <prune classe de formes de discriminant u Donc ces deux former sont de même classe. Donc à chaque soltition de lacongrucnce(iu6) correspond autant de décomposlhons du nondire m en une somme <ie deux ctirrés^ qu'il y a de substitutions modulaires trarjsfonriani la forme (m, n,p) en la forme (1, o, i) (a* 3aS). Or ce nombre est égal au nombre de substitutions modulaires Iran^forniaRl 1^ forme (1 ^ o, 1) eu elle-même (n" 31U). Enlîn ce dernier nombre est égal 4 4 (n'* 318). Il j a donc 4*^^ représentations du lîonikrc-
Remarquons d'ailleurs que chaque décomposition
en donne immédiatement sept autres
D'ailleurs deux de ces décom(josi lions ne sont pas rdeotic|ties excepté si m = 1. En effet, pour que deux de ces décomposiiions
RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3oi
soient identiques, il faut que l'un des nombres x ou y soit nul, ou bien que ces deux nombres soient égaux. Si Fun des nombres j", y est nul, comme ces nombres sont d'ailleurs premiers entre eux, il faut que celui qui n'est pas nul soit égal à i . Alors /n = i . Si^ et ^ sont égaux, pour qu'ils soient premiers entre eux, il faudrait que x ^\, y fussent égaux à i; alors m serait égal à 2, cas supposé écarté, puisque m est impair.
Donc, le cas de m = i écarlé, si Ton ne considère pas les huit représentations trouvées plus haut comme distinctes, le nombre 4.2I* de représentations doit être divisé par 8, ce qui donne ^H-"*, et l'on arrive finalement au résultat suivant :
Tout nombre impair m différent de ^ ^ et dont tous les facteurs premiers sont de la forme 4A -+- 1, est décomposable en une somme de deux carrés, de 2t*~* façons en désignant par [jl le nombre des facteurs premiers différents contenus dans m.
Quant au nombre i il est décomposable d'une seule façon en 0^4-1^.
Exemples :
(325 est encore décomposable en 10 -]- i5 , mais les nombres u» et 1 5 ne sont pas premiers entre eux; cette sorte de décomposition
va être examinée tout à l'heure.)
Comme cas particulier, on a ce théorème, dû à Fermât et démontré par Euler :
Tout nombre premier de la forme 4 A 4- i est décomposable d'une seule façon en une somme de deux carrés.
372. Passons maintenant à la représentation des nombres /?a// .s, et nous examinerons encore, en premier lieu, la représentation , impropre.
Soient 2m le nombre proposé et
une décomposition de 2m en une somme de deux carrés.
X et y nt peuvent être pairs tous les deux, puisque, par hj'poihèse, ils sont premiers entre eux.
302 CHAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES
Il ne se peul pas non plus que l^un de ces nombres soit pair et Tautre impair, puisque alors la somme de leurs carrés ne pourrait être paire.
Donc X et y sont impairs tous les deux.
Soient
On a alors
d'où
m = '>.x'^ -H i>y^ -r- 2x' -H zy -^ I .
Une première conséquence est que m est impair. Ainsi, un nombre pair ne peut être décomposé en une somme de deux carrés premiers entre eux, que si ce nombre est simplement pair.
Ensuite on peut écrire
D'ailleurs, x' -{- y -\- i et x^ — y sont premiers entre eux, car s'ils avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait leur somme 2j;'-hi et leur différence iy' -\' i; ce qui est impossible, puisque ix' -\- \ ei 2j^+ i sont premiers entre eux. Donc à toute décomposition propre de 2/71, correspond une décomposition propre de m.
Réciproquement, soit
une décomposition propre de m, on a
X et Y étant premiers entre eux, X -|- Y et X — Y le sont aussi.
Donc aussi, à toute décomposition propre de m, en correspoDd une de im,
H résulte de là que le nombre de décompositions propres de im est égal au nombre de décompositions propres de m.
Exemple :
