H 17 =23 -MI
BÉDUGTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3o3
373. Occupons-nous enfin des décompositions impropres. Soient m un nombre et
une décomposition de m en une somme de carrés de deux nombres Sx', 5j^, ajant 8 comme plus grand commun diviseur. On voit que m est divisible par S', et que l'on a
x' et j^ étant premiers entre eux il en résulte qu'à la décomposition supposée de m, correspond une décomposition propre
de 7q-« Réciproquement, à toute décomposition propre de t->
correspond une décomposition de m en une somme de carrés de deux nombres ajant S comme plus grand commun diviseur.
On peut supposer, dans ce qui précède, S ^^ i, ce qui correspond aux décompositions propres.
En résumé, pour trousser toutes les décompositions propres ou impropres de m, il faut diviser m par tous les carrés par lesquels il est divisible, i compris; chercher les décompositions propres du quotient et remultiplier les deux termes de chaque décomposition par le carré qui a servi de diviseur.
Exemple /. — Soit le nombre
considéré au n** 371. Outre i, ce nombre admet encore 5^ comme
diviseur carré.
Le quotient de 325 par 5* est i3 qui se décompose proprement
de la façon suivante
On en déduit
ou
325 — lo -h i5 ,
comme seule décomposition impropre de 325.
Exemple II. — Soit le nombre
3o4 CnAP. YI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.
Ce nombre est divisible par les carrés
Les quotients sont
Le premier et le troisième de ces quotients ne sont pas représentables proprement, parce qu'ils contiennent un facteur premier 3 qui n'est pas congru à i (mod4). Mais le second et le troisième quotient sont représentables proprement. On a
5 = lS-}-2«.
On en déduit les trois représentations suivantes du nombre 7605, toutes trois impropres :
374. On peut remarquer que les considérations précédentes, non seulement montrent de combien de façons un nombre est décomposable en une somme de deux carrés, mais permettent d'opérer la décomposition.
D'ailleurs, il pourra être plus simple d'opérer par tâtonnements.
Comme conséquence de ce qui précède, on a le iJiéorème suivant :
Si un nombre m est décomposable en une somme de deux carrés premiers entre eux, il en est de même de tout dimeur de m.
En effet, d'après l'hypothèse, ce nombre m ne peut être qu'un produit de facteurs premiers de la forme 4/«-f-i, ou le double d'un tel produit. Il en est évidemment de même de tout diviseur de ce nombre.
375. Décomposition d'un nombre en la somme dUin carré et du double d^ un carré, — Occupons-nous maintenant de la décomposition d'un nombre en la somme d'un carré et du double
RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3o5
d'un carré; c'esl-à-dire, proposoDS-nous, élanl donné m, de trouver les nombres a:, y tels que
Examinons d'abord le cas particulier où m est impair et où l'on demande pour x qV y des nombres premiers entre eux. Il faut d*abord que le discriminant changé de signe de la forme, c'està-dire — 2, soit reste quadratique de m, et, pour cela, il faut que tous les facteurs premiers de m soient de l'une des formes 8A 4- i ou 8A-h3.
Réciproquement, supposons cette condition remplie. La congruence
(107) /i*£:= — 9. (modm)
est alors possible et a 1^ solutions incongrues, [x étant le nombre des facteurs premiers différents de m (n** 169, VII). Soit n une solution et soit
n^-—mp = — '3L.
Pour qu'à celte solution corresponde une représentation propre du nombre m par la forme (i, o, 2), il suffit que cette forme et la forme (m, /i,/?) soient de même classe. Mais nous avons vu (n®323) qu'il n'y a qu'une niasse de formes de discriminant 2. Donc les deux formes (i, o, 2), (m, «,/?) sont de même classe.
De plus, à chaque solution de la congruence (107), correspondent autant de substitutions modulaires transformant la forme (m, /!,/?) en la forme (1, o, 2) qu'il y en a transformant la forme (i, o, 2) en elle-même, c'est-à-dire deux (n** 318) et, par suite, deux représentations propres du nombre par la forme. Il y a donc 2.2Ï* de ces représentations.
Remarquons d'ailleurs que chaque décomposition
771 = 2r*-+- iy* en donne immédiatement trois autres
ar«-+-2( — 7)', ( — a7)*-+-2^«, ( — ir)' H- a(— j^)*.
D'ailleurs, on voit immédiatement que deux de ces décompositions ne sont pas identiques, excepté si m = i.
3o6 CHAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.
Donc, ce cas écarté, si l'on ne considère pas les quatre représentations, donl on vient de parler, comme distinctes, le nombre 2.2V- des représentations doit être divisé par 4, ce qui donne al*"', et Ton a le résultat suivant :
Tout nombre impair m, différent de \ , et dont tous les /acteurs premiers sont de Vune des formes 8 A -h i o£/ 8 A 4- 3, est dé composai) le en la somme d^un carré et du double d^un carre de deux nombres premiers entre eux, de at**"* façons, en désignant par [JL le nombre des facteurs premiers différents contenus dans m.
Quant au nombre i, il est décomposable d'une seule façon :
Exemples :
363 = 3 xii'= 5»-H2.i3 =19 -4-2.i>
(363 est encore décomposable en 11 -^2.11 , mais c'est une
décomposition impropre.)
Comme cas particulier, on a ce théorème dû à Lagrange :
Tout nombre premier de Vune des formes SA H- i ou%h-\- ^ est décomposable dUine seule façon en une somme d'un carré et du double d' un carré,
376. Passons maintenant à la représentation impropre des nombres pairs.
Soient 2 m le nombre proposé, et
Il s'ensuit que x est pair; par suite y est impair, puisque x et isont premiers entre eux. Soit
On a alors d'où
2/n = {ix'Y-\- 2(2^'-+- 1)*,
RÉDUCTION DBS FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3o7
D'abord m est impair. Ainsi, un nombre pair ne peut être décomposé en la somme du carré et du double du carré de deux nombres pemiers entre eux y que s'il est simplement pair.
De plus
m = (ay-f- !)«-+- 2.. t'»,
x' et 2j^4-i sont premiers entre eux, puisque x et j^ Je sont. Donc à toute décomposition propre de 2 m correspond une décomposition propre de m.
Réciproquement, soit m = X^h- 2 Y^ une décomposition propre de m; X est impair, et l'on a
2 Y et X sont premiers entre eux, car X et Y le sont et X est impair.
Donc aussi à toute décomposition propre de m en correspond une de 2/n.
Il résulte de là que le nombre de décompositions propres de nni est égal au nombre de décompositions propres de m.
Exemples :
377. Occupons-nous enfin des décompositions impropres. On arrive comme au n° 373 à la conclusion suivante :
Pour trouver toutes les décompositions propres ou impropres de m, il faut diviser m par tous les carrés par lesquels il est divisible, i compris; chercher les décompositions propres du quotient et remultiplier les deux termes de chaque décomposition par le carré qui a servi de diviseur,
Exemple 1. — Soit le nombre 363 = 3 . 1 1 , considéré au u** 375,
Outre I, ce nombre admet encore 11 comme diviseur carré. Le
quotient — - = 3 se décompose proprement en
On en déduit
3o8 CHAP. TI. — LRS FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.
Exemple IL — Soit le nombre
Ce nombre est divisible par 1^, 5^, ly , (5. i7)2etlesquotienb
sont
5*. Il .17 , II. 17 , 5. II, II.
Le premier et le troisième quotient ne sont pas représentables. Quant aux deux autres ils donnent
ll = 3«-t-2.1«,
d'où l'on déduit
pour représentations du nombre proposé.
