Nous démontrerons d'abord les théorèmes suivants
I** La série (\) est convergente pour 5>i; a* elle est divergente pour 5^i; 3° lorsque s tend vers i par valeurs plus grandes que i, la somme de cette série croit indéfiniment.
En effet :
1° On peut grouper les termes de la série (i) de la façon suivante :
Si, dans chacun des groupes, Ton remplace chaque terme par le premier d'entre eux, qui est le plus grand, on obtient une progression géométrique
de raison — — r 2*-i
qui est convergente pour * > i et a pour somme •
La série (i) est donc, a fortiori, convergente pour s y i. Désignons, d'après Riemann. sa somme par ^(5), on a
2" Si, maintenant, l'on groupe les termes de la façon suivante :
et que, dans chaque groupe, Ton remplace chaque terme par le dernier d'entre eux qui est le plus petit, on obtient l'expression suivante :
la quantité entre crochets étant une progression géométrique de raison -j^> qui est divergente pour 5^ i. La série (i) est donc, a fortiori, divergente pour *î I.
3° Si s> I, la seconde transformation montre que
Si s tend vers i, le second membre de cette inégalité, et a fortiori le premier, croit indéfiniment.
400. Nous allons maintenant montrer comment on transforme ^(f ) en produit contenant tous les nombres premiers.
On a, pour «> i,
On en déduit
d'où, en soustrayant membres à membres,
les termes du second membre de cette égalité ne contenant plus au dénominateur que les nombres impairs.
Maintenant, de l'égalité (2), on déduit
et en retranchant membres à membres les égalités (2) et (3),
les termes du second membre ne contenant plus au dénominateur que les nombres non divisibles par 2 ni par 3.
En continuant ce procédé jusqu'au nombre premier/?, on obtient
les termes du second membre ne contenant plus, au dénominateur, que les nombres non divisibles par 2 ni par 3,... ni par/? (i).
401. Ceci suffit pour démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée. Supposons, en effet, pour un moment, qu'il n'y ait qu'un nombre limité de nombres premiers 1, 2, . . .,/>. L'égalité (4) deviendrait alors
(*) Rien d'ailleurs, dans le raisonnement précédent, n'oblige à supposer que les nombres premiers introduits dans le calcul aient été tous les nombres premiers croissants successifs. Soient Pj Çy . . .) rdes nombres premiers quelconques, différents deux à deux, on a
les termes du second membre ne contenant plus au dénominateur que des nombres non divisibles par p, ^, . . . , r.
OU
Mais cette égalité est impossible, car s tendant vers i, le premier membre croîtrait indéfiniment, tandis que le second tendrait vers
Donc la suite des nombres premiers est illimitée.
402. Reprenons l'égalité (4); supposons que /> avance indéOniraent danf la série des nombres premiers. Dans le second membre de Tégalité le terme
qui suit — est un terme qui, dans la série ^ ^> a un rang au moins égal
à /> -H 2. Donc le second membre tend vers i, quand p croît indéfiniment. On obtient donc à la limite
ou
le signe ^ s'étendant à tous les nombres entiers, et le signe I I à loos
les nombres premiers.
C'est ridentité d'Euler (»).
(') Voici une généralisation facile et qui mettra le lecteur sur la voie de la démonstration générale de Dirichlet :
Considérons la série
On démontre qu'elle est convergente pour j > o. Pour ces valeurs de i, elle représente une fonction de s que nous désignerons par xi^)- ^^ particulier
On démontre ensuite que
le nombre premier a n'entrant pas dans le produit, /?' désignant les nombres premiers de la forme ^h -hi, p' ceux de la forme 4^ — i. En comparant cette identité avec celle d'Euler, on arrive à démontrer qu'il y a
403. L'identité d*Euler, et les fonctions ((5) et analogues, ont donné naissance à de nombreux travaux, (i). Parmi les problèmes qui y sont traités, se trouvent ceux, relatifs à la façon dont les nombres premiers sont distribués dans la suite naturelle des nombres. Parmi les résultats obtenus se trouve celui-ci :
Quelque petit que soit le nombre positif k, le nombre des nombres premiers compris entre x et {i-\- k)x augmente indéfiniment avec x, démontré à peu prés en même temps par MM. Hadamard et de la Vallée- Poussin (•).
404. Signalons en passant un travail d'une autre nature dû à TchebyschefT et permettant de calculer une limite inférieure et une limite supérieure du
une infinité de nombres premiers de chacune des deux formes. (Pendant que nous sommes sur ce point, disons que le théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique a été étendu par lui-même aux nombres représentés par une forme quadratique.)
(') Contentons-nous d'indiquer les principaax :
Lejeune-Dirichlet, Abhandlungen der Berliner Akademie (1837) ou Vorlesungen iiber Zahlentheorie, pnblié par Dedekind (3* édition, Brunswick, 1881).
ScHLŒMiLCH, Zeitschrift fiir Mathematik und Physik (iS^g).
Ibid. (i858).
RiEMANN, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse (Monatsberichte der Berliner Akademie; novembre i85g, ou Œuvres complètes).
HuRwiTZ, Einige Eingeschaften der Dirichlet' schen Functionen 7 (—)--;
( Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. XXVII, i88a ).
A. PiLTZ, Ueber die ffàufigkeit der Primzahlen in arithm^tischen Progressionen und iiber verwandte Gesetze. (Dissertation). léna, A. Neuenhahn; 1884 •
LiPSGHiTZ, Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen lieihen {Journal de C relie, l. CV, 1889).
Hadamard, Étude sur les propriétés des fonctions entières, et en particulier d'une fonction considérée par Biemann {Journal de Liouville, 1893).
Gahen, Sur la fonction C(«) de Biemann, et sur des fonctions analogues {Annales de l'École Normale supérieure, 1894).
De la Vallée-Poussin, Becherches analytiques sur la théorie des nombres premiers {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XX, 2* partie, .896).
Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ^(5), etc. {Bulletin (le la Société Mathématique de France, t. XXIV; 1896).
Von Manqoldt, Journal fiir . die reine und angewandte Mathematik , t. CXIV.
(^) J'ai donné {Annales de l'École Normale supérieure, 1894) une démonstration non rigoureuse mais très simple. Cette démonstration deviendrait rigoureuse si l'on parvenait à démontrer ce théorème énoncé par Riemann : Les racines
imaginaires de la fonction ^{s) sont de la forme — htij t étant réel.
324 NOTB C.
nombre des nombres premiers compris entre deux nombres donnés aeib. Ce Travail se trouve reproduit dans le second Volume du Cours d'Algèbre supérieure de Serret.
