SUR LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION
386. La base b d'un système de numération (n° 21) est un nombre différent de 1, d'ailleurs absolument quelconque. Pour écrire les nombre?, dans le système de base 6, il faut employer, outre le zéro, b — i chiffres, représentant les b — i premiers nombres.
Les règles des opérations sont les mêmes, dans tous les systèmes de numération.
387. Une numération curieuse est la numération de base 2 ou binaire. Dans celte numération il n'est fait usage que de deux chiffres, o et 1.
Voici les premiers nombres écrits dans ce système :
un deux trois quatre cinq six sept
I 10 II 100 loi 110 III
huit neuf dix onze douze treize quatorze 1000 looi 1010 ton 1100 MOI 1110 ,
Dans ce système les opérations seraient plus simples que dans le système décimal; mais les nombres seraient beaucoup plus longs à écrire.
388. La possibilité d'écrire tout nombre dans le système binaire peut encore s'énoncer en disant que tout nombre est décomposable en une somme de puissances de 2 {la puissance d* exposant zéro comprise^ chaque puissance étant prise au plus une fois.
Exemple. — Le nombre quatorze qui s'écrit tiio se décompose en
389. On peiit donner à ce théorème une forme matérielle : une boîte de poids contenant les poids de \^\ 1^^, 4^» 8*"^, ..., (2«-*)«' peut servir à peser tous les corps (à i**" près) jusqu'à iH- 2 -h. . .-h 2"-^ grammes ou (2'» — i)S'^, les poids se plaçant lous dans le même plateau.
SLR LES DfPFÉRKNTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION. 817
390. Voici une autre réalisation matérielle : Inscrivons sur un carton, par ordre de grandeur, tous les nombres, depuis i jusqu'à 2" — 1, qui, étant écrits dans le système binaire, auraient pour dernier chiffre à droite un I (c'est-à-dire les nombres de la forme ih-hi) le premier de ces nombre est 1; sur un second carton, tous les nombres (depuis i jusqu'à 1^ — I) qui, étant écrits dans le système binaire, auraient pour avant-dernier chiffre un r (c'est-à-dire les nombres de Tune des formes 4^-+- a, 4^H-3), le premier de ces nombres est 2; sur un troisième carton, tous les nombres (depuis I jusqu'à 2" — 1) qui, étant écrits dans le système binaire, auraient pour avant-dernier chiffre à droite un i (c'est-à-dire les nombres de l'une des formes 4A-+-4ï4A-+-5,4^-'-Cr4^-f-7)»Ï6 premier de ces nombres est 2't ...; enfin, sur un n'^°* carton, tous les nombres (depuis i jusqu'à 2* — i) qui auraient pour /i*^* chiffre en partant de la droite un 1 (c'està-dire les nombres 2""-*, 2'»-*-hi, 2"-' -h 2, ..., 2"-* -h 2"-* — i), le premier de ces nombres est 2"-*.
Dans ces conditions, il est clair que tout nombre est égal à la somme des premiers nombres des cartons sur lesquels il est inscrit. Par exemple, le nombre 53, qui s'écrit iioioi, est inscrit sur le premier carton qui commence par i, sur le troisième qui commence par 4i sur le cinquième qui commence par 16, sur le sixième qui commence par 32. Or
391. La numération ternaire donne des résultats analogues. Quand un
nombre est écrit dans le système ternaire, lès chiffres ne sont que des i
ou des 2. Exemple :
Mais quand un chiffre est un 2, retranchons-lui 3, le chiffre devient égal à (—1) (nous l'écrirons T). Ajoutons d'ailleurs i au chiffre qui précède à gauche, le nombre n'aura p^s changé. De proche en proche, on arrivera à ce que tous les chiffres soient des i en valeur absolue. Ainsi le nombre précédent s'écrit successivement
10211201 = 10212T01 — 1022TT01 = I loTTToi.
Donc : tout nombre est décomposable en une somme de puissances de 3, diminuée d*une somme d'autres puissances de 3, chaque puissance n'étant prise qu'une fois.
Une boîte de poids, contenant les poids de i»*", 3«% 9^', ..., (3"-»)»% peut servir à peser tous les corps à i**" près, jusqu'à iH- 3 -h 3*. . .3'»-*
3«— I ou grammes, les poids se plaçant les uns dans un plateau, les autres
dans l'autre.
Il existe encore d'autres applications intéressantes. Voir Lucas, Récréations mathématiques (Paris, Gauthier-Villars).
3l8 NOTE B.
392. Nous avons démontré (n° 33) que la suite des nombres premiers est illimitée.
Ce théorème se trouve déjà dans Euclide.
Une généralisation très belle de ce théorème a été énoncée par Legendr** et démontrée par Lejeune-Dirichlet, à savoir : Toute progression arithmétique dans laquelle le premier terme et la raison sont premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers (^).
Voici des cas particuliers de ce théorème :
393. // existe une infinité de nombres premiers de la forme 4A — i. Autrement dit, soit p un tel nombre, il en existe un plus grand. En efifet, faisons le produit de tous les nombres premiers de i k p\ multiplions ce produit par 2 et retranchons i au résultat. Nous obtenons un nombre A
Si A est premier, comme il est de la forme ^h — i et qu*il est évidemment plus grand que je>, le théorème est démontré.
Si A n'est pas premier, il admet des diviseurs premiers, et Ton démontrt\ comme au n^ 35, que tous ces diviseurs sont plus grands que p. Mais, d'autre part, ces diviseurs ne sont pas tous de la forme 4/t+i> puisque leur produit n'est pas de celte forme. Donc il y a au moins un diviseur premier de A, de la forme ^h — 1, et plus grand que p. Le théorème est donc démonlré.
394. On démontre de la même façon qu'<7 existe une infinité de nombres premiers de la forme 6^—1.
395. // existe une infinité de nombres premiers de la forme 4/1 -h 1. En effet, soit/? un tel nombre. Formons la quantité
Si A est premier, comme il est de la forme 4 /t -+- 1 et plus grand que/?, le théorème est démontré. Sinon A admet des diviseurs premiers, tous plu« grands que je>. Tout revient à démontrer que les diviseurs premiers de A sont de la forme \h-{-\. En effet, A est un nombre impair égal à la somme
( ' ) M. de La Vallée Poussin a donné dans ces derniers temps une démonstration de ce théorème, plus simple que celle de Dirichlet. Voyez : Recherches analytiques sur la Théorie des nombres premiers^ 2* partie, Chap. IV. Bruxelles; Hayer-
SUR LES NOMBRES PREMIERS. SlQ
de deux carrés premiers entre eux. Donc, d'après ce qu'on a vu au n* 37-4, tous ses diviseurs premiers sont de la forme ^h -^i,
396. Pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme ùh-hi on considérera l'expression
«t Ton s'appuiera sur le résultat du n"" 381.
397. Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 8 A -h 5. Ici l'on considérera la quantité
C'est un nombre impair égal à la somme de deux carrés premiers entre eux, donc les facteurs premiers de cette expression sont tous de la forme 4 A-f-i, par conséquent de l'une des formes 8A-+- i ou 8/H-5. De plus, A étant de la forme 8A-+-5, ces facteurs premiers ne sont pas tous de la fornae 8A-+-I. La démonstration s'achève facilement.
398. Quant à la démonstration générale du théorème de Dirichlet, nous ne la donnerons pas ici. Elle repose sur la considération de séries de
la forme ^-^» «« étant un coefficient indépendant de s, et sur la trans-
formation de ces séries en produits contenant les nombres premiers. Nous allons seulement ici considérer une de ces séries, la série
Nous allons montrer, d'après Euler, comment on la transforme en produit contenant tous les nombres premiers. Nous en déduirons le théorème du n" 35, la suite des nombres premiers est illimitée.
