SUR LA DÉCOMPOSITION DBS NOMBRES EN FACTEURS PREMIERS

<Nous ne terminons pas rénumération, car nous n'en avons pas besoin, n'ayant à rechercher que les facteurs premiers entre 17 et 173.)

Les nombres premiers de Tirae des formes (4), compris entre i3 et 173, sont

<6) 19, 29, 3i, 4i, 59, 61, 7»t 79» % ïoi» Ï09» '3i, 139, 149, i5i.

Les nombres premiers de Tune des formes (5), compris dans les mêmes limites, sont

<7) 17, 19» 3i, 41, 43, 53, 59, 61, 97, io3, 109, i39, 167.

Donc, un facteur premier de 3oo3i doit appartenir à la fois aux. deux suites (6) et (7) et, par conséquent, ne peut être que l'un des nombres

<8) 19, 3i, il, 69, 61, 109, 139.

Enfin on peut encore faire cette remarque, à savoir que 3oo3i étant de la forme 4^ — ii a au moins un facteur premier de cette forme. Parmi les nombres (8), il ne reste donc à essayer que

Les divisions par 19 et 3 1 ne réussissent pas. Mais la division par 5g réussit, et l'on trouve

3oo3i = 59 X 509.

Ainsi, pour/> = i3, l'expression A n'est plus un nombre premier ('). D'ailleurs le nombre 509 est dans la Table l. Il est premier.

410. Sur la décomposition en /acteurs premiers des nombres de la /orme a^dzi, — Nous nous 'proposons, ici encore, de déterminer certaines formes dans lesquelles sont compris les facteurs premiers des nombres de la forme a'"dbi.

Examinons d'abord les nombres de la forme a"^ — i.

Soit m' un diviseur de m. On sait que a'»' — 1 est un diviseur de a"* — i. Donc tout facteur premier de a^' — 1 est aussi un facteur premier de a"* — i.

Nous pouvons donc diviser les facteurs premiers de a^ — 1 en deux classes : i** ceux qui ne sont facteurs d'aucun nombre de la forme a'"' — 1, m' étant un diviseur de m; 2° ceux qui sont facteurs de quelque nombre <le cette forme.

Bornons-nous à chercher les premiers. Or on a le théorème suivant :

(') En continuant ce calcul, on trouve :

Pour/? = 17,

A =19x97 X 277; pour p = 19,

A = 347 X 27953; pour p = 23,

411. Théorème. — Tout facteur premier impair de af^^t qui n'est facteur d'aucun nombre de la forme a^' — i , m' étant un diviseur de m, est de la forme hm -4-1.

En effel, soit/> un tel facteur. Dire que a"* — ! est divisible par />, mais qu'aucun nombre de la forme «"«'--i n'est divisible par />, c'est dire que a appartient à l'exposant m par rapport k p (n** 149). Donc m est un diviseur de/> -- 1,

d'où

p = mh -4- I .

412. Cas particulier. — m étant un nombre premier impair, tout facteur premier impair de a*^ — i, qui ne l'est pas de a — i, est de la forme hm-hi. D'ailleurs, devant être impair, ce facteur est de la forme •xAmn-i.

Comme cas encore plus particulier on a le théorème suivant : m étant un nombre premier impair, tout facteur premier de a"» — i est de la forme 2 hm •+- 1 .

On peut d'ailleurs, dans la recherche des facteurs de a"» — i, s'aider de? résultats tirés de la théorie des formes quadratiques. En particulier, si m

est impair, a"»— i = a\a * / — 1. Le nombre a*» — i est donc représenté proprement par la forme aar* — y^,

413. Exemple.— Décomposer en facteurs premiers io«— -1 = 999999999 10» — I est divisible par lo^ — i = 3'x 87, et l'on trouve

io« — I = 3' X 37 X I 001 001 .

Le nombre 1 001 001 est encore une fois divisible par 3, mais il ne l'est pas par 37, et l'on a

lo» — I = 3* X 37 X 333 667.

Reste à décomposer 333667 en facteurs premiers.

Or les facteurs premiers de 333667 étant facteurs du nombre lo'— 1, mais ne l'étant pas du nombre 10 — i, ni du nombre lo* — 1, sont de la forme 9A -h i.

D'autre part, la racine de 333667, à une unité près, est 577.

Cherchons donc, dans la Table, les nombres premiert de la forme 9^+1, compris entre i et 577. Nous trouvons

SLR LA DÉCOMPOSITION DES NOMBRES EN FACTEURS PREMIERS. 3^9 D'autre pari, remarquons qu'on peut écrire

lo» — I = io(io^)«— i«.

Donc le nombre — (lo'— i) est représenlable proprement par la forme

Donc, d'après la Table IV, ses facteurs premiers sont de l'une des formes

Or, parmi les nombres (9), les seuls qui soient de l'une de ces formes sont

On peut encore restreindre le nombre d'essais. En effet, s'appuyant sur ce que la racine de 333667, à une unité près, est 577, on trouve

Le nombre 333667 étant représenté proprement par la forme x^-^Siy^, la Table III montre que ses diviseurs sont de l'une des formes

328A -f- 1, 7, . . . (voir la Table).

Parmi les nombres (10), les seuls qui appartiennent à l'une de ce** formes sont

Enfin, remarquons que le nombre 333667 étant de la forme ih— i, ^ au moins un facteur premier de cette forme.

On peut se borner à essayer les facteurs

Si l'on essaye les divisions de 333367 par ces nombres, aucune ne réussit. Donc 333667 est premier. fi)n définitive,

414. Nombres de la forme a'"-f- 1. Tout facteur premier de a'^-\- i est aussi facteur de a"« — i.

La question est donc ramenée à la précédente.

Remarquons d'ailleurs qu'un facteur premier impair de a'"-+-i n'est certainement pas facteur de a"* — i, puisqu'il ne divise pas la différence 2 de ces nombres.

33o NOTE C.

415. En particulier, tout facteur premier impair d*un nombre de la forme

est facteur du nombre a'""^' — i, mais il ne l'est d'aucun nombre de la forme a*»' — i , m! étant un diviseur de 2»^->, car un tel diviseur est de la forme 2«(a;i/i), de sorte que le facteur en question serait aussi diviseur «le a*" — I, ce qui est impossible.

Donc tout facteur premier impair de «'""h-i est de la forme

416. Exemple. — Fermât avait pensé, sans en avoir de démonstration, que les nombres de la forme 2*"-+- 1 sont premiers.

Pour n = I,

2* H- I = 5 qui est premier.

Pour /i = -2,

2* H- I = 17 id.

Pour n = 3,

Pour n = 4.

Cherchons si 65 55; est premier.

D'après ce qui précède, les facteurs premiers impairs de 6553; ne peuvent être que de la forme 32 A 4-1. D'autre part, la racine, à une unité près, de 65537 est évidemment 2* ou 256. On n'a^onc à essayer que les facteurs premiers de la forme 32 A -hi, compris entre i et 256, c'eslà-dire 97 et 193. On constate que ni 97, ni 193 ne divisent 65537- Donc 65537 *^st premier, et la remarque de Fermât se vérifie encore pour ce nombre.

Mais, pour n = 5, on a

2»-hi = 4294ÎJ67297,

dont les facteurs premiers impairs doivent être de la forme 64^ + 1*

Or les nombres premiers de cette forme, compris entre i et la racine, à une unité près, de 4 294967297, soit 2*« ou 65536, sont

Si l'on essaye les divisions de 4293967297 par ces nombres, la di\ision par 641 réussit et l'on trouve

2«'-hi = 4294967297^ 64 « X 6700417.

Ainsi la remarque de Fermât est inexacte (*)• Ce dernier résultat est dû à Euler.

(') Voici quelques résultats curieux relatifs à ce genre de questions : ^^' — 1 = 2 147 5^3647 est un nombre /premier (Euler).