I.2.../l(/l-M)-H 2, 1.2.../l(/l-hl

i.a.../l(/l-hi) 4- /l, l.2.../l(/H-i) 4- (/»-hi)»

qui sont divisibles respectivement par 2, 3, . . . , /i, n 4- 1.

Considérons une suite de deux fractions t ^^ tt' telles que

Ces deux fractions sont irréductibles, car un diviseur commun de a et 6. divisant a'b et b'a, divise leur différence et ne peut être autre que i.

Entre ces deux fractions, intercalons une médiante. Nous obtenons une suite de trois fractions formant deux intervalles.

Dans l'un de ces intervalles ou dans les deux, intercalons encore une fraction médiante et nous obtenons une troisième suite.

Continuons ainsi; en général, ayant la n'^"** suite dans certains des intervalles laissés par les fractions de cette suite, intercalons des médiantes, nous obtenons une (/n-i)''"« suite.

418. On voit que la définition de ces suites est susceptible d'un assez ^rand arbitraire. Voici cependant quatre propriétés générales de ces suites :

1° Les fractions d'une suite sont rangées par ordre de grandeur croissante, — C'est vrai pour les deux fractions de la première suite, à cause de la relation (i); et alors c'est évident pour les autres suites.

*i" Toute fraction d*une suite est médiante des deux qui la comprennent, — Supposons que ce soit vrai pour la {n — i)'*"»» suite, et soient

m m* m" mT

quatre fractions consécutives de cette suite. Supposons que nous inier-

calions une médiante entre —y et —=-y nous obtenons

\\ faut démontrer que — r est médiante de —et — > ^-i et que—,

et

p' " P-^P'-^P' m" m' -\- m' -\- ni'"

p" ~ P'-^P'-^P" Or ces deux égalités sont vraies, car elles se réduisent à m' m-^-nf

p' P-^P' m" m' ^ ni'

égalités vraies par hypothèse.