i^2tv/5)(i-2i-v
et cependant il est facile de constater que les nombres 3, 7, 1-4- 21/5 et I — 7.i^Z sont premiers, c'est-à-dire n'admettent aucun facteur de la forme a -t- bi^, diffèrent d'eux-mêmes ou d'eux-mêmes changés de signe ou de rhi. On a donc ainsi deux produits de facteurs premiers qui sont égaux sans être identiques.
476. Si l'on se borne aux nombres entiers quadratiques imaginaires, c'est-à-dire à ceux définis par une équation du second degré
x^ -h px -4-^=0,
où 4 y — P^ ^st positif, on démontre les résultats suivants :
Pour que ces nombres donnent naissance à un algorithme analogue à celui
de la division et, par suite, à l'algorithme du plus grand commun diviseur,
il faut et il suffit que la quantité ^q — /?' soit plus petite que la.
On peut d'ailleurs, par une transformation simple, supposer p égal à o
ou I, de sorte que les nombres qui satisfont à la condition précédente sont
donnés par l'une des équations
^'-+-1 = 0, a7*-f-2 = o, ar*-f-a?-h I =0, ar*-}-a7H-2 = o, a:*4-ar-H3=o.
Soient a et p les deux racines d'une de ces équations x^-\-px -f- y = o. L'ensemble des nombres a-\- 6a, où a et 6 parcourent toutes les valeurs entières réelles possibles, est identique à celui des nombres a-h bp. Les deux nombres a-{- ba et a -f- 6p sont dits conjugués.
La norme du nombre a -f- 6a est le nombre a* — p ab -4- qb^. Une unité est un nombre dont la norme est égale à i. Four les nombres définis par les équations
a7«H-2 = o, ar» -4- jc -H a = o, a?* h- a? + 3 = o,
il y a deux unités.
Pour les nombres définis par l'équation
x»-4-i = o, il y en a quatre.
Pour les nombres définis par l'équation
a?* 4- ar 4- I = o, il y en a six.
Le lecteur pourra poursuivre la théorie de ces nombres entiers complètement analogue à celle des nombres entiers de la forme a + bi.
ATI. Pour ce qui est des nombres algébriques en général, nous avons dit que les lois fondamentales de la divisibilité et de la décomposition en facteurs premiers des nombres réels ne s'y appliquaient pas immédiatement.
Cependant, Kummer est parvenu à leur appliquer ces lois, et à rendre, par conséquent, leur théorie analogue à celle des entiers réels, par l'introduction de nouveaux nombres dits idéaux; mais nous n'entrerons pas dans la théorie de ces nombres (i).
( ' ) Dedekind, Sur la théorie des nombres entiers algébriques ( Bulletin des Sciences mathématiques, i" série, t. XI, et a* série, t. I), et Supplément XI aux Vorlesungen iiber Zahlentheorie de Lejeune-Dirichlet, 4* édition; Braunschweig, 1894.
