On a
{a -t- bi) -f- (a'-f- b' i) = a -h a' -h (6 -h b') «,
a->rbi —{a'-\-b'i) = a — a''^{b^b')i,
(a-f- bi){a'-h b'i) = aa'— 66'-H (a6'-h 6a') «.
Ainsi la somme, la différence, le produit de deux entiers imaginaires sont eux-mêmes des entiers imaginaires; et le même théorénre s'étend sans peine à la somme ou au produit de plus de deux nombres.
450. Mais il n'en est plus de même, en général, du quotient de deui entiers imaginaires.
On a, en effet,
a-^ bi __ aa'-\- bb' ba' — ab' , a'-hb'i" a'* -h 6'* a'*-hb'*
Le quotient de a -h bi par a'-hb'i n'est donc un entier que si les nombres entiers réels aa'-h bb' et ba' et ba' — ab' sont divisibles tous les deux par a'*-t-6''; sinon le quotient de deux entiers imaginaires est une fraction.
431. La quantité a* -H b^ s'appelle la norme du nombre a-i-bi (c'est le carré de la quantité connue en Algèbre sous le nom de module). On voit sans peine que la norme d*un produit est égale au produit des normes des facteurs.
Il en résulte que pour qu'un nombre soit divisible par un autre, il faut que la norme du premier soit divisible par la norme du second. Mais cette condition n'est pas suffisante. Les conditions nécessaires et suffisantes ont été données plus haut.
(') Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum..
SUR LES NOMBRES E!«TfERS IMAGINAIRES.
<452. La définition de la norme s'étend aux nombres fractionnaires. Soit le nombre fractionnaire
a -h hi
a' -\- b' i égal à
bh' ba' -
nb' .
La norme de ce nombre est, par définition, la quantité
Elle est identiquement égale à -7^ — ^t^-
D'une façon générale, la norme du quotient de deux nombres, entiers ou fractionnaires, est égale au produit des normes de ces nombres
453. Représentation géométrique des nombres imaginaires, — Le nombre a + bi se représente par le point dont les coordonnées rectangulaires sont a et b. En particulier, les nombres entiers sont représentés par les sommets des carrés adjacents représentés dans la fig. 2. Ces carrés
forment ce que nous appellerons un réseau carré, ayant 01 comme base. Si A est le point qui représente un certain nombre, ce nombre s'appelle
Vaffixe de A. La norme est égale à OA .
454. Pour additionner deux nombres qui sont les affixes de deux points A et B, il suffit de construire un contour polygonal OAG dont le premier
côté soit OA, et dont le second AG soit égal, parallèle à OB et de même sens. Le point G est Taffixe de la somme cherchée.
Il résulte de là que si A et G sont les afHxes de deux nombres, AG représente la norme de la différence entre ces deux nombres.
La règle qu'on vient de donner pour trouver la somme de deux nombres s'étend sans peine à un nombre quelconque de nombres.
453. Nombres conjugués. — Les nombres a h- 6i et a — bi sont dits conjugués. Les points A, A' (Jig'i)i qui représentent deux nombres conjugués, sont symétriques par rapport à l'axe Ox, Les normes de deux nombres conjugués sont égales entre elles, et égales au produit de ces nombres.
La somme de deux nombres conjugués est réelle.
456. Quotient et restée de la division de deux nombres entiers. — Soient a -H 6«, c -t- dl deux nombres entiers. Le quotient exact de a -h bl par c H- dl n'est pas en général un nombre entier. Mais on peut, par analogie avec ce que l'on connaît sur les nombres réels, chercher un nombre q H- ri appelé quotient j et un nombre s -f- tl appelé reste, tels que
(i) a-^bl — (c -hdl)(q -h ri) -h(*-f- tl),
et tels de plus que la norme de s -\- tl soit plus petite que la norme de c -+- dl.
Or l'équation (i) peut s'écrire
a -\- bl . s •+- tl
c -+- dl ' c -h dl
D'après les conditions du problème, la norme du nombre fractionnaire
doit être plus petite que i. La question revient donc à la suivante :
c-t- dl
Étant donné un nombre fractionnaire 77 > trouver un nombre
•^ c-h dl
t'jT' a -\- bl entier q •+■ ri^ tel que la différence -j. — (^ -H ri) ait une norme
plus petite que i.
Or
a -h bl , . ac -h bd / bc — ad \ .
..— (a-i-rO = - . -.r — Ç -^ {—., — 7* '^ 1 '.
c-^di ^^ ' c^-^d^ ^ \c^-+-t^* /
Il faut donc déterminer q et r, de façon que
, , (ac^bd \» /bc — ad \«
Il sufOt pour cela de prendre pour q la valeur, à moins d'une demi-unité
» 1 , ac -h bd , , , . „ , . . .
près, du nombre — - — -j^ y et pour r, la valeur, a moins d une demi-unité
près, du nombre — , — y^* i^ans ces conditions l'expression (a) a une
valeur inférieure ou au plus égale àf-j "^f"")* c'est-à-dire à -> et,
par conséquent inférieure à i.
On voit d'ailleurs qu'il peut y avoir jusqu'à trois autres systèmes de valeurs de ^ et de r répondant à la question.
467. Géométriquement : Soit M le point qui représente . {fig 3 ) ;
il faut prendre pour q -f- ri une valeur entière dont le point représentatif, A, soit à une distance de M plus petite que i. Les seuls points pouvant
Fig. 3.
répondre à la question sont les sommets du carré dans lequel se trouve le point M. Suivant la position du point M, il peut y avoir deux, trois ou quatre de ces sommets qui conviennent.
A moins d'avertissement contraire, on prendra pour quotient q ■+• ri, celui dont il a été parlé plus haut, et qui est déterminé en général, excepté
quand l'un des deux nombres —-. j- > — r j- ï ou tous les deux, sont de
la forme [ A -f- - ) > h étant un entier. Ce quotient est l'affixe du sommet du carré qui est le plus voisin de M.
458. Des unités, — On dit qu'un nombre est une unité lorsqu'tY divise tous les nombres entiers.
Dans la théorie des nombres entiers réels positifs il y a une seule unité, le nombre i.
Dans la théorie des nombres entiers, positifs ou négatifs, il y a deux unités, les nombres -t- 1 et — i.
Dans la théorie des nombres entiers imaginaires, pour qu'un nombre p -^ qi soit une unité, il faut, d'après ce qu'on a dit au n^ 451, que sa
norme /?* H- ^' divise tous les entiers réels positifs : il faut donc qu'elle soit égale à i.
Il faut, pour cela, que l'un des deux nombres />, q soit nul, et Taatre égal à ±1. I ne peut donc y avoir que quatre unités, à savoir
-Hi, —1, H-i, — e.
D'ailleurs les identités
a -H 6i = (a H- bi) i,
a-\- bi = ( — a — bi) ( — i ),
a -h bi = (b — ai)i,
a-\- bi = ( — b -h ai){— i)
montrent qu'effectivement tout nombre a -+- bi est divisible par les nombres I, — I, H-/, — I. Ces derniers sont donc des unités.
^9. Il résulte aussi de ce qui précède que, au point de vue de la divisibilité, les quatre nombres a -^ bi^ — a — bi, b — ai, — b -¥- ai ne sont pas distincts.
Tout diviseur de l'un de ces quatre nombres est aussi diviseur des trois autres. De même, tout multiple de l'un de ces quatre nombres est aussi multiple des trois autres. Nous appellerons ces quatre nombres, associés.
Ces quatre nombres sont représentés par quatre points A., A|, Aj, A|, sommets d'un carré de centre O (Jig. 2).
460. En particulier, il existe toujours un de ces nombres situés dans le domaine limité par les bissectrices OD, OD' des angles arO^etarO/, OD' comprise, OD non comprise (Jig. 2).
Autrement dit, il existe un de ces nombres dont la partie réelle est plus grande en valeur absolue que la partie imaginaire, ou au plus égale lorsque la partie imaginaire est négative.
Les nombres de ce domaine DOD' sont deux à deux imaginaires conjugués, excepté ceux dont les affixes sont situés sur la droite OD', c'està-dire ceux de la forme a — ai,
461. Remarque, — Si un nombre a-^bi est divisible par un nombre c ■+- di, le nombre a — bi est divisible par c — di.
En particulier, si un nombre réel a est divisible par un nombre imaginaire c -t- diy il est aussi divisible par c — di.
462. Représentation géométrique des multiples d'un nombre. — Soit un nombre a -h 6/ dont l'affixe est A(yî^. 4).
Il est d'abord facile de trouver les affixes des nombres de la forme m(a-^6t), m étant un entier réel. Ce sont les points situés sur U droite OA à des distances les uns des autres égales à OA, l'un de ces points étant O.
SUR LES NOMBRES ENTIERS ISIAGIMIRES. SSq
Considérons maintenant le nombre i{a -4- bi); il a pour affixe le point D
(OD = OA et AOD = i dr.). Les nombres de la forme pi{a -h bi), p étant un entier réel, ont donc pour affixes les points situés sur OD, à des distances les uns des autres égales à OD, l'un de ces points étant 0.
Soit alors (m -h pi) (a -h bi) un multiple quelconque de a -h bi.
On a
(m -h pi) (a -h bi) = m{a -\- bi) -\- pi{a -f- bi).
On a donc l'affixe M du nombre {m-^ pi){a-\- bi) en prenant l'affixe B' du nombre m{a 4- bi), Taffixe G du nombre pi{a -h bi), et achevant le rectangle GOB'M.
Il en résulte que les multiples de a -h bi ont pour affixes les sommets d'un réseau carré construit sur OA comme base (réseau dessiné en trait plein dans \^ Jig. 4).
i63. Plus grand commun diviseur. — La possibilité, étant donnés deux nombres a-^-bi, c-\-diy d'en trouver deux autres g -\- ri, s -^ ti satisfaisant aux conditions
a -h 6t = ( c -+- di) {q -\- ri) -h s -h ti,
36o NOTE I.
permet de constituer un algorithme du plus grand commun diviseur identique à celui des nombres entiers réels.
Exemple. — Soient les deux nombres 67 — 691 et 64 — 60 «.
Leur plus grand commun diviseur est — 5 -H 7^*.
Tous les théorèmes démontrés dans les n®' 28 à 32 subsistent pour les nombres entiers imaginaires.
464. Nombres premiers, — Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par les quatre unités, ou par lui-même, ou par ses associés (n»459).
Comme quatre nombres associés ne sont pas considérés comme distincts au point de vue de la divisibilité, nous pourrons ne considérer que des nombres premiers du domaine DOD' (n° 460). On voit facilement que :
Tout nombre est décomposable en un produit de facteurs premiers multiplié par une unité.
De plus, la décomposition n'est possible que d'une seule manière, à condition de n'employer que des nombres premiers du domaine DOD'.
En effet, dans cette hypothèse, comme il n'y a pas de nombres premiers associés, un nombre premier ne peut en diviser un autre sans lui être identique. Le raisonnement fait au n"^ 34, pour la décomposition en facteurs premiers des nombres réels, subsiste donc absolument.
Ces nombres premiers du domaine DOD' sont deu\ à deux imaginaires conjugués, excepté le nombre i— t, dont l'affixe est situé sur OD'(n'460}.
465. Il n'est pas difficile de déduire les nombres* premiers imaginaires des nombres premiers réels. Voyons d'abord si les nombres premiers, parmi les nombres réels, sont encore premiers parmi les nombres imaginaires.
Je dis que la condition suffisante et nécessaire pour qu^un nombre p, premier parmi les nombres réels, ne soit plus premier parmi les nombres imaginaires, est que ce nombre soit décomposable en une somme de deux carrés.
La condition est suffisante, car si l'on a
p z= a^-h b^j on en déduit
p z= (a -h ai) (a — bi).
Donc/> n'est pas premier parmi les nombres imaginaires.
La condition est nécessaire : en effet, si p n'est pas premier, il est dé-
composable en facteurs premiers nécessairement imaginaires; d'ailleurs, d'après ce qu'on a dit au n^ 401, s'il y a dans la décomposition de p un nombre imaginaire a-\-biy différent de i — i, il y a nécessairement le conjugué a — bi. Le nombre/? ne peut d'ailleurs contenir d'autre facteur premier que a -h bi et a — 6/, car s'il en contenait un autre c ■+■ di^ p serait divisible par les nombres a -f- 6i, c -h di, (a -4- 6/) (c -h di). Donc la norme de />, c'est-à-dire />', serait divisible par les normes de ces trois nombres, c'est-à-dire par a* h- ^«^ c'-i-^*, (a*-t- 6*)(c*H- é/*), ce qui ne peut être, car p, étant premier parmi les nombres réels, le nombre />< n'admet que deux facteurs réels différents de i, à savoir/? et /?*. On a donc
p =z [a -h bi)(a — bi) = «»-+- 6*.
Si p admet le facteur premier i — i, le théorème est encore vrai, car p étant divisible par i — i est aussi divisible par i -h i qui égale (i — i)i, et l'on voit, comme à l'instant, que
466. Conclusion, — On sait (n° 371) que les nombres premiers décomposables en une somme de deux carrés sont les nombres premiers de la forme 4^-+- i et le nombre i. On a donc le résultat suivant :
Les nombres premiers réels de la forme 4 A — i sont premiers parmi les nombres imaginaires. Les nombres premiers réels de la forme ih-i-i ei le nombre i ne sont pas premiers parmi les nombres imaginaires, ils se décomposent en un produit de deux facteurs premiers, imaginaires conjugués.
Exemple :
i3 = 2»-t-3«= (3 -+-2 0(3— Al).
467. En traitant la question posée au n** 465, nous avons trouvé des nombres premiers imaginaires; nous venons, en effet, de voir que,/> étant un nombre premier réel décomposable en une somme de deux carrés a*-h^', admet les deux facteurs a-hbi^ a — 6i, mais ne peut en admettre d'autres : les nombres a-\-bi et a — bi sont donc premiers.
Je dis qu'il n'y a pas d'autre nombre premier imaginaire.
En effet, soit a ■+- bi un nombre premier imaginaire; a — bi l'est aussi; et il faut démontrer que a*-t-6' est un nombre premier parmi les nombres réels. En effet, si a' -h 6* n'était pas premier parmi les nombres réels, il aurait un facteur premier réel c, et l'on aurait
a'^^ b^=i cd
(3) {a->t-bi)Ka — bi) = cd.
Mais cette égalité est impossible, car, si c et c? étaient premiers parmi les nombres imaginaires, les deux membres de l'égalité (3) se décompo-
seraient difTéremment en facteurs premiers, et si c et c? n'étaient pas premiers parmi les nombres imaginaires, le second membre de l'égalité (3) se décomposerait en un produit de plus de deux facteurs premiers, et le premier en deux seulement.
En résumé, les nombres premiers imaginaires sont : 1** Les nombres premiers réels de la forme 4 A — i; 2° Les nombres de la forme a -h 6i, a*-t- b^ étant un nombre premier réel,
468. Rema 'que, — Dans le raisonnement précédent, nous nous sommes (au n* 466) appuyés sur la théorie de la décomposition des nombres premiers en somme de deux carrés, c'est-à-dire sur la théorie des formes quadratiques. Il est intéressant de remarquer que l'on peut se passer de cette théorie, démontrer sans y faire appel les résultats du n° 466, et en déduire le théorème de Fermât du n° 371.
En effet, nous avons démontré au n° 465 que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre p, premier parmi les nombres réels, ne le soit pas parmi les nombres imaginaires, est que ce nombre soit décomposable en une somme de deux carrés.
Or, comme une somme de deux carrés ne peut être que de Tune des formes ^hj 4^ -^ i, 4^+2, il en résulte immédiatement le premier résultat du n" 466, à savoir : les nombres premiers réels de la forme ih — i sont premiers parmi les nombres imaginaires.
Pour le nombre 2, il est égal à 1*-+- 1^*
Enfin,. pour les nombres premiers réels de la forme ^h -^ i, si nous démontrons autrement que nous ne l'avons fait qu'ils ne sont pas premiers parmi les nombres imaginaires, il en résultera qu'ils sont décomposables en une somme de deux carrés, c'est-à-dire le théorème du n* 371.
Soit/? un nombre premier de la forme 4 ^ -m; considérons la coagruence
(4) ar/'-i — 1 = (mod p).
Cette congruence admet les /? — i solutions 1,2, ...,/? — i; mais elle admet aussi la solution x = i. Or, on démontre, comme dans la théorie des nombres entiers réels, qu'une congruence à module premier ne peut avoir plus de solutions qu'elle n'a d'unités dans son degré. La congruence (4) étant de degré p — i et ayant plus de p — 1 solutions, c'est que le module/? n'est pas premier.
469. Système complet de restes incongrus par rapport à un module a -t- bi, — La définition est la même que pour les modules réels. On appelle système complet de restes incongrus par rapport à un module a H- bi, un système de nombres tels qu'il y en ait un et un seul congru (mod a-t- bi) à un nombre quelconque.
Cherchons à constituer un tel système et à compter le nombre de nombres qui y sont contenus.
Nous avons vu (n** 462) que les multiples d'un nombre a -+- bi sont les
affixes des sommets d'un réseau carré Q coustruit sur OA comme base, A étant l'affixe de a -h bi. Construisons un autre réseau carré Q' formé de carrés et dont les côtés soient égaux et parallèles à ceux des précédents. (Le réseau Q' est représenté en pointillé sur la fig. 40 Soient P et P' deux points situés de la même façon dans deux des carrés (G) et (C)) du réseau Q' c'est-à-dire deux points qui viendraient à coïncider, si l'on transportait le carré (G) parallèlement à lui-même sur le carré (G'). Il est bien évident que le segment de droite PP' est égal et parallèle au segment joignant l'origine à un certain sommet E du premier réseau. Donc la différence des affixes des points P et P' est un multiple de a h- bi. Ges deux affixes sont donc congrues (mod a -H bi).
D'autre part, si l'on prend deux points dans un même carré du réseau Q', la droite qui les joint ne peut être égale et parallèle à un segment de droite joignant l'origine à un point du réseau Q. Les affixes de ces points ne peuvent donc être congrus (mod a ■+- bi).
Il y a exception pour deux points qui seraient situés sur le périmètre d'un carré du réseau Q' aux deux extrémités d'une parallèle à un côté, ou pour deux sommets de ce carré.
Il résulte de là que si l'on construit un carré (G) sur une base pirallèle et égale à OA et que l'on considère le domaine formé par Vintérieur de ce carréy deux côtés consécutifs de carrée et le sommet intermédiaire il existe dans ce domaine un point dont l'affixe est congru [mod {a-\-bi)\ à un nombre quelconque et il n'en existe qu'w/i. Les affixes des points situés dans ce domaine forment donc le système complet cherché.
470. Quant au nombre de ces points il s'évalue de la façon suivante : Considérons le carré (G), et le réseau formé par les points qui représentent tous les nombres entiers. Supposons, pour simplifier, qu'aucun de ces points ne se trouve sur le périmètre du carré (G); ce qui est toujours possible, puisque le carré (G) peut être déplacé parallèlement à lui-même. Il faut alors compter combien il y a de ces points à l'intérieur du carré (G). Or on peut dire que le carré (G) est décomposé en carrés de côté i, en convenant que lorsqu'un carré de côté égal à i est incomplet, on complète la portion de ce carré limitée par un côté du carré (G), avec la portion d'un autre carré limitée par le côté opposé.
Dans ces conditions, chacun des points dont on veut compter le nombre est un sommet appartenant à quatre carrés de côté égal à i, et d'autre part chaque carré de côté égal à i à quatre sommets; donc il y a autant de ces points que le carré (G) contient de carrés de côté égal à i. Or
la surface du carré (G) est égale à OA ou à d^-\- 6*. Donc il contient a'-t- b^ carrés de côté égal à i. G'est le nombre cherché. Il est égal à la norme de a -t- bi.
471. Indicateur, — Parmi ces nombres, combien il y en a-t-il qui soient premiers à a -H bil
Soient p -H g/, p' -\- q'i^ ... les facteurs premiers de a -h bi (certains de ces facteurs pouvant être réels).
Le nombre cherché est le nombre des points qui resteront dans le carré (G) après qu'on aura effacé, les points qui ont comme affîxes des multiples de /? -h qiy puis ceux qui ont comme affixes des multiples de />'-!- ^'/, et ainsi de suite.
Or les points qui ont comme affixes des multiples de/>-f-çi sont les sommets de carrés de surface égale à /?*-+-^*. On voit donc, par un raisonnement analogue à celui qu'on a fait plus haut, que dans le carré (C)
il y a — j de ces points. Quand on les a effacés, il reste dans le carré ( C ),
flî^-^î
p^-\-q^ ou
(at-H6i)(,--^^) points.
Le raisonnement se poursuit comme au n** 71, et Ton trouve
pour le nombre cherché.
Nous poserons ce nombre égal k^{a -^ bi).
Dans le cas où le nombre a -f- bi est premier, le nombre précédent se réduit à
472. Théorèmes de Fermât et d'Euler. — La généralisation des théorèmes de Fermât et d'Euler aux nombres imaginaires est immédiate. Soit a -h bi un nombre quelconque et c-hdi un nombre premier avec lui, V expression
{c^di)¥^-^f'i^'-\ est divisible par a -h bi.
Lorsque a -h bi est premier, ce théorème devient le suivant :
Soit a -h bi un nombre premier, et c -h di un nombre non divisible par a -h biy V expression
{cH-diy'-^-^'-^—i est divisible par a -h bi.
473. Théorème de Wilson. — a -h bi étant un nombre prem,ier, ie produit des a' -h 6* — i nombres non divisibles par a-\-bi contenus dans le carré (C), augmenté de i, est divisible par a-f- bi.
Ces théorèmes se démontrent comme les théorèmes analogues sur les nombres entiers réels.
Nous arrêterons ici la théorie des entiers imaginaires de la forme a -+- bi. Le lecteur pourra chercher à étendre à ces nombres certains résultats de la théorie des congruences et des restes quadratiques.
474. Application à la résolution des congruences, — Comme nous l'avons vu au n** 131 , si Ton se borne aux entiers réels, une congruence de degré r peut avoir moins de r racines. Ce résultat est complètement analogue à celui de TAIgèbre, car une équation à coeffîcients réels de degré r peut avoir moins de r racines réelles.
Mais l'introduction, en Algèbre, des nombres imaginaires de la forme a -+- bi permet d'énoncer le théorème suivant : Une équation de degré r a r racines.
Il n'en est pas de même pour les congruences. L'introduction des nombres entiers imaginaires de la forme a + bi permet, il est vrai, d'attribuer des racines à des congruences qui n'en ont pas dans le domaine des entiers réels, mais ne suffît pas pour qu'une congruence de degré r ait toujours r racines.
Exemple, — Soit la congruence (5) a:'=a (mod/?),
a étant un non-reste de p.
Cette congruence n'a pas de racine réelle.
Je suppose d'abord que p soit de la forme 4^-^-3, le nombre — i est un non-reste de p. Il en résulte que le nombre — a est un reste.
Soient alors a et — a les solutions de la congruence a:* ^ — a(mod p)\ la congruence (5) admet les racines imaginaires -»- at et — ai.
Mais supposons maintenant que/> soit un nombre premier de la forme 4 A -4- I ; a étant encore un non-reste de p.
Dans ces conditions, le nombre — a est également un non-reste, et la congruence n'a aucune racine. Supposons, en effet, qu'elle en ait une m -H qi. On aurait
{m-\-qiy^a (mod/?)
Ceci exige que
m* — q^-h 2mqi^a (mod p).
^ [ (mod^).
imq = o \ ^ ^
La seconde condition donne m = o ou g = o. Mais si m = o, la première condition donne
(6) ç« = — a (mod/?),
si g ^ o, la première condition donne
(7) /?i»E=a (mod/>).
Or les congruences (6) ou (7) sont impossibles, puisque ni a, ni — a ne sont restes du nombre/?.
475. On est alors conduit à introduire d'autres entiers que ceux de la
forme a -h hi. D'une façon générale, soit
une équation irréductible de degré /n. Elle définit m nombres algébriques réels ou imaginaires, les nombres réels n'étant autres que ceux définis au n*» 240.
Si le premier coefficient de/(ar) est égal à i, ces nombres algébriques sont dits entiers.
Il est facile de voir que a étant un nombre algébrique entier, il en est de même de a H- 6 a, a et 6 étant des entiers réels.
Mais la théorie de ces entiers ne peut pas, en général, se faire aussi simplement que celle des entiers imaginaires de la forme a -\- bi. En particulier, l'algorithme du plus grand commun diviseur et ses conséquences, par exemple le théorème qu'un nombre n'est décomposable que d'une seule façon en facteurs premiers, ne s'appliquent pas immédiatement.
Exemple. — Soit un nombre a = t/^ défini par la condition
On a
