DES CONGRUENCES

§ I. ~ Premières notions sur les congruences.

98. La notion de congruence, ou plutôt la notation par congruences et leur analogie avec les équations, est due à Gauss. Voici en quoi elle consiste :

On dit que deux nombres a et 6 sont congrus par rapport à un module n quand la différence a — b est divisible par n. Cette congruence syndique de la façon suivante :

a^ b (mod /i).

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté à craindre, on peut supprimer

le module et écrire

Il y a, entre les congruences et les égalités, des analogies dont nous allons parler et qui sont mises en lumière par la notation précédente.

99. On peut ajouter, soustraire, multiplier membres à membres des congruences prises par rapport à un même module.

Soient, par exemple, les congruences

a — h ( mod /i\ a = ù' (mod n ).

Elles sont équivalentes aux égalités

(i) a = b -h nh,

(^) a'= 6'-+- nh\

h et A' étant des nombres entiers.

54 CHAP. III. — DES G0NGRUENC3BS.

Ajoutons ces égalités, dous obtenons

a-\-a'= 6 H- b'-hn(h-hh').

Donc

a -H a' EH 6 -h 6' (mod n).

La démonstration s'étendrait au cas d'un nombre quelconque de congruences.

On voit d'une façon analogue que l'on peut soustraire membres à membres deux congruences.

On peut aussi multiplier deux congruences membres à membres. En effet, des égalités (i) et (a) on tire

aa'= bb'-h n^hb'-^- h' b -h nhh').

Donc aussi

aa'=::^bb' (mod/i).

Ce théorème s'étend sans peine, de proche en proche, à un nombre quelconque de congruences. En particulier, on peut élever les deux membres d'une congruence à une même puissance.

100. Si l'on combine entre eux les résultats précédents, on arrive sans peine à l'énoncé général suivant :

Si l'on a

a^a! (mod n),

b ^ b' (mod n),

c —^ c' (mod /i),

on a aussi

f étant une fonction rationnelle entière à coefficients entiers.