Passons maintenant à Téquation du premier degré à deux
inconnues
ax H- by = c.
La solution de cette équation revient immédiatement à celle de
la congruence
ax^^ c (mod 6).
En effet, soit x^ une solution de cette congruence, axç^ — csera divisible par 6; soit — ^o 'e quotient, on aura
ax^-\- byQ= c.
Ainsi à toute solution de la congruence correspond un système de solutions de l'équation.
6o CHAP. III. -— DES CONGRUBNCES.
On voit que si a et b sont premiers entre eux, le problème est possible; soit ^oj yo ^^ système de solutions; d'après ce qu'on a dit plus haut, toutes les valeurs de x sont données par la formule
t étant un entier quelconque. La valeur de y correspondante, donnée par Téquation ax -h by^=Cj est
(B) ^-rc-«^
et le problème est résolu.
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, soit d leur plus grand commun diviseur. Si d ne divise pas c le problème est impossible. Si d divise c, on peut d'abord diviser tous les termes de l'équation par d et l'on est ramené au cas où les coefficients de x et dey sont premiers entre eux.
H2. Résolution par les fractions continues, — Nous avons démontré l'existence des solutions, mais nous n'avons pas donné de méthode pour les calculer, sinon par tâtonnements, en essayant pour X successivement tout un système de restes incongrus par rapport au module b.
L'algorithme des fractions continues permet de résoudre le problème plus rapidement.
En effet, comme nous venons de le dire, on peut supposer a et b premiers entre eux. Réduisons en fraction continue la
fraction , • Soient 7-^- el ,/ Tavant-dernièrc et la dernière réduite.
On a
(9) P/.Qa-.-Q:Pa-i---(-i)^.
Mais les fractions tc^ et -r> étant égales et toutes deux irH^uc ylk o ^ \
tibles, sont identiques. Donc
Donc l'égalité (9) s'écrit
aQA,— 6 Fa-, = (-!)*.
On en déduit
ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ. 6l
Donc ( — i)*Q^,c et ( — i)*^*Pa-i<^ forment un système de solutions. On en déduit tous Jes autres par les formules (7) et (8). Exemple. — Soit l'équation
L'avant
-dernière réduite est
'Ao.Donc >9
ou
.44(-i5o49) = ioi.
La solution générale est
113. On peut envisager la question précédente d'une autre façon.
On dit qu'un nombre n est représentable par une expression /(^,^', 5, . . .), lorsqu'il existe des valeurs entières des variables x^y^ z, , ,, qui rendent /{x^y, ^î • • •) égal à n.
Les résultats précédents peuvent dès lors s'énoncer comme il suit :
La forme linéaire ax -i- by peut représenter tout nombre divisible par le plus grand commun diviseur de a et de b, et elle ne peut représenter les autres.
En particulier, si a et b sont premiers entre eux, la forme linéaire ax + by peut représenter tous les nombres.
D'ailleurs, quand la représentation d'un nombre est possible, elle l'est d'une infinité de façons.
114. Résolution de C équation ax ■+■ by -hcà'\-.,.-hkS'-\-ll = m,
, 6, c, .. ., Ij m s^ni donnés; x^ y, ^, . .., « sont inconnus.
02 CBAP. III. — DBS CONGRUENCES.
Si a, 6, c, . . ., / ne sont pas premiers entre eux, soît d leur plus grand commun diviseur. Si d ne divise pas m, le problème est impossible.
Si d divise m, on peut diviser toute Téquation par d. En un mot, on peut supposer les coefficients des inconnues premiers entre eux dans leur ensemble.
Nous allons montrer que dans ce cas l'équation est possible et que sa résolution se ramène à celle d'une équation contenant une inconnue de moins. Pour cela, nous allojis montrer que si c'est vrai pour une équation à /? — i inconnues, c'est vrai pour une équation à p inconnues.
L'équation proposée s'écrit
(lo) ~ ax -^-hy -\- cz-^, .,-^ks = m-~lt.
Si a, 6, c, k sont premiers entre eux, donnons à t une valeur quelconque, et il reste une équation en x, ^, . . ., 5, qui par hypothèse est possible.
Si a^b^c, ., ,^ k ont un plus grand commun diviseur 8 ^ i, on doit d'abord'déterminer t de façon que
m — lt=^o (raod 8).
Cette congruence est possible, car /et 8 sont premiers entre eux, sinon a, b, c^ . . .^ ky l ne seraient pas premiers entre eux. On obtient donc pour t une expression de la forme
« u étant une nouvelle inconnue.
Substituons cette valeur de t dans l'équation (lo), tous les termes deviennent divisibles par 8 et l'on est ramené au cas précédent.
Remarque, — Ce résultat peut s'énoncer comme au n°'H3. La forme linéaire ax -h by 4- - * . -\-ltpeut représenter tout nombre divisible par le plus grand commun diviseur de a^ b. ., .^ l, et ne peut représenter les autres,
