THÉORÈMES DB FERMAT ET D*EULER

En effet, dans le coefficient '"f ^» puisque

ce coefficient est entier, tous les fadeurs premiers du dénominateur se trouvent au numérateur et disparaissent; mais aucun de ces facteurs n'est égal à />, puisque a, P,. . .,X sont plus petits que/?.

Donc ces facteurs se trouvent dans le produit 1,2.../? — i.

Donc -^-—6 =r est éeral à un nombre entier a:

donc le coefficient en question est égal kpq, et il est divisible par p.

Ceci posé, la formule (i3) donne donc, en supposant que x^

y^ . . . , s soient des nombres entiers quelconques,

(JT -^-y -h --+-.. .-H M -h V)P — {XP-^ yP->r-. , .-r- UP \- VP) C3 O ( 1110(1 />),

eX en supposant que jr^y. v,...,//, r soient lous égaux à un, rît soient au nombre de </,

aP — a ^= o (mocl/?),

ce qui est le tbéoréme de Fermât.

120. Théorème de Fermât généralisé par Hider, — n étant un nombre quelconque et a un nombre premier avec /i, la quantité a9<"^ — i est congrue à zéro (mod n).

Nous démontrerons d*»ibord le Icnime suivant :

Lemme. — Soient < I i ) «lî «î» • • .» 3tçi/o

les nombres plus pelils que n et premiers avec lui.

Considérons les produits

Je dis que ces produits divisés par n donnent comme restes, dans un certain ordre, les nombres (i4)'

En effet, aucune division ne se fait exactement, car, n étant premier avec a ne pourrait diviser a^a que s'il divisait a^, ce qui est impossible, puisque cLç est plus petit que n^

Les restes sont d'ailleurs plus petits que n.

(>8 CHAP. m. — DES CONGRUBNCES.

De plus, ces restes sont premiers avec /i, car soit

sî n et Pg avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait a^w. Alors n et dga ne seraient pas premiers entre eux, ce qui est impossible, puisque a^ et a élant premiers avec n, il en est de même de leur produit.

Je dis enfin que deux des restes sont inégaux. En effet, si a^a ela^'a donnaient le même reste, (a^ — v)^ serait divisible par n; mais, n élant premier avec a devrait diviser a^ — a^-, ce qui est impossible puisque a^ et a^- sont plus petits que lui.

Les restes étant des nombres de la suite (i4)> étant en même nombre qu'eux et étant différents entre eux, sont ces nombres eux-mêmes.

Ce lemme peut encore s*énoncer en disant que les nombres de la suite (i5) sont congrus (mod/î) aux nombres de la suite (i4)-

121. Démonstration du théorème d^Euler. — Ceci posé, la démonstration du théorème d'Eulcr est la suivante, analogue à celle du théorème de Fermât :

Les nombres

%x a. oLitt, .... a^(,i,fï

étant congrus (mod/?) aux nombres

le produit des nombres de la première suite est congru ( mod n) au produit des nombres de la seconde

at| ûtî . . . a^ „) flr?^"' -- «i aj . . . 7.^^n) i mod n i.

ou, en divisant les deux nombres par a, a^. . .7.^^^n) q"i est premier avec /i, il vient

a? "' -- \ (mod n),

122. Applications à la solution en nombres entiers de r équation ax -\- by z=: c. — On peut supposer a cl b prenHer> enlre eux (n® IH). On a donc

= un nombre entier u

CONGRUBNCES DK DEGRÉ QUELCONQUE A MODULE PREMIER. 69

OU

d'où

a(ca?^'^^-»)-^ b{— eu) — c.

Donc ca'^^^^~^ vX — eu forment un système de solutions de Téqualion proposée, et on en déduit tous les autres comme on a mi au n** m.

§ IV. — Premiers principes sur les congruences de degré quelconque à module premier.