Théorème. — Si a est racine de la congrue nce

/(a-)- o (mod/>),

f{x) est divisible {mod p) par x — a et réciproquement.

( ' ) Les trois derniers théorèmes sont analogues aux ihcorèmes sur les nombres entiers énoncés aux n*" 42, 43, 45. Ceux-ci ont été démontrés en s'appuyant sur la théorie de la décomposition des nombres en facteurs premiers.

On pourrait ici faire une théorie analogue, eu considérant des polynômes qui ne sont divisibles (mod/?) que par un facteur numérique ou par un polynôme ile même degré qu'eux [pol^'nômes irréductibles (mod/?)]; mais on peut aussi remarquer que les théorèmes des n*' 42, 43, 45 se démontrent facilement, sans s'appuyer sur la théorie de la décomposition en facteurs premiers : c'est ce que nous laissons au lecteur le soin de voir.

CONGRtENCES DE DEGRÉ QIELCONQIE A \IODl!LE PREMIER. 78

En effet, divisons (mod p)/(x) par x — a. Le reste A est

indépendant de or.

/(.r)-l(-r—a)Q(x)-h \ (mod p).

Remplaçons dans cette identité x par «, il vient

o - V (mod p); donc

f(''^)^{f — n)Ç){x) fm()(l/>),

ce qui prouve (\\\p f{x) est divisible (mod/>) par x — a. Quant à la réciproque, elle est évidente.

129. Racines multiples, — On dit que a est racine multiple d'ordre a de la congruence f{^) '^ o (mod />), lorsque le polynôme /(:r) est divisible (mod/?) par {x — aY et ne Test pas par (x — aY"^^ .

130. Théouèmb. — Si a, h, c^ . . . , / sont des racines incongrues deux à deux, d^ ordres a, p, v, . . , ,\ de multiplicité d'une congruence /{x):^o (mod p), f{x) est divisible {mod p) par te produit (x — aY{x — b)^. . .{x — 7)^.

En effet /(x) est divisible (mod/?) séparément par (x — </)«, {x — b)^j . . ., (jF — /)^; or remarquons d*abord que les polynômes X — a, X — A, . . . , jc — / sont premiers entre eux deux à deux (mod/>). En effet, un diviseur commun (mod/?) de x — a et X — A, par exemple, doit diviser leur différence a — b, qui est tin nombre non congru à zéro (mod/>). Ce diviseur commun ne peut donc être qu'un diviseur numérique.

Les polynômes x — a^ x — b, . . . ^x — / étant premiers entre eux (mod/?) deux à deux, il en est de même de leurs puissances <|uelconques.

/(x) étant divisible (mod /?) par les polynômes (x — a)*, ( j: — 6)P, . . . , (.r — /)^ qui sont premiers entre eux deux à deux, l'est aussi par leur produit.

131. Corollaire. — Une congruence de degré r ne peut €ivoir plus de r racines, une racine d'ordre a étant comptée pour a racines.

Car, sinon, le premier membre de la congruence serait divi-