CONGRUBNCES DE DEGRÉ QUELCONQUE A MODULE PREMIER. J

la congruence

/{x)^o {modp)

a autant de racines que d^ unités dans son degré, il en est de

même de la congruence

o(x)-=o (mod/?).

En effet, soit Q(^) le quotient de/ (:r) par(p(a:). La congruence

f{T)^o (mod/))

peut s'écrire

^(.r)Q(ar)=o (mod/>).

Le degré de f{x) est la somme des degrés de ^{x) et de Q(:r Comme d'ailleurs une racine de f{x) est nécessairement racine soit de ç(a:), soit de Q^{x) ; si la congruence

^(x) — o (mod/?)

avait moins de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré, il faudrait que la congruence

en ait plus, ce qui est impossible.

136. Cas particulieu. — Soit d un diviseur de p — i , la congruence

x^ — I =s o (mod/>)

({ d racines. Car on sait que le polynôme x^ — i est diviseur algébrique du polynôme xP~^ — i .