On appelle congruence binôme une congruence de lu

forme

.r" ~ (f (mod/?).

Le cas particulier où <^ i " o se traite immédiatement. Dans ce cas, la congruence a une solution et une seule : x m o.

141. Examinons maintenant le cas de arii. La congruence devient alors

(16) .c" I (mod/?).

On sait que toutes les racines de la congruence (16) sont racines de la congruence obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur (mod/?) de x" — i et de xP~* — 1, cette dernière ayant d^ailleurs autant de racines distinctes qu'il y a d'unités dans son degré (nM38).

Or si Ton cherche le plus grand commun diviseur par la méthode ties divisions successives, on voit facilement qu'il est égal k x^ — 1 , o étant le plus grand commun diviseur de n eip — 1. (D'une façon plus générale, le plus grand commun diviseur (mod/?) de x'' — 1 el X* — I est x'^ — I , d étant le plus grand commun diviseur de /• et 5; il est identique au plus grand commun diviseur algébrique^ et est indépendant de /?.)

Donc la congruence x^ — 1 :~ o (mod p) sl racines distinctes qui sont les racines de j:*^ — 1 -: o (mod />).

i42. Nous sommes ainsi ramenés à n'étudier, parmi les (ongruences de la forme (16), que celles dont l'exposant est un diviseur 8 de /? — I , et qui ont S racines distinctes.

Parmi ces 8 racines, il y en a qui sont en même temps racines de congruences de môme forme, mais de degré inférieur.

78 CIIAP. 111. — DES CONGRUBNCES.

Considérons en eflfel la congruence

x^' — I ^^ o (inod/)),

0' étant un diviseur de 0. Toute racine a de cette congruence est aussi racine de la congruence

(17) J'Z^lr^o;

car on a, par hypothèse,

d'où, en élevant les deux membres à la puissance ^,>

a5== I (mod/?).

Réciproquement, loule racine de ta congruence (17), qui est

en même temps racine d' une congruence de même /orme, mais

de degré inférieur

jr'' — I -— o

est aussi racine d'une congruence de même forme mais dont l'exposant est un diviseur de 2, plus petit que 5.

En eflTet, une telle racine est en même temps racine de la congruence obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur des polynômes x^ — 1 et x'* — ï. Or nous avons vu que ce polynôme est x^' — 1 , 0' étant le plus grand commun diviseur de r et 0, et par suite 5' élant un diviseur de plus pelil que 5.

Ii3. Racines primitives. — On peut donc diviser les racines de la congruence x^ — 1 ^ o en deux catégories : 1° celles qui ne sont racines d'aucune congruence de même forme, mais de degré inférieur, et qu'on appelle racines primitii^es; 2® celles qui sont racines de congruences de même forme et de degré inférieur, et qu'on appelle racines non primitives,

144. Nombre des racines primitives de la congruence a:^— - 1 = o (mod /?). — Soit 5 = a«6P.../^, la décomposition de S en facteurs premiers. Je ferai d'abord la remarque suivante :

à savoir que le plus grand commun diviseur des deux nombres -»

CONGRUENCES BINÔMES. 79

r> par exemple, est -7 • En effet, si l*on divise— et y^ par -y^, on

trouve comme quotients b et a qui sont premiers entre eux. Ce résultat se généralise. Le plus grand commun diviseur des

quatre nombres ""' t» ~ ' ^» par exemple, est , , ♦ En effet, le plus

grand commun diviseur de - et t est— ; , comme on vient de le

^ a o ao

voir; ensuite, le plus grand commun diviseur de —r et - est —r- ,

parce que si l'on divise -y et - par — r-» on trouve comme quotients c et ab qui sont premiers entre eux; et ainsi de suite.

On déduit de ce qui précède que les racines communes au\ 8 3 5 3

congruences x" — i ze o, x'' — i ^ o, .r* — i ^ o, a:'' — i ^ o sont

les racines de la congruence a;"*'^'' — i ^ o.

Ceci posé, la congruence x^ — i ^ o ( mod p) a en tout 5 racines.

Celles de ces racines qui ne sont pas primitives sont racines de l'une des congruences

.F"— 1:jO, X^' — I -^ o, ..., .J^ — I ^ o.

Supposons «'^crites les 8 racines de la congruence x^ — i eei o

dans une suite S, et de cetle suite barrons successivement les

racines de la congruence x" — i = o, puis celles de la con-

gruence x^ — i = o, . . .; il ne restera plus qu'à voir combien il

reste de racines dansja suite.

Or les racines de la congruence x" — i ^^ o sont au nombre

de -; si on les barre dans la suite S, il reste dans cette suilc

ô — — = ( i 1 racini

Les racines de la congruence x^ — i ?= o sont de même au

nombre de t« Mais certaines d'enïre elles ont déjà été barrées

comme racines de la congruence jt" — i::^o; il faut donc commen-

8o CHAP. III. — DES CONGRUENCES.

cer par barrer dans la suite des racines de la congruence :r'' — i ^ f>

S celles qui sont racines de x" — i e= o.

Or ces racines communes aux deux congruences sont racines o >

de x""^ — ii^o; leur nombre est donc —r? et après les avoir

barrées dans la suite des racines de la congruence x^ — i ^ o, il

ne restera plus que . ^ ou ^ ( i j racines dans cette suite.

Ce sont celles qu'il faut barrer parmi les S ( i j racines qui

restent dans la suite S. Le nombre des racines restant dans cette suite est alors

i-7,)i-ïy

Il faut maintenant barrer les racines de la congruence

x'' — 1 E^ O qui n'ont pas encore ëlé barrées comme racines de

Tune des congruences x" — i ^ o, x'' — i =e2 o.

En définitive, le raisonnement et le calcul se poursuivent absolument comme on Ta fait au n** 71 , et l'on trouve

ou cp(o) racines primitives de la congruence x^ — i ^ o (mod />).

145. Autre démonstration de ce résultat, — Voici de ce résultat une autre démonstration, dont le principe est dû à Gauss. Nous la diviserons en plusieurs points :