I. Soit a une racine de la congruence

(i8j x^* — I -j o (mod y?).

Il en résulte que a^ est congru à i (mod/?). De plus, si a est racine primitive de la congruence, S sera le plus petit exposant tel que a^ soit congru à i, et réciproquement.

II. Tout nombre a non congru à zéro (mod p) est racine d'une congruence de la forme (i8), o étant un diviseur

GONGRUBNCES BINÔMES. 8l

de p — I . — En effet, d'après le théorème de Fermât, a est racine de la congruence xP~^ — i ^ o; donc ou bien a est racine primitive de cette congruence-là, ou bien il est racine de congruences de même forme, mais de degrés inférieurs. Comme d'ailleurs, nécessairement, il y a un minimum à ce degré, a est certainement racine primitive d'une de ces congruences.

III. Si des nombres a, p, y sont racines de la congruence x^ — I ^ o, leur produit oL^yest racine de la même congruence.

Car si l'on a

on en déduit, en multipliant ces congruences membres à membres,

Donc a^Y est aussi racine de la congruence.

Cas particulfer. — Si un nombre cl est racine de la congruence x^ — I ^ o, toute puissance de cette racine l'est aussi,

IV. Si la racine ol de la congruence x^ — i -o est une racine primitive, les puissances d^ exposants 1,2, . . . , rfe cette racine reproduisent toutes les racines de la congruence.

En effet, les nombres

sont tous racines de la congruence. Comme ils sont au nombre de S, si l'on démontre que deux d'entre eux sont incongrus (mod/?) le théorème sera démontré. Or, si Ton avait

on en déduirait

a'-'"'-- I (nioil p).

Alors S ne serait pas le plus petit exposant tel que a^ soit congru à i (mod/>).

V. Si Von considère la suite indéfinie dans les deux sens des puissances de a, a étant une racine primitive de la congruence x^ — 1^0, cette suite forme une suite périodique^ le nombre des termes de la période étant 3, et deux termes de

82 CHAI'. 111. — DES CONGRUKXCES.

même rang dans deux périodes différentes étant congrus (mod/?).

En particulier, les puissances qui sont congrues à i sont celles dont V exposant est divisible par 5.

Ceci résulte évidemment de ce qui précède.

VI. Si la congruence x^ — i ^ o a une racine primitive, elle en a ç(5). — En effet, les nombres (19) représentant toutes le» racines de la congruence, cherchons la condition pour qu'un de ces nombres a'" soit racine primitive.

Il faut pour cela et il suffit que, dans la suite des puissances de a^, la première qui soit congrue à 1 (mod p) soit d'exposant 0.

11 faut donc et il suffit que la plus petite valeur positive de \ qui satisfasse à la condition

(20) a'"5==i (inod/>)

soit i=:8.

Mais puisque a est racine primitive de la congruence x^ — 1^0, la condition (ao) peut être remplacée par la suivante : à savoir que rÇ soit divisible par 0.

Or, pour que la plus petite valeur de Ç qui satisfasse à cette condition soit Ç = il faut et il suffit que /* soit premier avec 0.

En résumé, il y a dans la suite (19) autant de racines primitives qu'il y a dans la suite des exposants i,'^j...,2 de nombres premiers 8.

Or il y en a 'f (8).

VII. La congruence x"^— 1 -i o a y(o) racines primitives, — Nous avons seulement démontré que celle congruence a zéro ou ç(8) racines. Il reste à démontrer qu'elle en a effectivement ^(8).

Or, soient

le> diviseurs de /? — 1 .

Parmi les /> — 1 nombres non congrus à zéro, et incongrus <^eux a deux (mod />), parmi les nombres i, u, ...,/> — i par