la congruence

X* — a = H o ( mod 2f )

a quatre solutions ±z Xq, zh x^, à condition que

a — I (mod 8).

De plus, de ces deux nombres :

xl — a x] — a

C un, et un seulement, est pair.

En effet, le théorème étant démontré pour it =: 3, il nous suffit de montrer que, s'il est vrai pour une certaine valeur de u, il est vrai pour la valeur 7t -h 1 . Or, soient ±Xo, ±: J7< les quatre solutions de

(39) x* — a ^- o (modî'ï),

et supposons

xji — a .

— î— - — impair.

Suivons la méthode générale et pour résoudre la congruence (4o; 37*— a-- o (moda^-*-*),

posons successivement

3^ = ti: ^i -h i^J-

La première subslilulîoo donne pour y la congrucnce

{ moà ? )»

maïs celle congruence est impossible, puisque -°;^^— e&t impair. Au contraire, la seconde subsiîlulîon donne

(moda),

congruence indéterminéej puisque — ^7^^— est pair. On pt*ul donc prendre y — o ou ^ = i, ce qui donne, pour la congruence {ioK quatre soiulions ; •

ou, ce qui revient au même, au module a^^' près^

Maintenanl, substituons ces valeurs dans Texpression ^-^^, » il vient

— ^rr ' \t i -^ ^1 -+^ ^J*^~* »

valeurs entières dont la diOTërence est impaire {puisque ^ >> a et que Xi est impair); donc, si Tune est paire, l'aulre est impaire. Donc tout ce qu*on a supposé pour la congruence (Sy) est ausi^^i vrai pour la congruence ( ^u), et le ihéortme esit démontré.

VII, Enfin, supposons que n soit queicontjue, il suffit de décomposer n en facteurs premiers

et d'appliquer la métbodedu n* 166*

En particulier^ lorsque n est impair et premier avec a la congruence, si elle est possible, a 'âV- solutions, [x étanl le nombre des facteurs premiers dilTérenls de /î.

DES CO:<ïGRU£NCES A MODULES NON PREMIERS.

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