DES CONGRIENCES A MODULES NON PREMIERS. IO

Le nombre k s'appelle V exposant auquel appartient a par rapport à n ( * ) .

tous les nombres positifs, plus petits que n et premiers avec lui, on a A's=cp(/t) et le théorème est démontré.

Sinon, soit a un nombre positif, plus petit que n et premier avec lui, et qui no soît égal à aucun des nombres r,, r,, ..., r^. Considérons les nombres

Deux de ces nombres sont incongrus entre eux, car si l'on avait

*a'"^*a'"' (mod/i), il en résulterait

*(«'"-'*•' — i)— o (mod/i),

ce qui est impossible, puisque s est premier avec n et que ««-'«' n'est pas congru à 1 (modn).

De plus, un nombre quelconque de la suite (44) est incongru à un nombre quelconque de la suite (43)) car si Ton avait

*a'" - aP (mod /i), on en déduirait

s ^ aP-"» ( si /> > wi ) ou

* r- a*-»-/'-'» (si/?<m), d*où

p~ ttt k i-p — fit' .

ce qui n'est pas, puisque s n'est égal à aucun des nombres r,, Tj, ..., Tj.

Si donc l'on divise les nombres (44) P^i* ^j on trouve comme restes k nombres *,, *,, ..., *jk positifs, plus petits que n et premiers avec lui; différents entre eux et différents des nombres r.

Si les nombres r,, rj, . . ., r^ et *,, «j, • • •» *k forment tous les nombres positifs, plus petits que n et premiers avec lui, on a

Sinon, on considérera un nombre <, positif, plus petit que n et premier avec lui, mais qui ne soit égal à aucun des nombres r,« Tj, ..., Tj^, ni à aucun des nombres «,, *2, ..., 5^, et l'on raisonnera de la même façon.

Si les nombres r,, r^, .. ., r^, \5,,53, . . ., *|^ et t^f t^j . ..j t^ forment tous les nombres positifs, plus petits que n et premiers avec lui, on a

3A- = ?(/i), et ainsi de suite.

Donc 9(1) est un multiple de k.

On sait, d'ailleurs, que les termes de la suite (42) dont l'indice est multiple

de k sont congrus à i (mod/i). Donc

a?(''> : I (modn).

( ' ) Existe-t-il, pour un module composé n, des racines primitives, c'est-à-dire des nombres appartenant à l'exposant 9(n)? Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que de telles racines primitives existent lorsque n est une puissance d'un nombre premier impair, ou le double d'une telle puissance. Dans les autres cas, il n'y a pas de racine primitive.

io8

chap- jii. — des'

la

question

fies /raclions

l.iomme ïip|ihcalion, traitons i iécîm a ieJi pèrioiJiqu e.s.

Soit une fraction ordinarre j- Supposons qu^oo en ait extrait

la partie entière, de sotie qu'elle soll plus petite que i* Nous supposons, de plus, qu^ello est irréductible, cVst-à-dire que a et // sont premiers entre eux,

I^uur IVSîiluer à ^'^j, yj^, r^-^ ^ * - pfès, il faut diviser par b les nombres

Supposons d abord ù premier avec 10. — Soit k rexposanl

îHiquel appartient lo par rapport à b. On a

(Foù

I ^ io* ^ 10** ^^ , * . ( mod b ),

Comme a est plus petit que fr, ceci prouve que les divisions des nombres io*^i^ iu-*«, . . . par 6, donnent le même reste a- Donc les reste* successifs et par suite les cliifl'res du quotient présentent une période de fc cliifTies, commençant immédiatement après la virgule.

Il n'existe pas d'ailleurs de période de moins de A' chiffres, car

potir que Ton ait

a = 10*' a (mod b), il faudrait que Ton eôt

1== ïo*' (mod û).

ce qui est Impossible si A'< k.

On peut remarquer que le nombre de chiffres de la période est indépendant de a.

Exemples :

^- — o,238og ja3So95< . , .

Ces fractions décimales périodiques, dont la période commence immédiatement après la virgule, s'appellent fractions périodiques simples.

FONCTIONS SYMÊTR. DES NOMBRES PLUS PETITS QU*tN NOMBRE PREMIER. IO9

Supposons maintenant que b ne soit pas premier avec \o. Soii

6' élant premier avec lo.

Supposons, pour fixer les idées, a^- p. Si Ton multiplie la

fraction proposée j par lo*, elle devient

rt.5*~P est premier avec b' qui est premier avec lo. La frac-

lion — ^,- est donc égale à une partie entière, plus une fraction

dont le dénominateur est 6', et dont le numérateur est premier avec b' . Cette dernière est une fraction périodique simple. Pour retrouver une fraction égale à la fraction proposée, il faut reculer la virgule de a rangs vers Ja gauche; on obtient alors une fraction périodique dans laquelle la période ne commence pas immédiatement après la virgule : c'est ce qu'on appelle wr\c fraction périodique mixte.

Exemple :

Réciproques. — Les réciproques des théortmes précédents sont vraies.

Une fraction -j étant réduite à sa plus simple expression, si b est premier avec 10, cette fraction est égale à une fraction périodique simple; sinon elle est égale à une fraction périodique mixte, la période n étant d^ ailleurs composée que de zéros si b ne contient que les facteurs premiers 2 et 5, auquel cas la fraction est limitée.

§ VII. — Fonctions symétriques des nombres plus petits qu'un nombre premier.

174. Soit un nombre premier/). Considérons les fonctions symétriques rationnelles et entières, à coefficients entiers, des nombres 1,2,3, ..., p — I. Je dis quune telle fonction est divisible par p quand son degré n'est pas divisible' par p — i .

Considérorfs d'abord les sommes S,, S^, S3, ..., 8^.2 des puis-

illAP, III* — DIS eOKGlirESCES*

sances semblables des nombres u 3 p — i, depuis Teipo-

saut 1 , jusqu'à l'exposant p — y.

est évidemment divisible par jo.

Supjjuîsoiis le ibc'orivmc vrai pour S|, S^, **.,Sjt^ii démontrons-le pour S|(A</?^i). On a la relation, démontrée en Algèbre,

ik- \\k

Or le second membre est divisible par/>, doue le premier Test aussi. Mais par hypothèse k-^ \<^p* Donc S^ est divisible par/>.

Pour k^p — 1 , fous les termes du second mcn»brc sont divisibles par p^ excepté le terme — p. Donc si Ton divise les deuv membres de régalîfé par/?, il vient

Soit main tenant un norobrc /^ plus grand (jnc /?— i, SI l'on a

k*==k (nraod/î — 1),

on a

fi^* =^ a^ f rnotl /?),

quel que soit f/^ il'ïqirès le théorème de Fermât donc anssi

Do

ne

Sji'^^o (mod /ï) quand // nVsi pa.^ dlvî^sible [lar p~ t, Sjf ^^ i (mofl /? ) cjunnd A' e^l divisible parp — i.

Le Un^'orème s'étend sans peine aux fonctions sj^métrique^

d- ordres quelconques {*).

En ellVïl soit une telle fonction d'ordre n et de degré ^o (mod ^—1)5 (et que je peui supposer simple, c'est-à-dire que tous ses termes se déduisent de Vnn d'eux par perinutation

{*} ifnâ foaetioii symélnquc d*ardre n csl une fonctmn dont tons îes termes conUeunenl n k^Ur«!s.

FONCTIONS SVnÉTR. DBS NOMBRES PLUS PETITS Qu'UN NOMBRE PRfcMIER. I 1 1

des lellres, et ont comme coefficient i),

a-h^-f-y-}-...-!-)^ étant ^^ o(mod/? — i).

Supposons d'abord a, p, y, . . . , X tous différents. On a alors

Saa6?cY...A=SaiSp...Sx-F,

P désignant une fonction symétrique de même degré que la proposée, mais d'ordre inférieur d'une unité.

Or a, p, ...,X ne peuvent être tous iz:o(mod/? — i). Donc l'un au moins des nombres S^, Sp, . . . , Sx est divisible par /?; par suite on est ramené à démontrer le théorème pour la fonction P dont l'ordre est inférieur d'une unité à celui de la fonction proposée.

Supposons maintenant que les exposants a, p, y, . . . , X ne soient pas tous différents, qu'il y en ait A égaux à a, B à p, C à y, etc. On a