A X i.2...Bxi.2...Gx

Les nombres A, B, C sont plus petits que />, puisque les quantités a, ^, c, . . ne sont qu'au nombre de yo — i. Donc on voit, comme plus haut, qu'on est ramené à démontrer le théorème pour la fonction P dont l'ordre est inférieur d'une unité à celui de la fonction proposée.

De proche en proche on est ramené à démontrer le théorème pour les fonctions d'ordre i, qui ne sont autres que les sommes de puissances semblables (* ).

175. Application à la démonstration des théorèmes de Fermât et de Wilson. — Considérons l'expression

Si on la développe par rapport aux puissances décroissantes

( ' ) On pourrait aussi démontrer ces résultats, en partant de la congruence identique

-arr-' — I __. (x - i) (x — 2) .. . (x -r /? 4- 1) (rnodj?),

démontrée au n* 132, et écrivant que les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres sont congrus (mod/?).

lia

CHAP. m. — DKS COKGRUKNCES.

de JT, le coeffictenl de xP~^ est î, le coefficienl indépendani est 1 .îi, . .(p — i). Quant aii)£ autres, ce sont des fonctions sjmé* triques des nombres 1,2, <,,,/? — r , d'ordre plus pelil que p ~%. Ils sont donc congrus à zéro (mod p).

On a donc

(45) (^g{^ */).(^r"pH-r3= af^-»-^i.^.,.(/> ^ i) {mmî p^

quel que soit^*

Faisons ;r — I, il vient

o^i-Ki,a. ..(/3 — g (mod/?).

ce qui est le théorème de Wilsoo.

Ensuite, remplaçons dans la congruence (45) 1*2, . *(/>— t) par — I et faisons jt — /?, a étant l'un des nombres 1, 2, , , , j (/? — 1 "» ; il vient

û = a/*-* — I ( mnd p h

< c qui est le théorème de Fermât,

RESTES QUADRATIQUES. Il3