DeuiE problèmes se posent

i" Étant donné le module premier p^ quels sont tes

nombres a qui en sont restes quadratiques?

%"" Étant donné le nombre a^ quels sont les modules premiers dont a est reste quadratique?

Le premier de ces problèmes a été résolu au n" 138, fiouB n^avons plus que quelques observations à présenter.

Si /?= 2, tout nombre impair a est reste quadratique; et la coogruence x^^^ a(mod 2) a une solution x ^u

Si/> est un nombre premier impair, rappelons que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre a non divisible par /< soit reste quadratique âc p csl

o * ^ j { mod p), et celte eondition étant remplie, la eongruenefe

j?s — a {mod p) a deux solutions^ égales et de signes contraires (mod^).

178, Caractère quadratique, - Soit/? un nombre premier

impair, a un nombre non divisible par y?» D'après le théorème de

Fermât on a

ai*-^—\^-±Q (mod p),

ou

éSl congru

Donc fun des deux nombres « * ™i ou a ' àuéro-

lis ne le sont pas d'ailleurs lous les deux, puisque leur différence, qui est a^ ne l'est pas.

SYMBOLE DE LEGBNDRE. fl5

Or on sait que, si a est reste quadratique de />, oa a

ïzl

a * — i = o, et réciproquement.

Donc, si a est non-reste, on a

Dans le premier cas le reste minimum de a ' par rapport à p est I , dans le second cas c'est — i .

Désignons ce reste minimum par la notation ( — J (symbole de

LiCgendre). On aura

si a est reste quadratique de/);

si a est non-reste.

La quantité f— j s'appelle encore caractère quadratique du nombre a, relativement au module premier impair p.

179. Théorème. — Le caractère quadratique d^un produit de facteurs est égal au produit des caractères quadratiques de ces facteurs.

C'est-à-dire que

En effet

p—^ f (mod/)).

et

/aa'a''\ , , n~ ,

Il6 CIIAP- !r* — RBf^TRS QUADRATIQIES. CONGHlîEXCKS DU S£CO>*D OEGIIÊ.

Donc

Comme d^ailleiirs chacun des membres de celle congraeoce oe peut être égal qu*à 4- i ou à — i, celle congruence se change eii égaillé, ce qui démontre le théorème*