RESTES QUADRATIQUES. CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ

§ I. — Restes quadratiques. Symbole de Legendre.

176. Nous avons déjà défini (n'* 158) ce qu'on appelle reste quadratique par rapport à un module premier p. C'est un nombre^/

tel que la congruence

a?» -z a {moâ p) soit possible.

Celte définition se généralise immédiatement pour un modul(> non premier n.

On dit qu'un nombre a est reste qiuidratique par rapport à un module non premier n, lorsque la congruence

;r'^ a (mod n) est possible.

Dans cette définition on ne suppose pas que a soit premier avec n.

Mais nous avons vu (n** 169) que lorsque a est premier au module /i, le cas du module composé se ramène à celui du module premier.

Nous avons vu, en eflet, que pour que a soit reste quadratique de n il faut et il suffit :

1" Que a soit reste quadratique de tous les facteurs premiers impairs qui entrent dans n ;

2'' Si n est divisible par 4> ^^ "O" par 8, il faut de plus que a 1^ I (mod 4) (se rappeler que a est supposé premier avec le module et par conséquent ici impair);

3** Si n est divisible par 8 ou une puissance supérieure de 2, il faut de plus que a i^: i (mod 8).

A partir de maintenant nous ne considérerons plus donc que le cas où le module est un nombre premier/) non diviseur de a. C. 8

H4 ïJIAP. tV. - RESTEE QUABUATIQUES, COffCnVESCES nu SKCOSÎI DEGBt.

Be m arque, — Au Heu du mot reste quadraUque noii§ euxploierons, quiind il n*y aura pas d'ambigané possible, le mol resie. Tout nombre qui n'esl. pas reste quadralirpie par rapport à ua certain module sera dit un non-reste.